毕达哥拉斯三元数组

这篇文章页面是一个存根，请通过扩展它来提供帮助。

A类勾股三元组是的三倍正整数 ${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$其表示勾股三角形，即。

${\显示样式a^{2}+b^{2{=c^{2neneneep，\四元a<b<c，\，（a，b，c）\ in（\mathbb{N}^{+}）^{3}，\，}$

哪里${\显示样式a}$和${\显示样式b}$是指直角三角形和${\显示样式c}$是斜边长度。

毕达哥拉斯三元数组${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$这样的话GCD公司${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$=1被调用原始勾股三元组如果是毕达哥拉斯三元组${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$不是原语，可以使用它来查找原语三元组${\显示样式\脚本样式（a'，\，b'，\、c'）\，}$通过划分${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$由GCD提供${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$例如，24、32、40不是基元三元组，但将每个数字除以8就得到基元三元组3、4、5。

低能数字

低能数字是正整数它们的平方是两个不同的非零平方的和，因此是毕达哥拉斯三角形的斜边。

公式

$｛\displaystyle a ^｛2｝+b ^｛2｝=c ^｛2｝，\，a＜b＜c，\，｝$

当且仅当

${\显示样式c^{2}={\分形{m^{2{+n^{2neneneep}{2}}，\，m=b-a，\，n=b+a.，}$

这提供了一种通过对整数进行迭代来获取所有勾股三元组（原语或其他）的方法。为了只获得原始勾股三元组，只需要对整数对进行一些限制。

定理PYT。

对于正整数${\显示样式r}$和${\显示样式s}$给予${\显示样式x=r^{2} -秒^{2}}{2} -秒^{2}}$,${\显示样式y=2rs}$,${\显示样式z=r^{2}+s^{2{}}$形成了一个基本的解决方案${\显示样式x^{2}+y^{2{=z^{2neneneep}$，有必要${\显示样式\gcd（r，s）=1}$还有那个${\显示样式r}$和${\显示样式s}$保持平衡。

证明。首先我们验证一下${\显示样式r}$和${\显示样式s}$通过展开给出规定的解决方案${\显示样式x^{2}+y^{2{=z^{2neneneep}$因此：${\显示样式（r^{2} -秒^{2} ）^{2}+（2rs）^{2]=（r^{2{+s^{2neneneep）^{2$然后${\显示样式（r^{4}+s^{4} -2转^{2} 秒^{2} ）+4升^{2} 秒^{2} =r^{4}+s^{4{+2r^{2} 秒^{2}}{4} -2转^{2} 秒^{2} ）+4升^{2} 秒^{2} =r^{4}+s^{4{+2r^{2} 秒^{2}}$.如果${\显示样式\gcd（r，s）>1}$，这意味着有一个质数${\显示样式p}$这样的话$｛\displaystyle p|r｝$和${\显示样式p|s}$.然后${\显示样式x=（pa）^{2}-（铅）^{2}}{2}-（铅）^{2}}$,${\显示样式y=2p^{2} ab公司}{2} ab公司}$,${\显示样式z=（pa）^{2}+（pb）^{2]}$.划分${\显示样式p^{2}}$，我们获得${\displaystyle\scriptstyle u\，=\，{\frac{x}{p^{2}}\，=\，a^{2} -b个^{2}}{2} -b个^{2}}$,${\显示样式\脚本样式v\，=\，{\frac{y}{p^{2}}\，=\，2ab}$和${\显示样式\脚本样式w\，=\，{\frac{z}{p^{2}}\，=\，a^{2{+b^{2neneneep}$，因此${\显示样式u^{2}+v^{2neneneep=w^{2{=a^{4}+b^{4{+2a^{2} b条^{2}}{2} b条^{2}}$，这意味着${\显示样式x，y，z}$不是一个基本的解决方案。

如果${\显示样式\gcd（r，s）=1}$以及两者${\显示样式r}$和${\显示样式s}$那么是奇数，因为两个奇数的差是偶数，${\displaystyle\gcd（x，y）=\gcd（r^{2} -秒^{2} ，2rs）=2}{2} -秒^{2} ，2rs）=2}$、以及${\displaystyle\gcd（x，z）=\gcd（r^{2} -秒^{2} ，r^{2}+s^{2{）=2}{2} -秒^{2} ，r^{2}+s^{2{）=2}$，这意味着${\显示样式x，y，z}$都是平的，我们可以分开${\显示样式p=2}$.我们就这样了$｛\displaystyle\gcd（r，s）=1｝$无论是哪一种${\显示样式r}$或${\显示样式s}$偶数和另一个奇数。现在我们可以确定${\显示样式x=r^{2} -秒^{2}}{2} -秒^{2}}$是奇怪的，而$｛\displaystyle y＝2rs｝$至少是双倍的偶数，无论哪一个${\显示样式r}$或${\显示样式s}$是均匀的。此外，${\显示样式\gcd（x，y）=1}$因为${\显示样式x}$都不可除${\显示样式r}$也不是${\显示样式s}$，同时${\显示样式y}$可被两者分割。与之类似${\显示样式z=r^{2}+s^{2{}}$，我们看到它与${\显示样式x}$自从${\显示样式x=z-2s^{2}}$或$显示样式z=x+2s^{2}}$、和${\显示样式z}$也是互质的${\显示样式y}$，它是偶数且可被二者整除${\显示样式r}$和$｛\displaystyles｝$，确认${\显示样式x，y，z}$确实是一个原始毕达哥拉斯三元组，它只能通过互质获得${\显示样式r}$和${\显示样式s}$其中一个是偶数，如定理所规定。 □

因此，例如，对5，2将给出基本三元组21，20，29，而5，3给出三元组16，30，34，可以“简化”为基本三元组8，15，17。

序列

序列（腿）

A118905号勾股三角形的腿之和（没有多个条目）。

{7, 14, 17, 21, 23, 28, 31, 34, 35, 41, 42, 46, 47, 49, 51, 56, 62, 63, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 79, 82, 84, 85, 89, 91, 92, 93, 94, 97, 98, 102, 103, 105, 112, 113, 115, 119, 123, 124, 126, 127, 133, 136, ...}

序列（短腿）

A020884号原始毕达哥拉斯三角形的有序短腿。

{3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 28, 29, 31, 32, 33, 33, 35, 36, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 43, 44, 44, 45, 47, 48, 48, 49, 51, 51, 52, 52, 53, 55, 56, 57, 57, 59, 60, ...}

A009004号毕达哥拉斯三角形的有序短支。

{3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 32, 32, 32, 33, 33, 33, ...}

A046083号最小的成员${\显示样式\脚本样式a\，}$毕达哥拉斯三元组${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$按递增排序${\显示样式\脚本样式c\，}$.

{3, 6, 5, 9, 8, 12, 15, 7, 10, 20, 18, 16, 21, 12, 15, 24, 9, 27, 30, 14, 24, 20, 28, 33, 40, 36, 11, 39, 33, 25, 16, 32, 42, 48, 24, 45, 21, 30, 48, 18, 51, 40, 36, 13, 60, 39, 54, 35, 57, 65, 60, 28, 20, 48, ...}

序列（长腿）

A020883号原始毕达哥拉斯三角形的有序长腿。

{4, 12, 15, 21, 24, 35, 40, 45, 55, 56, 60, 63, 72, 77, 80, 84, 91, 99, 105, 112, 117, 120, 132, 140, 143, 144, 153, 156, 165, 168, 171, 176, 180, 187, 195, 208, 209, 220, 221, 224, 231, 240, 247, 252, 253, ...}

A009012号毕达哥拉斯三角形的有序长腿。

{4，8，12，12，15，16，20，21，24，24，28，30，32，35，36，36，40，42，44，45，45，48，48，52，55，56，56，60，60，60，63，63，64，68，70，72，72，72，72，75，76，77，80，80，80，84，84，84，84，…}

A046084号中间成员${\显示样式\脚本样式b\，}$毕达哥拉斯三元组${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$按递增排序${\显示样式\脚本样式c\，}$.

｛4、8、12、12、15、16、20、24、24、21、24、30、28、35、36、32、40、40、48、45、44、42、48、60、52、56、60、63、60、56、55、70、60、72、72、64、80、68、75、77、84、63、80、72、84、76、72、80、96、99…｝

序列（斜边）

A020882号原始勾股三角形的有序斜边数（平方是两个不同的非零平方和，GCD[a，b，c]=1）。

{5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 65, 73, 85, 85, 89, 97, 101, 109, 113, 125, 137, 145, 145, 149, 157, 169, 173, 181, 185, 185, 193, 197, 205, 205, 221, 221, 229, 233, 241, 257, 265, 265, 269, 277, ...}

A009003号 低能数字（平方是两个不同的非零平方的和）。

｛5、10、13、15、17、20、25、26、29、30、34、35、37、39、40、41、45、50、51、52、53、55、58、60、61、65、68、70、73、74、75、78、80、82、85、87、89、90、91、95、97、100、101、102、104、105、106、109、110、111…｝

A009000型有序斜边数（正方形是两个不同的非零正方形的和）。最大的成员${\显示样式\脚本样式c\，}$毕达哥拉斯三元组${\显示样式\脚本样式（a，\，b，\，c）\，}$按递增排序${\显示样式\脚本样式c\，}$.

{5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 60, 61, 65, 65, 65, 65, 68, 70, 73, 74, 75, 75, 78, 80, 82, 85, 85, 85, 85, 87, 89, 90, 91, 95, 97, 100, 100, ...}