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形式的素数(a^ n+b^ n)/(a+b)和(a^ n-b^ n)/(a-b)

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形式素数


OEIS中有许多序列处理这些形式的素数。它们总结如下。
这里的考虑限于整数。a,b,n>=0.


注意f是费马数A=2,B=1N是2的力量。


注意M是一个梅森数A=2B=1.


因此,这些形式可以被认为是广义Melsern和费马数。
研究已经报告当B=1的F和M形式。参见下面的链接。


标记为“与F相关的序列”和“与M相关的序列”的部分包含指示OEIS序列的表,该列表列出了N其中f或m为指定值的素数(或可能素数). 这些表还包括那些很少或没有值的条目。N因此没有OEIS序列。


“F的性质”和“M的性质”部分列出了一些可以用初等代数表示的性质。最有趣的是表示m和f只能是素数的那些。N是素数。至少有一个例外:f可以是素数甲、乙不是互质的N是两个力量。此外,有几个猜想为那些想要提供证据的人提供了机会。


F相关序列

表1。n的值在哪里是素数
B= A-1 B=1 B=2 B=3 B=4 B=5
A000 097 A000 765 8 只有N=3 A05171
A000 097 A000 097 A057699 A0823
A057699 A000 765 8 A057699 A128066 A12853
A128066 只有N=3 A128066 A128335
A128335 A05171 A0823 A12853 A128335 只有N=2
A128336 A057 172 A128336
A187805 A05173 A125955 A128067 A21837 A128337
A181141 A128068 A128338
A187819 A05175 A125956 A211409 A128399
A217095 A000 1562 A128059
十一 A185249 A057 177 A125957 A128070 A224501 A128340
十二 A213216 A05178 A128131
十三 A225097 A057 179 A222265 A12807A A213176 A128362
十四 A224984A A057 180 A128072 A12834
十五 A221637 A057 181 A225191 A227 049
十六 A227 170 A057 182 A128033 A225397
十七 A228 A05183 A224507 A228 225 A22655 A227 046
十八 A227 171 A057 184 A280130
十九 A225818 A057 185 A228 922 A128075 A21329 A229 612
二十 A057 186
二十一 A057 187
二十二 A057 188
二十三 A057 189
二十四 A05190
二十五 A057 191
二十六 A071380
二十七
二十八 A071381A
二十九 n=7?
三十 A071382A
三十一 A1268 56
三十二
三十三 A185230
三十四 n=3?
三十五 A185240
三十六 A229 145
三十七 5,727 07,…
三十八 A229 524
三十九 A2400
四十 A229 663
四十一 17691,…
四十二 A21604
四十三 A121865
四十四 741233,…
四十五 10315737159,…
四十六 A35563
四十七 A266167
四十八 A35630
四十九 A37052
五十 11532690356597,…

与M相关的序列

表2。n的值在哪里是素数
B= A-1 B=1 B=2 B=3 B=4 B=5
A000 0 43 A024491 只有N=2 A000 4061
A000 0 43 A000 0 43 A05768 A082182
A05768 A024491 A05768 A059801 A121877
A059801 只有N=2 A059801 A059802
A059802 A000 4061 A082182 A121877 A059802
A062572 A000 4062 A062572
A062573A A000 4063 A21548 A128024 A213078 A12834
A062574 只有N=3 A128025 A128345
A059803 A17318 只有N=2 A128366
A062576 A000 4023 A128026
十一 A062577 A000 5808 A210506 A128027 A216181 A128367
十二 A062578 A000 4064 A128338
十三 A062579 A016054 A217320 A128028 A224691 A12834
十四 A062580 A000 6032 A128029 A128350
十五 A062581A A000 6033 A225955 A241921
十六 A062582A 只有N=2 A128030 A128351
十七 A062583A A000 6034 A225807 A128031 A230139 A128352
十八 A188051 A13857 A128354
十九 A062585 A000 6035 A229 A128032 A228076 A128354
二十 A062586A A12795A5 2,43,…
二十一 A0625870 A12796A6
二十二 A062588 A127997
二十三 A062589A A20440
二十四 A21465 A12799
二十五 A214655
二十六 A062592 A12799
二十七 A062596 只有N=3
二十八 A062594A A128000
二十九 A062595 A181979
三十 A062596 A098438
三十一 A062597 A12800
三十二 A062598
三十三 A062599 A209120
三十四 A062600 A185078
三十五 A062601 3131297,…
三十六 A215535 只有N=2
三十七 A062603 A12800
三十八 A062604 A12800
三十九 A062605 A181987
四十 A062606 A12800
四十一 A062607 A249637
四十二 A062608 21319,…
四十三 A062609 A240765
四十四 A215632 5,31 167,…
四十五 A062611 A2427
四十六 A062612 A24327
四十七 A062613 1271801339623,…
四十八 58543,… A245267
四十九 A062615 只有N=2
五十 A062616 A245402
五十一 A062617
五十二 A062618
五十三 A062619 A1737
五十四 A062620
五十五 A062621
五十六 A062622
五十七 A062623
五十八 525633,…
五十九 A062625
六十 A062626
六十一 54517,…
六十二 A062628
六十三 A062629
六十四 A062630
六十五 A062631
六十六 A062632
六十七 A062633
六十八 3251,…
六十九 A062635
七十 A062636
七十一 A062637
七十二 A062638
七十三 A062639
七十四 A062640
七十五 A062641
七十六 A062642
七十七 A062643
七十八 A062644
七十九 A062645
八十 A062646
八十一 A062647
八十二 A062648
八十三 331,…
八十四 A062650
八十五 A062651
八十六 A062652
八十七 2,3,47,…
八十八 A062654
八十九 A062655
九十 A062656
九十一 A062657
九十二 A062658
九十三 A062659
九十四 A062660
九十五 A062661
九十六 A062662
九十七 A062663
九十八 n=7?
九十九 A062665
一百 A062666 只有N=2 只有N=2

F的性质

F的一些平凡性质

1)如果a= b=0然后f是未定义的。


2)F是费马数A=2B= - 1N是2的力量。


3)如果n=0那么f是素数(F=2),仅当A+B=1


4)如果n=1然后F=1


5)如果B=那么f仅为素数n=2是素数。

如果n=0,F=1/A不能是素数。
如果n=1,f=1,因此不是素数。
如果n=2,F=只有素数才是是素数。
如果n>2,F有不止一个因素因此不是素数。


6)如果A=0B=0(但不是两者),则F仅为素数n=2是素数。


F的一些非平凡性质

案例A,B=0A=Bn<2已经在上面探索过。
从那时起是交换的,一般假设没有损失。A>B>0n>1在下面的属性中。
下面的标识如下所示。
(I1)IFn>1奇怪:
在哪里
注意如果n>1然后.
(I2)IFn>1有一个奇怪的因素n=k*jK奇数和J2的权力:
在哪里
注意如果n>1然后.


7)如果A>B>0N是奇数和复合的,f不是素数。

自从N是复合的,可以写成n=k*m. 自从N很奇怪,K必须都是奇数,否则N甚至可以。由于最小复合奇数为9,M>=3K>=3. 使用身份(I1)两次:
F具有大于1的两个整数因子,因此不能是素数。


8)如果A>B>0N是偶数但具有奇数因子,f不是素数。

自从N是复合的,可以写成n=k*j在哪里J是2的力量K很奇怪。由于奇数因子的最小复合偶数整数为6,K>=3J>=2. 使用身份(I2):
案例1)不分什么时候是2的功率,所以是F的一个因素。
如果划分然后是F的另一个因子,因此f不是素数。
案例2)如果不分那么f不是整数,因此不是素数。
无论哪种方式,f都不是素数。


9)如果A>B>0甲、乙互质与N是2的幂,f不是素数。

什么时候?是2的力量甲、乙互质不分因此,f不是整数。
例:如果a=2,b=3,n=2,则f=(2 ^ 2+3 ^ 2)/(2+3)=(4+9)/5=5。


10)如果F是素数,A>B>0甲、乙互质N必须是奇数素数。

7)N不能是奇数和复合的。
8)N不能均匀和复合。
9)N不能是2的力量。
因此N必须是奇数和素数。


11)如果A>B>0甲、乙 互质,F可以是素数。

C= GCD(A,B)D=A/CE= B/C然后
F是整数IF(a+b)划分.
F也是整数IF. 如果是这样的话.
f为素数,(a+b)必须取消除分子中的一个因素以外的所有因素,其余因素为素数。有三种可能性:
1)是素数。
2)是素数。
3)是总理,在哪里.
还请注意,上面给出7)和8),N必须是2的幂。
表3。条件时的例子甲、乙 互质在哪里是素数
N C A+B d^ n+e^ n H f
十五 十八 二十六 十三
十八 十四 三十二 八千九百六十二 四千四百八十一
八十八 四十 一百二十八 一百四十六 七十三
二百七十 二百四十二 五百一十二 十五万六千二百七十三兆七千六百七十五亿五千一百四十六万二千七百八十六 七万八千一百三十六兆八千八百三十七亿七千五百七十三万一千三百九十三


12)猜想:IF甲、乙立方体,f是素数只有当n=3.


13)猜想:IFA=4B=1f只有素数时才是素数n=3.


14)猜想:IFA=29B=1f只有素数时才是素数n=7.


15)猜想:IFA=34B=1f只有素数时才是素数n=3.

M的性质

M:

1)m是梅森数A=2B=1.


2)如果B=然后M是未定义的。


3)是交换的。


4)如果n=0然后M是零。


5)如果n=1然后M=1


6)如果A=0B=0(但不是两者)M仅为素数n=2是素数。

如果n=0,M=1/A不能是素数。
如果n=1,m=1,因此不是素数。
如果n=2,M=只有素数才是是素数。
如果n>2,M有不止一个因素因此不是素数。


M的一些非平凡性质

案例A=0B=0A=Bn<2已经在上面探索过。
从那时起在3以上的交换条件下,一般假设中不存在一般性损失。A>B>0n>1在下面的属性中。
下面的标识如下所示。
(I1)
(I2)IFn>1
在哪里
注意如果n>1然后.
(I3)IFn>1偶数:
在哪里
注意如果n>2然后.
(I4)IFn>1奇怪:
在哪里
注意如果n>1然后.



7)m是一个整数。使用I2:

总是一个整数,因此M总是整数。


8)如果n>2是复合的,M不是素数。

自从N是复合的,让n=k*m. 使用I2两次:
因此M由两个大于1的整数因子组成,因此不是素数。


9)如果n=2M只有素数才是素数(a+b)是素数。

使用I1:


10)如果n>2并且没有奇数因子,M不是素数。

如果没有奇数因子,N必须是两个幂并且可以被写入哪里J>1. 重复使用I1:
这可以在第一个学期重复。(A—B)到达,取消分母。J其他因素大于1,因此M不是素数。


11)M只能是素数N是素数。

8)N不能是复合的,大于2。
10)N不能是大于2的2的幂。
9)N可以是2,但2是素数。
因此N必须是素数。


12)猜想:IF甲、乙不是互质,M不是素数。


13)如果甲、乙都是正方形,M只能是素数n=2(a+b)是素数。

如果n>2就算是让n=2m,使用I1和I2:
因此M由两个大于1的整数因子组成,因此不是素数。


如果n>2很奇怪。. 自从正方形,CD是整数。使用I1、I2、I4和I1:
因此M由两个大于1的整数因子组成,因此不是素数。


这片叶子n=2,并使用I1:
因此如果甲、乙是正方形,M是素数只有n=2(a+b)是素数。


14)猜想:IFa= j^ 2,b= k^ 2,j> k,M是素数只有当n=2.


15)猜想:IFa= j^ 3,b= k^ 3,j> k,M是素数只有当n=3.


16)猜想:IFa= j^ p,b= k^ p,j> k在哪里是任意素数,M仅为素数n=p.


17)猜想:IFa= j^ m,b= k^ m,j> k在哪里一个素数的幂,m不是素数。

链接

  • J. Brillhart等人,b~(n+-)1的因子分解,当代数学,第22卷,埃默。数学SOC,普罗维登斯,RI,第三版,2002。
  • H. Dubner,广义RePrime Primes,计算数学,第61卷,第204期,1993年10月,第927页至930页。