矩形函数

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这个矩形函数 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{rect}（t），\，t\，\in\，\mathbb{R}，\，}$ （也称为矩形函数,矩形函数,Pi函数,门函数,单位脉冲，或标准化boxcar函数)定义为

{\displaystyle\mathrm{rect}（t）=\sqcap（t）={\begin{案例}0&{\mbox{if}}|t|>{\frac{1}{2}}，\\{\frac{1}}&{\mbax{if}{t|={\frac:1}{2]}，\1&{\mpox{if{}}|t。\结束{cases}}\，}

函数定义的替代定义 $｛\displaystyle\scriptstyle\mathrm｛rect｝\left（\pm｛\frac｛1｝｛2｝｝\right）\，｝$ 为0、1或未定义。

与Heaviside阶跃函数的关系

矩形函数可以用Heaviside阶跃函数作为

｛\displaystyle\mathrm｛rect｝（t）=H\left（t+｛\frac｛1｝｛2｝｝\right）-H\left（t-｛\frac｛1｝｛2｝｝\right）=H\left（t+｛\frac｛1｝｛2｝｝\right）+H\left（-t+｛\frac｛1｝｛2｝｝\right）-1=H\left（｛\frac｛1｝｛4｝｝-t^｛2｝\right）.\，｝

持续一段时间 ${\显示样式\脚本样式T\，}$ ，我们有

{\displaystyle\mathrm{rect}\left（{\tfrac{t}{t}}\right）=H\ left（t+{\tfrac{t}{2}}\ right）-H\ left t^{2}}{4}}-t^{2{右）。\，}

与符号函数的关系

{\displaystyle\mathrm{rect}（t）={\tfrac{1}{2}}\左（\operatorname{sgn}（t+{\tfrac{1}}）-\operator name{sgan}（t-{\tfraca{1}{2}）\右）。\，}

持续一段时间 ${\显示样式\脚本样式T\，}$ ，我们有

｛\displaystyle\mathrm｛rect｝\left（｛\trac｛t｝｛t｝｝\right）=｛\trac｛1｝｛2｝｝\left（\ operatorname｛sgn｝（t+｛\trac｛t｝｛2｝｝）-\operatorname｛sgn｝（t-｛\trac｛t｝｛2｝｝）\right）。\，｝

与棚车函数的关系

矩形函数是更一般的boxcar函数

{\displaystyle\mathrm{rect}\ left（{\frac{t-\tau}{t}}\ right）=H（t-\tau+{\tfrac{t}{2}}）-H rac（右），\，}

{\displaystyle\mathrm{rect}\left（{\frac{t-\tau}{t}}\right）={\tfrac{1}{2}}\ left（\operatorname{sgn}（t-\tau+{\tfrac{t}{2{}）-\operator name{sgan}

函数的中心位置 ${\displaystyle\scriptstyle\tau\，}$ 并具有持续时间 ${\显示样式\脚本样式T\，}$ .

矩形函数的傅里叶变换

这个酉傅里叶变换矩形函数的

{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}（t）\cdot e^{-i2\pi-ft}\，dt={\frac{\sin\pi-f}}=\mathrm{sinc}\，\pi-f=\mathrm{sinc{{\pi}\，f，\，}

和

{\显示样式{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}（t）\cdot e^{-i\omega t}\，dt={\frac{1}}{\sqrt{2\pi}}}\cdot\mathrm{sinc}{\pi}\left（{\frac-{\omega}{2\py}\right）={\frac{1{\ sqrt{2\pi}}}\cdot\mathrm{sinc}\，\左（{\frac{\omega}{2}}\右），\，}

哪里 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinc}\，}$ 是未规范化sinc函数和 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinc}{\pi}\，}$ 是归一化正弦函数.

请注意，只要脉冲函数的定义是由其时域经验驱动的，就没有理由相信振荡解释（即傅里叶变换函数）应该是直观的，或是人类可以直接理解的。然而，可以直观地理解理论结果的某些方面，例如时域定义中不确定的锐边引起的无限带宽要求。

与三角函数的关系

我们可以定义三角形函数作为卷积两个矩形函数

{\displaystyle\mathrm{tri}（t）=（\thrm{rect}*\thrm}rect}）

在概率中使用

将矩形函数视为概率密度函数，这是连续均匀分布具有 ${\显示样式\脚本样式（a，\，b）\，=\，（-{\frac{1}{2}}，\，{\frac{1}{2}）\，}$ . The特征函数是

{\displaystyle\varphi（k）={\frac{\sin\left（{\tfrac{k}{2}}\right）}{\tfrac{k}}=\mathrm{sinc}\left

及其力矩发生函数是

{\显示样式M（k）={\frac{\mathrm{sinh}\左（{\tfrac{k}{2}}\右）}{\tfrac{k}{2}{}}，\，}

哪里 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinh}（t）\，}$ 是双曲正弦功能。

有理近似

脉冲函数也可以表示为有理函数

{\displaystyle\sqcap（t）=\lim_{\stackrel{n\to\infty}{n\in\mathbb{Z}}}{\frac{1}{（2t）^{2n}+1}}.\，}

有效性证明

首先，我们考虑以下情况 $｛\displaystyle\scriptstyle|t|\，<\，｛\frac｛1｝｛2｝｝\，｝$ 注意，术语 ${\显示样式\脚本样式（2t）^{2n}\，}$ 对于整数总是正数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ 然而， ${\显示样式\脚本样式2t\，<\，1\，}$ 因此 ${\显示样式\脚本样式（2t）^{2n}\，}$ 大的接近零 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ .

由此可见

｛\displaystyle\lim_｛\stackrel｛n\to\infty｝｛n\in\mathbb｛Z｝｝｝｝｛\frac｛1｝｛（2t）^｛2n｝+1｝｝＝｛\frac｛1｝｛0+1｝｝＝1，\，|t|＜｛\frac｛1｝｛2｝｝。\，｝

其次，我们考虑以下情况 ${\displaystyle\scriptstyle|t|\，>\，{\frac{1}{2}}\，}$ 注意，术语 ${\显示样式\脚本样式（2t）^{2n}\，}$ 对于整数总是正数 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ 然而， ${\显示样式\脚本样式2t\，>\，1\，}$ 因此 ${\显示样式\脚本样式（2t）^{2n}\，}$ 变大变大 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ .