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忙河狸数

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在下面,我们考虑暂停(在空白磁带上,即所有的0)。图灵机 带状态集合元素属于不同的状态(不包括停止状态)磁带符号集合元素= { 0, 1 },移位方向元素= {左(1,)右(+ 1)}(这里没有考虑(0))后缀意思是下一个用五元组表示是的。

忙碌海狸的两种定义

忙碌的海狸正在暂停(在空白磁带上,即所有的0)图灵机 这两种方式都竞争

  • 最大化步骤数(或不包括方向的偏移量)
  • 最大限度地减少磁带标记的数量(非空白符号0在磁带上)一旦停止。

定义由于停止图灵机所采取的步骤数(或由于方向没有偏移)一旦停止,并通过磁带上留下的磁带标记(非空白符号0)的数目。一旦停止。

定义作为停止图灵机器所采取的步骤的数目具有国家和最大步数的符号

*(在空白磁带上,即所有的0)

定义由于磁带的标记(非空白符号0)在磁带上由暂停图灵机留下的数目。具有国家和在磁带上留下最多的带标记(非空白符号)的符号一旦停止。

*(在空白磁带上,即所有的0)

拉多σ函数

这个忙碌海狸功能我是说,拉多σ函数σ(n)[一]我是说,,,(A02444定义如下是最大可达到的分数(磁带上最后的1s的最大数目)。状态,2符号停顿图灵机商标对于上述类型,当在空白磁带上开始时(全部为0)。

拉德表示是一个定义良好的函数也就是说,每一个, the状态,2符号忙碌的海狸游戏确实有一个可以达到的最高分数。为了做到这一点,他使用了一个基本原则非空有限集属于非负整数必须有最大元素是的。拉多σ函数增长快于任何可计算函数(即,对于任何可计算函数有一个整数这样,我们有因此是不可计算函数是的。

有很多有限(停顿或不)图灵机器。具有状态和2个符号,具体有(停顿或不)图灵机器,如果我们不考虑停止后的状态。此外,看到其中一些是微不足道的。停机机也就是说,至少存在一个状态,2符号停用图灵机为每一个是的。现在定义

  • 是有限的,非空集停顿状态2-符号图灵机上述类型(双向无限带,由5元组定义的过渡函数等)
  • 对于每一个停止图灵机器分数机器的-机器后磁带上的1s个数使用初始空白磁带(全部为0)运行到完成。
  • (即,所有的最大得分)状态2-符号停用图灵机从空白磁带开始。)

自从是一个非负整数对于任何以及以后是一个非空有限集,对于每个非负整数都是一个定义好的非负整数是的。

无限序列忙碌海狸功能和任何状态2-符号停用图灵机为此(即,达到最大分数)称为忙碌的海狸是的。注意每个至少存在两个-状态繁忙海狸(因为给予任何-状态忙海狸,另一种是通过只在停止过渡中改变移位方向来获得的。

最大移位函数

除了函数,rad(1962)介绍了另一个极值函数对于BB级图灵机, the最大移位函数我是说,,定义为

  • 由于没有方向(0),移位的数目(因此步骤)停止之前,为任何我是说,
  • 最大的移位数目(因此,由于没有方向(0)被排除)由任何停顿造成。状态2-符号停用图灵机(不一定是相同的图灵机产生最大数量的磁带标记,即1s,甚至不需要产生许多磁带标记。)A060843

因为这些图灵机需要在每一个转换或“步骤”(包括任何过渡到停止状态)中进行转换,最大移位函数同时也是最大阶跃函数是的。

拉德表示不可计算的出于同样的原因它是不可计算的——它生长得比任何东西都快。可计算函数是的。他通过简单地证明了这一点。,因为在磁带上需要一个移位来写一个1;因此,至少增长一样快它已经被证明比任何可计算的函数增长快。

以下连接是林和拉德使用的[二]为了证明这一点. 对于给定的,如果大家都知道-状态图灵机器可以(原则上)运行到步骤,在这一点上,任何尚未停止的机器都不会停止。在这一点上,通过观察哪些机器已经停止在磁带上的最多1s(即,忙碌的海狸一个人从磁带上获得的价值是是的。LIN和RAD的使用方法猜想是,然后模拟所有本质上不同的三态机器多达21个步骤。通过分析在21步内没有停止的机器的行为,他们成功地表明,这些机器都不会停止,从而证明了猜想。并确定通过刚才描述的程序。

相关不等式包括以下内容:[三]

还有一个渐近的改进约束[四]存在常数,这样

序列

忙河狸序列拉多σ函数1s的最大数目-状态,2符号,{左,右},5元组(停止图灵机在停止之前,可以在初始空白磁带上打印(所有的0)。(参见A02444

{ 0, 1, 4,6, 13,4098,1.29×10865个,…}

忙河狸问题以下内容:是一个最大的步骤数-状态,2符号,{左,右},5元组(停止图灵机在停止之前可以在初始空白磁带(所有的0)上进行。(参见A060843

{ 1, 6, 21,107,47176870,3×101730年,…}

-状态,2符号,{左,右},5元组((停顿或不)图灵机器。(参见A052200

{ 1, 64, 20736,16777216, 25600000000, 63403380965376,232218265089212416,1180516207174113034 24,795861094464088 439 1936,68 7194767 3600 000 000 000亿,…}

另见



笔记

  1. 上移 拉德〔1962〕。
  2. 上移 图灵机问题的计算机研究,1965年。
  3. 上移 Ben Amram等人,〔1996〕。
  4. 上移 Ben Amram,彼得森[ 2002 ]。

外部链接