求和von Mangoldt函数

这个求和von Mangoldt函数定义为

${\displaystyle\psi（x）=\sum_{n\leqx}\Lambda（n），\x\in\mathbb{R}^{+}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式x\，}$是一个正实数和${\displaystyle\scriptstyle\Lambda（n）\，}$是von Mangoldt函数.

显式公式

${\显示样式\脚本样式\psi（x）\，}$由显式公式

${\displaystyle\psi（x）=x-\sum_{\rho}{\frac{x^{\rhoS}}{\rho}}-\log（2\pi）-{\tfrac{1}{2}}\log$

${\displaystyle=x-\sum_{\rho}{\frac{x^{\rho}}{\rho2}-\log（2\pi）-{\tfrac{1}{2}}{\ big[}\log$

对于${\显示样式\脚本样式x\，>\，1\，}$和${\显示样式\脚本样式x\，}$不是首要的或主要功率，总的来说非平凡零 ${\显示样式\脚本样式\rho\，}$的黎曼-泽塔函数 ${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$，即临界带钢，即。${\显示样式\脚本样式0\，<\，\Re（\rho）\，<\\，1\，}$（这些都在临界线，即。${\displaystyle\scriptstyle\Re（\rho）\，=\，{\frac{1}{2}}\，}$如果黎曼假设为true，）总和被解释为

${\显示样式\lim_{t\to\infty}\sum_{|\Im（\rho）|<t}{\frac{x^{\rho}}{\rho}}.\，}$

黎曼假设

这个黎曼假设等于

${\显示样式\psi（x）=x+O（{\sqrt{x}}\（\log（x））^{2}）\，}$