倒数伽玛函数

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这个倒数γ函数是一个功能超过复平面定义为

${\显示样式f（z）：={\begin{cases}{\frac{1}{\Gamma（z）}}&{\text{if}}z\not\in \{0\}\cup\mathbb{z}^{-}，\\0&{text{if}{z\in \\{0\}\cup \mathbb{z}^{-{。\结束{cases}}}\结束{cases}}}$

哪里${\显示样式\Gamma（z）}$表示伽马函数。由于伽马函数是亚纯的并且在复平面，其倒数是整个函数。倒数有时用作数值计算gamma函数，一些软件库将其与常规gamma函数分开提供。

卡尔·魏尔斯特拉斯将倒数γ函数称为“factorelle”，并将其用于开发魏尔施特拉斯分解定理.

公式

${\显示样式f（1+z）\，f（1-z）={\frac{\sin\piz}{\piz{}={\rm{sinc}}_{\pi}（z），\quad z\in\mathbb{C}，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle{\rm{sinc}}{\pi}（z）\，：=\，{\frac{\sin\piz}{\pyz}}\，}$是归一化正弦函数.

泰勒级数

这个泰勒级数关于0的倒数伽玛函数的展开是

$显示样式f（z）=\sum_{k=0}^{infty}a{k}\，z^{k}=z+\gamma\，z_{2}+{frac{1}{2}}\左（\gamma^{2}-{\frac{\pi^{2}}{6}}\right）z^{3}+\cdots\，}{2}-{\frac{\pi^{2}}{6}}\right）z^{3}+\cdots\，}$

哪里${\显示样式\gamma}$是Euler–马斯切罗尼常数和${\displaystyle\scriptstyle{\frac{\pi^{2}}{6}}\，=\，\zeta（2）\，}$是从黎曼-泽塔函数.

泰勒级数展开系数服从递归

${\显示样式a_{0}=0；\，}$

${\显示样式a{1}=1；\，}$

${\显示样式a{2}=\gamma；\，}$

${\显示样式a{k}=k\，a_{1} 一个_{k} -a个_{2} 一个_{k-1}+\和{j=2}^{k}（-1）^{j}\，zeta（j）\，a{k-j}，\四k>2；\，}{1} 一个_{k} -a个_{2} 一个_{k-1}+\和{j=2}^{k}（-1）^{j}\，zeta（j）\，a{k-j}，\四k>2；\，}$

哪里$｛\displaystyle\zeta（s）｝$是黎曼-泽塔函数.

沿实轴积分

沿正实轴积分倒数伽马函数得出值

${\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\Gamma（x）}}\，dx=2.80777024202851936522150118655772932308085920930198291220054809597100\ldots，\，}$

它被称为Fransén–Robinson常数.

A058655型曲线1/Gamma（x）下面积从零到无穷大的十进制展开。

{2, 8, 0, 7, 7, 7, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 8, 5, 1, 9, 3, 6, 5, 2, 2, 1, 5, 0, 1, 1, 8, 6, 5, 5, 7, 7, 7, 2, 9, 3, 2, 3, 0, 8, 0, 8, 5, 9, 2, 0, 9, 3, 0, 1, 9, 8, 2, 9, 1, 2, 2, 0, ...}