二次互易定律

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这个二次互易定律关于模奇素数的同余。溶解度${\显示样式x^{2}\equiv p{\pmod{q}}}$和${\显示样式x^{2}\equivq{\pmod{p}}}$这取决于这两个素数是否与3模4同余。

定理。给定不同的奇素数${\显示样式p}$和${\显示样式q}$,

${\displaystyle\left（{\frac{p}{q}}\ right）\ left（}\frac}{p}}\ right）=（-1）^{\frac{（p-1）（q-1）}{4}}，}$

哪里${\displaystyle\left（{\frac{a}{p}}\right）}$是Legendre符号.

证明。这里有证据。（证明标记结束）

例如，13和17都与模4的1同余。我们看到了$8^{2}\equiv 13{\pmod{17}}$和${\显示样式11^{2}\equiv 17{\pmod{13}}}$这两个素数作为二次剩余相互“往复”。

比较11和19。二次互易定律告诉我们，一个是另一个的二次剩余，而不是副向量。的确${\显示样式7^{2}\等于11{\pmod{19}}}$，但是${\显示样式x^{2}\equiv 19{\pmod{11}}}$没有解决方案。这两个素数不“相互作用”

高斯1796年4月8日的第一次证明现在被一些人认为不雅观。同年6月27日，高斯提出了一个使用二次型的证明。