黄金比例

这个黄金比率(黄金分割,中庸之道)是正根

ϕ

的二次方程

x个 2−x个− 1  =  0,

其中有根

ϕ =  1 + 2√  5 2  , φ= 1 − 2√  5 2  .

请注意

     

ϕ+φ  =  1, ϕ  φ  =  −1.

黄金比率的十进制展开

黄金比例的十进制扩展(A001622号)是

ϕ =  1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621...

和十进制扩展共轭根在里面

ℚ [ 2√  5  ]

黄金比例是

φ=−0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621...

自

x个  (x个− 1)  =  1中，

这个乘法逆根的

x个

是

x个 −  1

（相同小数部分)，自

x个+ [− (x个− 1)]  =  1中，

根

x个

添加了加法逆第个，共个乘法逆还提供1.

的权力ϕ和斐波那契数

ϕ n个 =  1 + 2√  5 2     n个 = F类n个  − 1+F类n个 ϕ,

哪里

ϕ

是黄金比例

F类n个

是

n个

 第个 斐波那契数.

的权力

ϕ

n个	ϕ n个=F类n个  − 1+F类n个  ϕ	ϕ  − n个+ϕ n个
6	5 + 8 ϕ	18
5	3 + 5 ϕ
4	2 + 3 ϕ	7
三	1+2 ϕ
2	1 + 1 ϕ	三
1	0 + 1 ϕ
0	1 + 0 ϕ	2
−1	−1 + 1 ϕ
−2	2+（−1） ϕ	三
−3	−3 + 2 ϕ
− 4	5 + (−3) ϕ	7
− 5	−8 + 5 ϕ
− 6	13 + (− 8) ϕ	18

连续分式和嵌套部首展开

黄金比率最简单连分数展开（全一序列A000012号)

     

ϕ = 1 +  1 1 +  1 1 +  1 1 +  1 1 +  1 ⋱  =  1 + [1 + [1 + [1 + [1 + [1 +⋯]  − 1  ]  − 1  ]  − 1  ]  − 1  ]  − 1,

自从

ϕ− 1  =  1 ϕ  ,

也是最简单的嵌套根扩展（再一次，所有人的序列）

     

ϕ =   2√  1 +   2√  1 +   2√  1 +   2√  1 +    2√  ⋯   =  1 + [1 + [1 + [1 + [1 + [1 +⋯]   1 2   ]   1 2   ]   1 2   ]   1 2   ]    1 2  ,

自从

ϕ 2− 1  = ϕ.

近似值

e（电子）− 11 10  =  1.61828182845904... (1.000153173364... ×ϕ),

哪里

e（电子）

是欧拉数.

2√   5 π 6    =  1.6180215937964... (0.999992339... ×ϕ).

无穷级数

     

∞ ∑   k个  = 0    3 − 2√  5 2    k个 =    ∞ ∑   k个  = 0    (1 +φ) k个 =  1 1 − (1 +φ)  =  −1 φ  = ϕ.

     

∞ ∑   k个  = 0    ϕ  − 2k个 =    ∞ ∑   k个  = 0    1 ϕ 2    k个=

∞ ∑   k个  = 0    1 ϕ+ 1    k个 =  1 1 − 1 ϕ+ 1  =  1 + 1 ϕ  = ϕ.

另请参见

• 卢卡斯数字
• ϕ数字系统
• 塑性常数
• 金属意味着

• {{斐波那契}}（数学函数模板）