代数方程的根解法
如果代数方程可以根据整系数多项式的系数通过加法、减法、乘法、除法、求幂和求根来求解,那么这些解显然是算术性的。现在,这个有效吗?
代数方程不可由(…)解就系数而言(...)
当且仅当
这些解不是算术的,即不能用(…)表示用整数表示
—丹尼尔·福格斯2013年1月11日06:01(UTC)
- 如果这些运算存在整数解,那么这个数字就是算术(使用史蒂文森的术语)。我不太清楚当你说“根据系数”时,你打算如何限制它,所以我不能说它们的等价性。查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月11日06:28(UTC)
- 事实上。。。你有史蒂文森的精确定义吗?我习惯的定义(“可由部首解”)只使用基本的四加根提取,即正方形、立方体。。。根。如果他允许无限求幂,那么这就大大扩展了范围:他可以表示这是超越性的。我假设了上面和文章中通常的定义。查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月11日06:38(UTC)
- 它只允许整数指数的幂运算和整数指数的根运算,否则我们也会得到超越数。(他说所有算术数字都是代数的,所以必须隐含这一点。我写的定义是他的原话。)
- 当我说“以系数表示”时,我指的是一个公式,它是以给定形式的方程的“以系数表达”的,因此,对于某些形式的方程,可能没有这样的公式,尽管解可能是算术的。情况会是这样吗-丹尼尔·福格斯2013年1月11日07:19(UTC)
- 有没有一个超越数的名字可以不用幂级数来表示,比如? —丹尼尔·福格斯2013年1月11日07:24(UTC)
- 将超越数表示为幂级数意味着什么?幂级数是与实数不同的对象。。。
- 你可能会想到“封闭式数字”,它有不同的定义。
- 查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月11日17:40(UTC)
- 我的意思是,每一个复数都可以表示为某些幂级数的极限(可能以无穷多的方式?)。所以被称为“封闭式号码”,如果我理解的话。。。现在,“闭式数”集合是复数的可数(或不可数)无限真子集吗?在复数中,“封闭形式的数字”的密度是0吗-丹尼尔·福格斯2013年1月12日03:40(UTC)
- 我仍然不知道你关于幂级数的意思。为什么不以某种标准的方式来定义它们,比如通过Dedekind切割(和假想单位)?
- 只有可数的许多闭合形式的数字(对于任何一种定义),所以它们的密度是0。
- 查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月13日01:15(UTC)
- 诚然,有理数的Dedekind切割唯一地定义了实数。例如,Dedekind剪纸有理数代表无理数 是唯一给定的
-
-
- 这很容易。我们该如何表达Dedekind剪裁? —丹尼尔·福格斯2013年1月13日05:55(UTC)
- 幂级数不唯一地定义实数,因为例如任何固定基数给定实数的表示等于幂级数,并且我们有可数无穷个整数基可供选择。还有一个(可数?)无穷大的其他幂级数,其极限是给定的实数。。。所以你是对的-丹尼尔·福格斯2013年1月13日05:52(UTC)
- 现在,我们如何知道给定的实数是否是某种形式的“闭式数”?关于或,我们如何证明这些超越数不存在任何闭合形式(我怀疑这些……不存在任何闭形式)-丹尼尔·福格斯2013年1月13日05:52(UTC)
非算术数字
我怀疑几乎所有的代数数都是非算术的,这是真的吗-丹尼尔·福格斯2013年1月11日06:10(UTC)
- 我不知道该怎么解释。用根可以解的数是可数无穷大的,同样,用根不能解的代数数也是如此。那么“几乎所有”意味着什么?
- 当然,几乎所有给定高度的多项式都是不可解的,所以从这个意义上讲,这可能是真的。但这是假设在给定高度从多项式中选取系数是选择代数数的合理方法,我不确定这是否符合您的目的。
- 查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月11日18:04(UTC)
- 我很想相信“代数数中算术数的密度”为0。(我不知道如何评估这一点,也不知道这是否定义明确……)-丹尼尔·福格斯2013年1月12日03:25(UTC)
- 没有明确定义。您需要指定订单。查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月13日01:15(UTC)
其中一个例子
数字有实部6.8191274…和虚部0.000000809389532。。。阿隆索·德尔·阿特2013年1月11日18:46(UTC)
我不喜欢这个短语,因为这听起来像是radic,而且只限于自然数,而不是指数。但我找不到好的措辞。有什么建议吗?
查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月11日20:10(UTC)
- 带整数索引的根提取-丹尼尔·福格斯2013年1月13日07:36(UTC)