奇数除数函数

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这个奇数除数函数 ${\显示样式\脚本样式\西格玛{k}^{（o）}（n）\，}$对于正整数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$定义为${\显示样式\脚本样式k\，}$^第个的权力奇数除数属于${\显示样式\脚本样式n\，}$

${\显示样式\sigma_{k}^{（o）}（n）\equiv\sum_{2\n id d，\，d|n}d^{k}，\quad k\geq0.\，}$

这个n的奇除数由序列表示A001227号和n的奇除数之和由序列表示A000593号.

奇数除数函数的公式

奇数除数函数是乘法的具有

${\displaystyle\sigma_{k}^{（o）}（2^{e}）=1，\quad k\geq 0，\，e\ geq 0；\，}$

${\displaystyle\sigma{k}^{（o）}（p^{e}）=\sigma_{k}（p^{e{）={\begin{案例}e+1，&k=0，e\geq0，\\{frac{p^{k（e+1）}-1}{p^{k} -1个}}，&k>0，e\geq0，\\end{cases}}}{案例}e+1，&k=0，e\geq0，\\{frac{p^{k（e+1）}-1}{p^{k} -1个}}，&k>0，e\geq0，\\end{cases}}}$

对于奇数素数 ${\显示样式\脚本样式p\，}$.

奇除数函数的生成函数

这个o.g.f.公司。对于奇除数函数是

${显示样式G{{\σ_{k}^{（o）}（n）}}$

奇除数函数的Dirichlet生成函数

这个迪里克莱（Dirichlet）。对于奇除数函数是

${\显示样式D_{\{\sigma_{k}^{（o）}（n）\}}（s）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sigram_{k{{（o）}{n^{s}}}=（1-2^{k-s}）\zeta（s）\ zeta（s-k），\quad k\geq0.\，}$.

有三种方法可以成对地重新组合右手边的三个因子，并且每一种都是因子分解意味着奇数除数函数是狄里克莱卷积其他两个整数序列。一个例子：

• ${\显示样式\脚本样式k\，=\，3\，}$:迪里克莱（Dirichlet）。 ${\displaystyle\scriptstyle（1-2^{（3-s）}）\zeta（s）\ zeta（s-3）\，}$.狄里克莱卷积属于${\显示样式\脚本样式（-1）^{n}\，}$ 1964年1月15日${\显示样式\脚本样式（n）\，}$和A000578号.

奇数除数函数

这个奇数除数函数 ${\displaystyle\scriptstyle\tau^{（o）}（n）\，\equiv\，\sigma_{0}^{$对于正整数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$定义为奇数除数属于${\显示样式\脚本样式n\，}$

${\displaystyle\tau^{（o）}（n）\equiv\sigma_{0}^{$

奇数除数大于1，奇数除法小于n

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奇数除数函数的公式

${\displaystyle\sigma{0}^{（o）}（n）={\begin{cases}\sigma{0}（n）&{\text{if}}n{\text}是奇数}}，\\sigma}0}是（n）-\sigma}}（{\frac{n}{2}}）&{\text{if}n{text{是偶数}}}。\结束{cases}}}\结束{cases}}}$

奇数除数函数的生成函数

这个o.g.f.公司。对于奇数除数函数是

$｛\displaystyleG_｛\｛\sigma\｛0｝^｛（o）｝（n）\｝｝（x）\equiv\sum_｛n=1｝^｛infty｝\sigma\｛0｝^｛（o）｝（n）~x^｛n｝=\sum_｛n=1｝^｛infty｝$

奇除数函数的Dirichlet生成函数

公式通过插入${\显示样式\脚本样式k\，=\，0\，}$纳入上述公式

${\显示样式D_{\{\sigma_{0}^{（o）}（n）\}}（s）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\simma_{0{（o）}}{n^{s}}=（1-2^{-s}）（\zeta（s））^{2}，\quad k\geq0.\，}$.

所有因子均为奇数且大于1的因子n的分解方法数

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奇数除数之和函数

这个奇除数和函数 ${\显示样式\脚本样式\西格玛^{（o）}（n）\，\equiv\，\sigma_{1}^{$对于正整数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$定义为奇数除数属于${\显示样式\脚本样式n\，}$

${\displaystyle\sigma^{（o）}（n）\equiv\sigma_{1}^{$

奇数除数之和函数的公式

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奇数因子和函数的生成函数

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奇数因子和函数的对数生成函数

一个可能的新液化天然气。奇数除数函数之和（由Peter Lawrence在2011年6月的SeqFan邮件列表中提出)是

$｛\displaystyle L_｛｛\sigma\｛k｝^｛（o）｝（n）\｝｝（x）\equiv\sum_｛n=1｝^｛infty｝\sigma\｛k｝^｛（o）｝（n）｛\frac｛x^｛n｝｝｛n｝｝=\sum_｛n=1｝^｛infty｝\log｛\big（｝1+｛\frac｛1｝｛x^｛n｝｝｝｝｝｛bigg）｝$

奇因子和函数的Dirichlet生成函数

公式是通过插入${\显示样式\脚本样式k\，=\，1\，}$到上面显示的通用公式中。

n的等分奇数因子之和

${\显示样式s^{（o）}（n）\equiv{\开始{cases}\sigma^{$

“不可触摸的数字”？（奇数除数之和函数）

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n的奇除数之和等于n+1

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劳伦斯猜想

彼得·劳伦斯在2011年6月SeqFan邮件列表中的观察是那个吗

${\displaystyle\sigma{1}^{（o）}（n）=n+1{\overset{？}{\iff}}n{\rm{~是~an~奇数~素数}}.\，}$

使用上面提到的乘数分割2的幂引出了一个问题的变体：拟完美数存在。

“完美数字”？（奇数除数之和函数）

？奇数除数等价于“完全数“可以定义概念，需要

${\displaystyle\sigma^{（o）}（n）=2n，\quadn\geq1.\，}$

当然，没有两种力量的解决方案${\显示样式\脚本样式2^{n}\，}$因为${\显示样式\脚本样式\西格玛^{（o）}（2^{n}）\，=\，1\，}$在这些情况下。但是偶数呢？对于奇数${\显示样式\脚本样式n\，}$，方程式与要求的相同奇数完全数，不太可能存在（请参见A000396号).

“k完全数”？（奇数除数之和函数）

？奇数除数等价于“k-完全数“可以定义概念，需要

$｛\displaystyle\sigma^｛（o）｝（n）=kn，\ quad k \ geq 2，\，n \ geq 1。\，｝$

“数字不足”？（奇数除数之和函数）

？奇数除数等价于“亏数“可以定义概念，需要

${显示样式\sigma^{（o）}（n）<2n，\quad n \geq 1.\，}$

“丰富的数字”？（奇数除数之和函数）

？奇数除数等价于“丰富的数字“可以定义概念，需要

${\displaystyle\sigma^{（o）}（n）>2n，\quadn\geq1.\，}$

这个${\显示样式\脚本样式n\，}$满足这个标准正是（普通的）丰富的数字 A005231号.

相关公式和数值表

(...)

序列表

奇除数函数序列

${\显示样式k\，}$	$｛\displaystyle\sigma\｛k｝^｛（o）｝（n），｛\geq 1，\，｝$序列	A编号
0	{1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 4, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 4, 2, ...}	A001227号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
1	{1, 1, 4, 1, 6, 4, 8, 1, 13, 6, 12, 4, 14, 8, 24, 1, 18, 13, 20, 6, 32, 12, 24, 4, 31, 14, 40, 8, 30, 24, 32, 1, 48, 18, 48, 13, 38, 20, 56, 6, 42, 32, 44, 12, 78, 24, 48, 4, ...}	A000593号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
2	｛1，1，10，1，26，10，50，1，91，26，122，10，170，50，260，1，290，91，362，26，500，122，530，10，651，170，820，50，842，260，962，1，1220，290，1300，91，1370，…｝	A050999号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
三	{1, 1, 28, 1, 126, 28, 344, 1, 757, 126, 1332, 28, 2198, 344, 3528, 1, 4914, 757, 6860, 126, 9632, 1332, 12168, 28, 15751, 2198, 20440, 344, 24390, 3528, 29792, ...}	A051000型${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
4	{1, 1, 82, 1, 626, 82, 2402, 1, 6643, 626, 14642, 82, 28562, 2402, 51332, 1, 83522, 6643, 130322, 626, 196964, 14642, 279842, 82, 391251, 28562, 538084, 2402, ...}	A051001号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
5	{1, 1, 244, 1, 3126, 244, 16808, 1, 59293, 3126, 161052, 244, 371294, 16808, 762744, 1, 1419858, 59293, 2476100, 3126, 4101152, 161052, 6436344, 244, ...}	A051002号${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
6	{1, 1, 730, 1, 15626, ...}	A？？？？？？${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
7	{1, 1, 2188, 1, 78126, ...}	A？？？？？？${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
8	{1, 1, 6562, 1, 390626, ...}	A？？？？？？${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
9	{1, 1, 19684, 1, 1953126, ...}	A？？？？？？${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
10	{1, 1, 59050, 1, 9765626, ...}	A？？？？？？${\显示样式\脚本样式（n）\，}$
11	{1, 1, 177148, 1, 48828126, ...}	A？？？？？？$｛\displaystyle\scriptstyle（n）\，｝$
12	{1, 1, 531442, 1, 244140626, ...}	A？？？？？？${\显示样式\脚本样式（n）\，}$

序列

(...)

另请参见

• 除数函数
• 中的单位变量A068068号和A192066号