毕达哥拉斯常数

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毕达哥拉斯常数是二的平方根，第一个无理数从未被发现。令毕达哥拉斯学派他研究了一个正方形的对角线1,

2√  2

不是有理数.

定理。

2√  2

是一个无理数。

证明。[通过矛盾]假设

2√  2

是理性的。这意味着有互质整数

米

和

n个

这样的话

米 n个 = 2√  2

（如果

米

和

n个

不是互质，我们可以用它们来划分最大公约数这样做）。两边成直角

米 2 n个 2 =2

。如果我们将其乘以

n个 2

，我们得到

2 n个 2=米 2

。这意味着

米 2

是偶数，也是偶数

米

因此，

米=2 k个

，其中

k个

是一个整数。替换

2 k个

对于

米

在里面

2 n个 2=米 2

给予

2 n个 2= (2 k个) 2

，其结果是

2 n个 2=4 k个 2

.将两边分开2给了我们

2 k个 2=n个 2

，这意味着

n个

也是一个偶数。但是

米

和

n个

一开始就被认为是互质的，因此与以下假设相矛盾

2√  2

是有理的，因为没有互质整数

米

和

n个

这样的话

米 n个 = 2√  2

. □

的十进制展开式

2√  2

二的平方根的十进制展开式为

2√  2 = 1.414213562373095...

给出十进制数字的序列(A002193年)

{1, 4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 2, 3, 7, 3, 0, 9, 5, 0, 4, 8, 8, 0, 1, 6, 8, 8, 7, 2, 4, 2, 0, 9, 6, 9, 8, 0, 7, 8, 5, 6, 9, 6, 7, 1, 8, 7, 5, 3, 7, 6, 9, 4, 8, 0, 7, 3, 1, 7, 6, 6, 7, 9, 7, 3, 7, 9, ...}

连续分数

2√  2

和1 ±

2√  2

这个单连分式对于

2√  2 , 1 ± 2√  2 ,

是
     

2√  2  = 1 +  1 2 +  1 2 +  1 2 +  1 2 +  1 2个以上 1 ⋱  ,

1 + 2√  2  =  −  1 1 − 2√  2  = 2 +  1 2 +  1 2 +  1 2个以上 1 2 +  1 2 +  1 ⋱  ,

1 − 2√  2  =  −  1 1 + 2√  2  =  −  1 2个以上 1 2 +  1 2 +  1 2 +  1 2 +  1 ⋱  ,

哪里

± 2√  2

是的根

x个 2 −  2 = 0

，而

1 ± 2√  2

是的根

(x个 −  1） 2 −  2 =x个 2 −  2 x个 −  1 = 0

，使用

(1 + 2√  2 )  (1 负极 2√  2 ) = 负极1

和

(1 + 2√  2 ) + (1 负极 2√  2 ) = 2

,
给予，用于

2√  2

，的(最终周期性)顺序(40000澳元)

｛1，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2

和，用于

1± 2√  2

，的(周期性的)顺序(A007395号)

{2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，…}

另请参见

• 黄金比例

  ϕ±= 1± 2√  5 2