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毕达哥拉斯定理

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考虑一个直角三角形,有一个短的“腿”长“腿”斜边和斜边让它站在它的“腿”上
在它的长“腿”上加一个全等三角形。,每一个斜边会议在一个共同的顶点;
通过连接两个三角形的顶点,可以得到由三个三角形构成的梯形;
梯形有底座平行边带面积
这三个三角形是我们的两个前同余三角形,每个三角形都有面积。
由于直角三角形的两个锐角是互补的;
第三三角形是两面直角三角形。和面积
我们把这些地区等同起来



顺从的〔1〕

毕达哥拉斯定理


这个毕达哥拉斯定理提供一种计算右三角形最长边的长度(一个顶点具有直角的长度)的方法。Euclidean平面如果我们只知道这两个较短的边的长度。

经典的证明

经典证明欧几里德一书47的命题元素.〔2〕它需要书中较早的结果,比如三角形边角相等。由于我们想更快地获得定理的数理论相关性,我们将提出一个依赖于更少几何公理和定理的证明。

定理(毕达哥拉斯定理)。γ毕达哥拉斯

给定一个直角三角形,有两个较短的边(“腿”)最长的边(斜边)平等持有换句话说,如果是已知的可以计算为.

证明。 [通过解剖]〔3〕斯卡拉


1。画一个任意大小的直角三角形,唯一的约束是一个角度必须精确为90度。弧度)标记较短的边最长的一边.
毕达哥拉斯定理说明
2。是线段:扩展它单位。(可以用直尺和罗盘画一个圆圈,中心在那里。)相遇随半径
三。接下来,使用你刚才扩展的段来构造一个正方形,每个边测量。从而具有面积三角形的面积应该在方格的面积之内。
4。画垂线那触摸在哪里?相遇.
5。延伸单位(这是很容易现在感谢广场)。
毕达哥拉斯定理说明
6。观察现在正方形包含两个较小的正方形,以及两个非正方形矩形。一平方的面积是,另一个区域是. 两个矩形都有一个面积. 因此,.
7。因为三角形的面积是并且两个矩形的组合区域是这意味着我们可以很容易地把两个矩形分成四个三角形,这个三角形和我们原来的三角形一样大。在保持较大的正方形的大小和形状的同时,重新排列四个三角形,使得每个三角形的短边都在较大的正方形的周长上。
毕达哥拉斯定理图解3.PNG
8。请注意,这个重排在较大的方格内创建了一个新的正方形,并且新方格的每一面都是四个三角形中的一个斜边。因此,(the作为四个三角形的组合区域,每个步骤7)。使用步骤6中获得的等式代替获得. 显然,取消这样我们就离开了由定理指定。〔4〕γπ

这个定理还有很多其他证据,甚至美国总统也做过。〔1〕还有一本不同证明的整本书。

加菲尔德勾股定理的证明

看(风格化的表演!)加菲尔德证明上衣这个页面。James Garfield,20第四美国总统在1876给出了毕达哥拉斯定理的证明(通过梯形)。

毕达哥拉斯三元数组

毕达哥拉斯定理的一个方面是数字理论家特别感兴趣的一个方面。如果方程有整数解,那么这三个整数就叫做“毕达哥拉斯三元数组“(见)A046083AA046084AA000 9000

欧几里得2-空间与Euclidean距离

在欧几里得2-空间中,Euclidean距离在两点之间笛卡尔坐标 定义为直角三角形的斜边的长度,其边(或“腿”)的长度等于,即

欧几里得3-空间与Euclidean距离

在欧几里得3-空间中,我们得到了Euclidean距离笛卡尔坐标之间的两点通过应用毕达哥拉斯定理两次,给出

Euclidean欧氏距离的定义空间应用毕达哥拉斯定理时代

也见

  • 费马最后定理没有解决办法正整数

笔记

  1. γ 一点一 James Garfield,20第四美国总统给了这个解剖证明,在1876中,勾股定理仅以一种方式(即三个三角形)分解梯形。(能有更经济的证据吗?)
  2. γ 毕达哥拉斯定理/经典证明关于维基的证明。
  3. γ 斯卡拉解剖证明用两种不同的方式剖析一个正方形,首先分成两个正方形和两个长方形,然后分成一个正方形和四个三角形。(与加菲尔德更为经济的解剖证明相比较,仅以一种方式解剖梯形,即分成三个三角形!)
  4. γ 这个证明是从K. O. Friedrichs给出的,从毕达哥拉斯到爱因斯坦华盛顿特区:美国数学协会(1965):7—8。一些细节已被更多地阐明,有些则不太强调,但基本方法完全相同。

外部链接