作为幂差的素数

许多质数可以表示为两个幂的差。

数字${\显示样式n}$这样的话${\显示样式k^{无}-（k-1）^｛n｝｝{无}-（k-1）^｛n｝｝$是质数

我们现在考虑形式的素数${\显示样式k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$当然，最著名的此类素数是梅森素数，对应于${\显示样式k=2}$.

定理KN1。给定整数${\显示样式k}$和${\显示样式n}$两者都大于1，这是${\显示样式k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$成为质数是为了${\显示样式n}$也要成为第一流。换句话说，如果${\显示样式n}$是复合的，那么也是${\显示样式k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$.

证明。如果${\显示样式n}$是复合的，则可以表示为${\显示样式n=ab}$，其中${\显示样式a}$和${\显示样式b}$都是大于1的整数。的基本属性指数运算是那个吗${\显示样式x^{ab}=（x^{a}）^{b}=（x^{b{）^}}$。因此我们可以重写${\显示样式k^{无}-（k-1）^｛n｝｝{无}-（k-1）^｛n｝｝$作为${\显示样式（k^{a}）^{b}-（（k-1）^{a}）^{b}}{b}-（（k-1）^{a}）^{b}}$并得到的除数${\显示样式k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$因此：${\显示样式{\frac{（k^{a}）^{b}-（（k-1）^{a}）^{b}}{k^{一}-（k-1）^{a}}}}{b}-（（k-1）^{a}）^{b}}{k^{一}-（k-1）^{a}}}}$（根据这个原则，至少可以得到一个其他的非平凡除数，除非${\显示样式n}$是素数的平方）。很明显${\显示样式1<k^{n-a}-（k-1）^{n-a}<k^{无}-（k-1）^{n}}{n-a}-（k-1）^{n-a}<k^{无}-（k-1）^{n}}$，证明了这一点${\显示样式k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$除1和自身之外还有除数，因此是一个复合数。内fproof标记

因此，如果$｛\displaystyle k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$是质数，那么不仅仅是全部${\显示样式k^{mn}（锰）-（k-1）^{mn}}{mn}（锰）-（k-1）^{mn}}$对于$｛\displaystylem>1｝$复合，它们都可以被${\显示样式k^{无}-（k-1）^{n}}{无}-（k-1）^{n}}$。例如，表单的所有数字${\显示样式3^{2n}-2^{2n}}{2n}-2^{2n}}$（带有${\显示样式n>0}$)可以被5整除。

在下表中，我们通常只列出小于1000的指数，因为较大的指数虽然对应于强伪素数，但并不总是被证实为素数。根据上述定理，指数列中的数字和素数列中的数值都应该是素数。

${\显示样式k}$	指数	A编号	底漆	A编号
2	2, 3, 5, 7, ...	A000043号	3, 7, 31, 127, ...
3	2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, ...	A057468号	5, 19, 211, 129009091, ...	A058765号
4	2、3、7、17、59、283、311、383、499、521、541、599。。。	A059801号	7, 37, 14197, 17050729021, ...	129736英镑
5	3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, ...	A059802号	61, 1136791005963704961126617632861, ...	A147667号
6	2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, ...	A062572号
7	2, 3, 7, 29, 41, 67, ...	A062573号
8	7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, ...	A062574号
10	2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, ...	A062576美元	19, 271, 5217031, ...	A199819号
11	3、5、19、311、317。。。	A062577号
12	2, 3, 7, 89, 101, 293, ...	A062578号
13	17, 31, 41, 47, 109, 163, 643, ...	A062579号
19	2, ...	A062585型
21		A062587号
22		A062588型
23		A062589美元
26		A062592号
27		A062593号
28		A062594号
29		A062595型
30		A062596型
31		A062597号
32		A062598型
41	7, 11, 13, 67, ...	A062607型
42	2, 3, 5, 47, 67, 103, ...	A062608型
43	3, 13, 43, 211, ...	A062609型
45	2, 5, 151, 223, 313, ...	A062611号
46	3, ...	A062612号
47	5, 17, 67, 73, 691, ...	A062613号
49	2、3、7、379。。。	A062615号
52	2, 29, 109, 179, ...	2006年6月18日
53	3, 19, 29, 37, ...	A062619号
54	2, 479, ...	A062620型
55	2, 5, 7, 701, ...	A062621号
56	3, 17, 293, ...	A062622型
57	2, 19, 769, 773, ...	A062623号
59	3、7、。。。	A062625型
60	4663, 8839, 14779, ...	A062626号
62	17, 23, 421, ...	A062628号
63	3, 59, ...	A062629号
64	2, 3, 11, 31, 349, 379, ...	A062630型
65	5, 31, ...	A062631号
67	3, 5, 43, ...	A062633号
69	2, 17, ...	A062635号
70	2, 11, ...	A062636号
80	7, 277, ...	A062646号
81		A062647号
82	2, 3, 13, 787, 797, 857, ...	A062648号
83
84	2, 41, 67, ...	A062650型
85	179, 479, ...	A062651美元
86	5, 11, 103, 227, ...	A062652美元
87
88	5, 7, 19, 241, 607, ...	A062654号
89		A062655型
99		A062665号

另请参见

• 素数的基相关分类