素数

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&#x0093；至少还要再过一百万年我们才能理解素数&#x0094；-保罗·埃尔德

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,...}

在给定的整数环中质数是那些只能被他们自己、他们的同伴和单位环的，但它们本身不是单位。例如，在整数环中${\显示样式\mathbb{Z}}$，47是一个素数，因为它只能被–47、–1、1和它本身整除，而不能被其他整数整除。另一方面，48不是素数，因为除了可以被-48、-1、1和它本身整除外，它还可以被-24、-16、-12等整除复合数如果质数是整数的乘法“原子”，则合成数是“分子”

直到20世纪初^第个世纪，1被认为是质数。前一个定义允许单位被视为素数。新的定义，不包括集合素数中的单位，源于20世纪初抽象代数的发展^第个世纪，现在被大多数数学家所接受。只与正整数有关${\显示样式\mathbb{Z}^{+}}$这意味着从要求一个素数只能被1和它本身整除（1满足的要求微不足道）到要求一个质数正好有两个不同的除数。例如，47有两个不同的除数（1和47本身），而1只有一个除数，即1本身。

零、单位、素数和合成

零可被all整除（无穷多个）非零整数（因此0既不是素数也不是素数混合成的)，并且它也不是非零整数的乘积。零也是不可逆的（因此0不是一个单位）。

A类单元（即可逆整数）既不是素数也不是复合数，因为它可以被任何非一致整除，因此${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}\，}$既不是质数也不是复合数。

整数可以是

• 负数复合数：{−4，−6，−8，−9，−10，−12，−14，−15，−16，−18，−20，−21，−22，−24，−25，−26，−27，−28，…}（−1×A002808号)
• 负素数：{−2，−3，−5，−7，−11，−13，−17，−19，−23，−29，−31，−37，−41，−43，−47，-53，-59，…}（−1×A000040美元)
• 负值单位：{−1}
• 零: {0}
• 阳性单位：{1}
• 正素数：{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，…}(A000040美元)
• 正数：{4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，…}(A002808号)

算术基本定理

文章主页：算术基本定理

算术基本定理断言，每个非零整数都可以用唯一的方式写成素数的乘积，最多可达订购和乘法单位例如，12的唯一因子分解是2²× 3. 因此，既不是2×3×2也不是（-1）²2²3构成了不同的因式分解：前者是不同的顺序，而后者乘以单位-1。

素数的无穷大

文章主页：欧几里德关于素数无穷多的证明

在《第九卷元素》中，欧几里德证明了存在无穷多个素数：他表明，如果我们假设素数集是有限的，就会产生矛盾。有其他方法可以证明这一事实，但欧几里德的方法仍然被认为是最优雅的。

素数密度

对于给定的正数${\显示样式\脚本样式n\，}$，的值素数计数函数 ${\显示样式\脚本样式\pi（n）\，}$大约为

${\displaystyle\pi（n）\approx{\frac{n}{\logn-1}}，\，}$

或同等

${\显示样式{\frac{n}{\pi（n）}}\近似{\log{\frac{n}}{e}}.\，}$

第n素数

这个${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个 首要的是渐近的

${\显示样式p_{n}\sim n\，\log n，\quad n\geq 1.}$

这个${\显示样式\脚本样式2^{n}\，}$^第个 首要的是渐近的

$显示样式p_{{2^{n}}\sim 2^{n}\，\log 2^}（\log 2）\，n，2^{n}，\quad n \geq 0.}$

${\显示样式{\frac{p{\{2^{n+1}}}{p{{2^}}}\sim 2，（1+{\tfrac{1}{n}}），\quadn\geq1.}$

A033844号素数（2^n），n>=0。

{2, 3, 7, 19, 53, 131, 311, 719, 1619, 3671, 8161, 17863, 38873, 84017, 180503, 386093, 821641, 1742537, 3681131, 7754077, 16290047, 34136029, 71378569, 148948139, ...}

素数定理

文章主页：素数定理

素数定理断言素数的渐近密度为${\displaystyle\scriptstyle{\frac{x}{\logx}}\，}$

${\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{\pi（x）}{\left（{\frac{x}{\log x}}\right）}}=1.\，}$

主要差距

这个${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个 基本间隙 ${\显示样式\脚本样式p_{n+1}\，-\，p_{n}}$具有渐近平均值

${\显示样式{\frac{1}{n}}\，\sum_{k=1}^{n}（p{k+1}-p_{k}）={\frac{1}{n}\，（p_{n+1}-p_1}）\sim{\frac-1}{n}（（n+1）\，\log（n+1$

1的素数间隙只发生一次，即在2和3之间，所有其他素数间隙都是偶数，因为除2以外的所有素数都是奇数。据推测，所有素数间隙都无限频繁地出现。

主间隙为2（双素数)被推测会无限频繁地发生，这就是孪生素数猜想.

大素数缺口

主要差距${\显示样式\脚本样式p_{n+1}\，-\，p_{n}}$可以超过${\显示样式\脚本样式\日志^{2}（n）}$.（无限频繁？）

A182315号素数为素数（n），这样素数（n+1）-prime（n）>log（n）^2。

{2, 3, 5, 7, 13, 23, 31, 113, 1327, 31397, 370261, 492113, 2010733, 20831323, 25056082087, 42652618343, 2614941710599, 19581334192423, ...}

素数倒数之和

由于素数的倒数之和${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$发散（类似于${\显示样式\脚本样式i\log i\，}$自从${\显示样式\脚本样式p_{i}\，\sim\，i\log i\，}$)，即。

${\显示样式\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{p_{i}}\to\infty，\quad\lim_}n\to\infty}\sum_{i=2}^{n}{\frac{1}}{i\logi}}\ to\inffy，\，}$

虽然非常非常缓慢，但都是渐进增长

${\显示样式O\左（{\scriptstyle\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{p_{i}}}\right）=O\左$

这意味着素数是无限的。

更换${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$通过${\显示样式\脚本样式p_{i}\log p_{i}\，}$给出了收敛级数（请参见A137245号)（类似于${\显示样式\脚本样式i（\log i）^{2}\，}$自从$｛\displaystyle\scriptstyle p_｛i｝\log p_｛i｝\，\sim \，i \log i（\log i+\log \log i）\，｝$)

${\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{p{i}\log p_{i}}=1.63661632335126085856985\ldot，\，}$

while（请参见A115563号)

${\displaystyle\sum_{i=2}^{\infty}{\frac{1}{i（\logi）^{2}}=2.10974280123689197447925\ldot，\，}$

和（参见A？？？？）

$｛\displaystyle\sum_｛i=2｝^｛\infty｝｛\frac｛1｝｛i\log i（\log i+\log \log i）｝｝=2.938399820809152090205661925125\ldots.\，｝$

关于素数的其他事实

定理。 (费马)奇数素数可以表示为两个正方形在一种且只有一种方式下的差值。这就是说${\显示样式p=a^{2} -b个^{2}}{2} -b个^{2}}$只有一个解决方案${\显示样式a}$和${\显示样式b}$.

证明。我们可以扩展${\显示样式p=a^{2} -b个^{2}}{2} -b个^{2}}$作为${\显示样式p=（a+b）（a-b）}$.因为我们规定${\显示样式p}$是质数，因此${\显示样式a+b=1}$和${\显示样式a-b=p}$或$｛\displaystyle a+b=p｝$和${\显示样式a-b=1}$假设是前者，我们可以解决${\显示样式a={\压裂{p+1}{2}}}$和${\显示样式b={\压裂{-（p-1）}{2}}}$由此可见${\显示样式p=\左（{\frac{p+1}{2}}\右）^{2}-\left（｛\frac｛p-1｝｛2｝｝\right）^｛2｝=a^{2} -b个^{2}}{2}-\left（｛\frac｛p-1｝｛2｝｝\right）^｛2｝=a^{2} -b个^{2}}$如定理所规定。 □

例如，7=4²– 3².

序列

A137245号素数p=2，3，5，7，11，…上的和1/（p*logp）的十进制展开。。。

{1, 6, 3, 6, 6, 1, 6, 3, 2, 3, 3, 5, 1, 2, 6, 0, 8, 6, 8, 5, 6, 9, 6, 5, 8, 0, 0, 3, 9, 2, 1, 8, 6, 3, 6, 7, 1, 1, 8, 1, 5, 9, 7, 0, 7, 6, 1, 3, 1, 2, ...}

请注意，这几乎是（略小于）1+2/Pi=1.63661977236758……（巧合与否？）

另请参阅

• A008578号20开头的质数^第个世纪（今天1不再被视为素数，而是单元).
• A002808号这个复合数：个数字${\显示样式\脚本样式n\，}$表单的${\显示样式\脚本样式xy\，}$对于${\显示样式\脚本样式x\，>\，1\，}$和${\显示样式\脚本样式y\，>\，1.\，}$
• 高斯整数,高斯素数和高斯合成
• 艾森斯坦整数,艾森斯坦素数和艾森斯坦复合材料
• 埃拉托斯特尼筛
• 素数的特征函数
• 素数的分类
• 不可约元素

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,质数，来自MathWorld-A Wolfram Web资源。[http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html]
• 素数页（素数研究、记录和资源）
• 网址：http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html
• 迈克尔·库恩斯，素数无穷性的另一个证明，I.