函数环

如果R（右）是一个环，并且S公司任何非空集合，然后是所有函数的集合S公司到R（右），也表示为R（右）^S公司，同样具有由定义的操作的环结构

${\显示样式f+g:={\开始{案例}S\到R\\x\mapstof（x）+g（x）\end{cases}}}{案例}S\到R\\x\mapstof（x）+g（x）\end{cases}}}$

和

${\显示样式f\cdot g:={\开始{案例}S\到R\\x\mapstof（x）\cdot g（x）\结束{cases}}}{案例}S\到R\\x\mapstof（x）\cdot g（x）\结束{cases}}}$.

示例

特别是，对于${\显示样式S=\mathbb{N}}$，这就产生了通常的“逐点”乘法和加法序列环，即,$｛\displaystyle（u_｛i｝）\cdot（v_{i｝）=（u_｛i｝\，v_{i｝）｝$和${\显示样式（u{i}）+（v{i}）=（u{i}+v{i）}$.

对于有限集S公司具有n个元件，例如,S公司= { 0,...,n个-1}，戒指R（右）^S公司可以用R（右）^n个("=R（右）× ... ×R（右）“，其中引号表示此符号通常是不明确的…）${\显示样式x{i}=x（i）}$被视为我-第个组件“n个-分量向量“x个（实际上是一个函数）。（当自然数以公理集合理论的方式定义时n个通常是定义作为{0，1。。。，n个-1}，即定义0={}和n个+1 = {n个}工会n个根据这个定义，R（右）^S公司实际上是完全相同的到R（右）^n个.)

这种“产品戒指”总是零的除数，一旦#S=卡（S）>1（任何两个非零元素的非零分量在不同指数下都会有一个消失乘积。）

其他施工

基于给定的环，还有其他几种构造更复杂的环R（右），特别是没有这个“问题”

• 这个多项式环，有限支撑R（右）-值序列卷积,
• Cayley-Dickson代数，例如复数，其中R×R配备乘法$显示样式（x{1}，x{2}）_{1} -年_{2} ^{*}，x{2}，y{2}\，x{1}+x{2{\，y{1}^{*{）}{1} -年_{2} ^{*}，x{2}，y{2}\，x{1}+x{2{\，y{1}^{*{）}$（恒星是指可能存在的对合R（右）并且可以忽略，如果R（右）是“真实的”。）