约数

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这个约数（或因素)正整数的

n个

是正整数那道鸿沟

n个

不留下余数例如，4是的除数12，自12除以4是三没有剩余；5不是的除数12因为还有剩余的2.
的正因子

n个

是的零光滑的（除

x个= 0

)功能^[1]

d日n个(x个)=正弦 2 (π x个)+罪恶 2 π

n个

x个

, 1 ≤x个≤n个.

除法谓词

divides谓词

d日∣n个

是一个布尔函数，其计算结果为真的当且仅当

d日

划分

n个

，否则计算为假.

的除数n个

在除数

d日 (n个)

下表的列，拉马努詹的主要是合成数(A067128号)，定义为

n个

这样的话

d日 (n个) ≥ d日 (k个)

为所有人

1 ≤ k个<n个

，如所示大胆的. 在除数之和

σ (n个)

下表的列高度丰富的数字(A002093年)，定义为

σ (n个) >σ (米)

为所有人

1 ≤ 米<n个

，如所示大胆的.

的除数
n个,n个 ≥ 1
.

n个

约数

计数

σ0 (n个) (d日 (n个),τ (n个))

A000005号

总和

σ1(n个) (σ (n个))

A000203号

1

{1}

1

2

{1, 2}

2

三

{1, 3}

2

4

{1, 2, 4}

三

7

5

{1, 5}

2

6

{1, 2, 3, 6}

4

12

7

｛1，7｝

2

8

{1, 2, 4, 8}

4

15

9

{1, 3, 9}

三

13

10

{1, 2, 5, 10}

4

18

11

{1, 11}

2

12

{1, 2, 3, 4, 6, 12}

6

28

13

{1, 13}

2

14

{1, 2, 7, 14}

4

24

15

{1, 3, 5, 15}

4

24

16

{1, 2, 4, 8, 16}

5

31

17

{1, 17}

2

18

{1, 2, 3, 6, 9, 18}

6

39

19

｛1，19｝

2

20

{1, 2, 4, 5, 10, 20}

6

42

21

{1, 3, 7, 21}

4

32

22

{1, 2, 11, 22}

4

36

23

{1, 23}

2

24

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

8

60

25

{1, 5, 25}

三

31

26

{1, 2, 13, 26}

4

42

27

{1, 3, 9, 27}

4

40

28

{1, 2, 4, 7, 14, 28}

6

56

29

{1, 29}

2

30

{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

8

72

31

{1, 31}

2

32

｛1、2、4、8、16、32｝

6

63

33

{1, 3, 11, 33}

4

48

34

{1, 2, 17, 34}

4

54

35

{1, 5, 7, 35}

4

48

36

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

9

91

37

{1, 37}

2

38

{1, 2, 19, 38}

4

60

39

{1, 3, 13, 39}

4

56

40

{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

8

90

41

{1, 41}

2

42

{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

8

96

43

{1, 43}

2

44

{1, 2, 4, 11, 22, 44}

6

84

45

｛1、3、5、9、15、45｝

6

78

46

{1, 2, 23, 46}

4

72

47

{1, 47}

2

48

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

10

124

49

{1, 7, 49}

三

57

50

{1, 2, 5, 10, 25, 50}

6

93

51

{1, 3, 17, 51}

4

72

52

{1, 2, 4, 13, 26, 52}

6

98

53

{1, 53}

2

54

{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}

8

120

55

{1, 5, 11, 55}

4

72

56

｛1、2、4、7、8、14、28、56｝

8

120

57

{1, 3, 19, 57}

4

80

58

{1, 2, 29, 58}

4

90

59

{1, 59}

2

60

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

12

168

n个

约数

计数

σ0 (n个) (d日 (n个),τ (n个))

A000005号

总和

σ1(n个) (σ (n个))

A000203号

61

{1, 61}

2

62

{1, 2, 31, 62}

4

96

63

{1, 3, 7, 9, 21, 63}

6

104

64

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

7

127

65

{1, 5, 13, 65}

4

84

66

{1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66}

8

144

67

｛1，67｝

2

68

{1, 2, 4, 17, 34, 68}

6

126

69

{1, 3, 23, 69}

4

96

70

{1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

8

144

71

{1, 71}

2

72

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

12

195

73

{1, 73}

2

74

{1, 2, 37, 74}

4

114

75

{1, 3, 5, 15, 25, 75}

6

124

76

{1, 2, 4, 19, 38, 76}

6

140

77

{1, 7, 11, 77}

4

96

78

｛1、2、3、6、13、26、39、78｝

8

168

79

{1, 79}

2

80

{1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}

10

186

81

{1, 3, 9, 27, 81}

5

121

82

{1, 2, 41, 82}

4

126

83

{1, 83}

2

84

{1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}

12

224

85

{1, 5, 17, 85}

4

108

86

{1, 2, 43, 86}

4

132

87

{1, 3, 29, 87}

4

120

88

{1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88}

8

180

89

{1, 89}

2

90

｛1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90｝

12

234

91

{1, 7, 13, 91}

4

112

92

{1, 2, 4, 23, 46, 92}

6

168

93

{1, 3, 31, 93}

4

128

94

{1, 2, 47, 94}

4

144

95

{1, 5, 19, 95}

4

120

96

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}

12

252

97

{1, 97}

2

98

{1, 2, 7, 14, 49, 98}

6

171

99

{1, 3, 9, 11, 33, 99}

6

156

100

{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

9

217

101

｛1101｝

2

102

102

{1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102}

8

216

103

{1, 103}

2

104

104

{1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104}

8

210

105

{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}

8

192

106

{1, 2, 53, 106}

4

162

107

{1, 107}

2

108

108

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}

12

280

109

{1, 109}

2

110

110

{1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110}

8

216

111

{1, 3, 37, 111}

4

152

112

{1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112}

10

248

113

{1, 113}

2

114

114

｛1、2、3、6、19、38、57、114｝

8

240

115

{1, 5, 23, 115}

4

144

116

{1, 2, 4, 29, 58, 116}

6

210

117

{1, 3, 9, 13, 39, 117}

6

182

118

{1, 2, 59, 118}

4

180

119

{1, 7, 17, 119}

4

144

120

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

16

360

上表给出了有限序列的无限序列

{{1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 4}, {1, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 7}, {1, 2, 4, 8}, {1, 3, 9}, {1, 2, 5, 10}, {1, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 12}, {1, 13}, {1, 2, 7, 14}, {1, 3, 5, 15}, {1, 2, 4, 8, 16}, {1, 17}, {1, 2, 3, 6, 9, 18}, {1, 19}, {1, 2, 4, 5, 10, 20}, {1, 3, 7, 21}, {1, 2, 11, 22}, {1, 23},
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, {1, 5, 25}, {1, 2, 13, 26}, {1, 3, 9, 27}, {1, 2, 4, 7, 14, 28}, {1, 29}, {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, ...}

A027750型按行读取的三角形（排序…）

n个

列出的除数

n个

.

{1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 4, 1, 5, 1, 2, 3, 6, 1, 7, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 9, 1, 2, 5, 10, 1, 11, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 1, 13, 1, 2, 7, 14, 1, 3, 5, 15, 1, 2, 4, 8, 16, 1, 17, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 1, 19, 1, 2, 4, 5, 10, 20, 1, 3, 7, 21, 1, 2, 11, 22, 1, 23, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 1, 5, 25, 1, 2, 13, 26, 1, 3, 9, 27,
1, 2, 4, 7, 14, 28, 1, 29, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, ...}

立方体和等于和的平方的Liouville tau推广

如果，对于每个除数

d日我,我∈ {1, ...,τ (n个)},

属于

n个

，我们考虑除数的数量

τ (d日我 )

的

d日我

，我们有刘维尔τ推广,^[2]^[3]以…命名约瑟夫·刘维尔,

τ (n个)

∑

我=1

τ (d日我 ) 三 =

τ (n个)

∑

我 = 1

τ (d日我 ) 2.

特别是，如果

n个

是主要力量

对 n个 − 1

，我们有众所周知的

n个

∑

我 = 1

我三 =

n个

∑

我 = 1

我 2.

从主功率分解

n个

，我们可以从后者得到前者的关系。

的等分因子n个

的等分除数（或等分部分，不幸的是经常被称为适当除数或适当部分）

n个

是的除数

n个

小于

n个

.

的强除数n个

的强除数（或强部分）

n个

是的除数

n个

大于1(1可以说是“弱除数”）。

的非平凡因子n个

非平凡除数（或非平凡部分，在某些文本中称为真除数或真部分）

n个

是的除数 

n个

除1或

n个

。每个整数都可以被整除1，因此1是一个平凡除数；和每个整数（除了 

0

)可被自身整除。素数只有微不足道的除数。

例如12是{2, 3, 4, 6}.数字13没有任何非平凡除数。

偶数除数n个

(...)

的奇除数n个

(...)

的单位因子n个

除数

d日

属于

n个

是一个酉因子属于

n个

如果

d日

划分

n个

精确一次（即。

d日 2

不可分割

n个

). 例如，三是的幺正除数12，自9不可分割12。但是2不是的幺正除数12因为4也划分12均匀地。

偶数酉因子n个

(...)

的奇幺正因子n个

(...)

的除数n个!

(...) ^{（详细说明：n个!.)} ^[4]

序列

A000005号

d日 (n个)

（也称为

τ (n个)

或

σ0 (n个)

)，的除数属于

n个

.

{1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, ...}

A067128号拉马努詹的主要是合成数，定义为

n个

这样的话

d日 (n个) ≥ d日 (k个)

对于

k个= 1

到

n个 − 1

.

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 168, 180, 240, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, 720, 840, 1080, 1260, 1440, ...}

A002182号高度复合数，定义（1）：其中

d日 (n个)

，的除数

n个

(A000005号)，增加到创纪录水平。

{1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400, 55440, 83160, 110880, 166320, ...}

A002183号记录的值

τ (n个)

:除数属于

n个

第个高合成数.

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64, 72, 80, 84, 90, 96, 100, 108, 120, 128, 144, 160, 168, 180, 192, 200, 216, 224, 240, 256, 288, 320, 336, ...}

A000203号

σ (n个)=

除数之和属于

n个

。也称为

σ1(n个)

.

{1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 60, 31, 42, 40, 56, 30, 72, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 90, 42, 96, 44, 84, 78, ...}

A005100型数量不足：数字

n个

这样的话

σ (n个) < 2 n个

.

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, ...}

A005101号数量丰富（除数之和

n个

超过

2 n个

).

{12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, ...}

A？？？？？？大量丰富的数字:

σ (n个) ≥ σ (米)

为所有人

米<n个

.

｛这与A002093号高度丰富的数字或者是强大的小数定律在这里玩-丹尼尔·福格斯2012年5月23日04:30（UTC）}

A002093号高度丰富的数字:

σ (n个) >σ (米)

为所有人

米<n个

.

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168, 180, 210, 216, 240, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, ...}

A034885号记录的值

σ (n个)

.

{1, 3, 4, 7, 12, 15, 18, 28, 31, 39, 42, 60, 72, 91, 96, 124, 168, 195, 224, 234, 252, 280, 360, 403, 480, 546, 576, 600, 744, 819, 868, 992, 1170, 1344, 1512, 1560, 1680, ...}

A004394号超丰富的数字:

n个

这样的话

σ (n个)

n个

>

σ (米)

米

为所有人

米<n个,σ (n个)

是的除数之和

n个

.

{1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, ...}

A001065号的适当除数（或等分部分）之和

n个

：的除数之和

n个

小于

n个

.

{0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ...}

A000396号完美数字

n个

:

n个

等于

n个

.

{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, ...}

A034090型数字

n个

这样的适当除数之和

n个

超过了所有较小的数字。

{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168, 180, 216, 240, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 720, 840, 960, 1008, ...}

A034091号真除数函数和的记录。

{0, 1, 3, 6, 7, 8, 16, 21, 22, 36, 42, 55, 76, 108, 123, 140, 144, 156, 172, 240, 259, 312, 366, 384, 504, 531, 568, 656, 810, 924, 1032, 1056, 1140, 1260, 1356, 1698, 2040, ...}

A007955号除数乘积属于

n个

.

｛1、2、3、8、5、36、7、64、27、100、11、1728、13、196、225、1024、17、5832、19、8000、441、484、23、331776、125、676、729、21952、29、810000、31、32768、1089、1156、1225…｝

A034287号数字

n个

这样的除数的乘积

n个

大于小于的任何数字

n个

.（等于A067128号对于105834个术语，小于10 150.)

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 168, 180, 240, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, 720, 840, 1080, 1260, 1440, ...}

A007956号的真除数的乘积

n个

.

{1, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 8, 3, 10, 1, 144, 1, 14, 15, 64, 1, 324, 1, 400, 21, 22, 1, 13824, 5, 26, 27, 784, 1, 27000, 1, 1024, 33, 34, 35, 279936, 1, 38, 39, 64000, 1, 74088, 1, ...}

A034288号适当除数的乘积大于任何较小数的乘积。

{1, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 168, 180, 240, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 672, 720, 840, 1080, 1260, 1440, 1680, ...}

计算机代数系统中的除数函数

该功能在中提供PARI/GP公司作为除数（n）和除数[n]在里面数学软件.

推广到其他积分域

上述内容主要集中在

ℤ +

正整数的域，但这个概念可以很容易地扩展到其他积分域。让我们说

D类

是的某个领域代数整数、和

n个

和

d日

在该域中。如果

n个

d日

∈D类

还有，那么

d日

是的除数

n个

例如，在

ℤ [

2√ 三

]

，我们看到了

1 +

2√ 三

是的除数2自从

2

1 +

2√ 三

= − 1 +

2√ 三

。但它不是7自从

7

1 +

2√ 三

= −

7

2

+

7

2√ 三

2

∉ ℤ [

2√ 三

]

.

另请参阅

笔记

↑ 的在线绘图（正弦（pi*x））^2+（正弦（π*72/x））.
↑ 彼得·泰勒，立方总和.
↑ 爱德华·巴博（Edward Barbeau）和萨默·塞拉吉（Samer Seraj），“立方之和是总和的平方，”arXiv公司:1306.5257[math.NT]，2013年。
↑ 需要详细说明（部门n个!).

[1] 的在线绘图（正弦（pi*x））^2+（正弦（π*72/x））.

[2] 彼得·泰勒，立方总和.

[3] 爱德华·巴博（Edward Barbeau）和萨默·塞拉吉（Samer Seraj），“立方之和是总和的平方，”arXiv公司:1306.5257[math.NT]，2013年。

[4] 需要详细说明（部门n个!).

[1]

约数

目录

除法谓词

的除数n个

立方体和等于和的平方的Liouville tau推广

的等分因子n个

的强除数n个

的非平凡因子n个

偶数除数n个

的奇除数n个

的单位因子n个

偶数酉因子n个

的奇幺正因子n个

的除数n个!

序列

计算机代数系统中的除数函数

推广到其他积分域

另请参阅

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