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有理数的置换

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有理数的置换是一个双射一对一映射)命令升序〔1〕有理数 以不同的方式(如果不是恒等排列井井有条因此订购自从可数的一个有理数集。

这个恒等排列有理数给出了一个有序集井井有条(这样)在OEIS中不允许

  • 有理数没有前辈;
  • 有理数无接班人;
  • 没有第一个有理数。

在OEIS中允许,有理数的排列必须有一个一对一与正整数集(可数)的对应关系。通过发现正有理数的排序,康托尔证明了可数性关于正有理数,因而是有理数。

正有理数的康托序(Cf.A020652(n)/A020653(n)n大于1

{ 1/1,1/2,2/1,1/3,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,1/5,5/1,1/6,1/6,y,y,y,y,y,y,y,y,…}

可以获得以下内容有理数的排序

{ 0/1,1/1,1/1,1/2,-2/1,1/3,-1/3,3/1,-3/1,1/4,-^,-y,-y,-y,-y,-y,y,-y,-y,y,-y,y,-y,-y,y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,-y,…

给出分子序列(参见A)???????(0)=0,A???????(n)=(- 1)^(n+1)*A020652((n(1)/ 2)(n=1)

{ 0, 1,- 1, 1,- 1, 2,- 2, 1,- 1, 3,-3, 1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4, 1,-1, 5,-5, 1,--1, 2,--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,…}

分母(参见A)???????(0)=1,A????????(n)=A020653((n(1)/ 2)(n=1)

{ 1, 1, 1,2, 2, 1,1, 3, 3,1, 1, 4,4, 3, 3,2, 2, 1,1, 5, 5,1, 1, 6,6, 5, 5,4, 4, 3,3, 2, 2,1, 1, 7,1, 1, 7,γ,γ,…}

像这样的序列被称为排列(此外,它们是)。排序自从可数的因为他们是如此定义。某些序列出现在其他问题中,并被证明是排列(和可数的排序)。另一些则推测是排列,直到找到一个重复的术语。反例),只要没有证据,就可以排除一个术语不出现的可能性。

然而,任何合理定义的有理数的双射(即置换)都可以记录在OEIS中。有理数双射的签名置换,基于任何一对一和在有理数与自然数之间的映射,例如正有理数的康托序以上提到的,或更优雅和高效(计算明智),通过斯特恩布罗科特树或其任何变体。

有理数的置换

有理数排序可数的有理数的置换。

非负有理数的置换

非负有理数的排序可数的非负有理数的置换。

实例

这些例子必然是可数的(排序),否则它们就不会在OEIS中了!

A000 248Stern的双原子序列(或Stern Brocot序列):a(0)=0,a(1)=1;对于n>0:a(2×n)=a(n),a(2×n+1)=a(n)+a(n+1)。

{ 0, 1, 1,2, 1, 3,2, 3, 1,4, 3, 5,2, 5, 3,4, 1, 5,4, 7, 3,8, 5, 7,2, 7, 5,8, 3, 7,4, 5, 1,6, 5, 9,6, 5, 9,γ,γ,γ,γ,γ,…}

A(n)/a(n+1)正好贯穿所有的非负有理数[Stern;卡尔金和Wilf ]。

正有理数的置换

正有理数序可数的正有理数的置换。

有理数的保序排列

有理数置换的一个重要子群是有理数的保序排列. 它由这些排列组成。关于任意两个有理数的原始阶数的有理数也就是说,. 这是其中之一寡形置换群.〔2〕

与整数集相反其中唯一的保序排列是平移(具有常数整数项),即

有理数,因为是一个稠密集承认许多其他类型的保序[即严格递增(在离散拐点上的一阶导数正或零)一对一和代数上的映射. 例如,线性映射给出前面的案例)

是有理数的保序排列,并且更一般地说,也是如此。

此外,分段函数如

当一个简单的二叉树旋转应用于斯特恩布罗科特树(或者仅仅是积极的一面,如果扩展Stern Brocot tree覆盖整个使用,见A05114

有理数的置换(猜想)

(…)

有理数的置换(开问题)

(…)

也见

笔记

  1. γ 虽然井井有条因为没有第一个有理数,任何有理数都不存在。前任也没有继承人,因为有理数集是稠密集.
  2. γ P. J. Cameron寡形置换群,28 pp.