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除数函数

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这个除数函数
σk个(n个),k个ℤ,
对于正整数
n个
定义为
k个
第个的权力约数属于
n个

特别地

  • σ − 1(n个)
    是的因子的调和和
    n个
    ;
  • σ0(n个)
    是的除数
    n个
    ,并且通常带有注释
    τ(n个)
    d日(n个)
    ;
  • σ1(n个)
    是以下各项的除数之和
    n个
    并且经常被标注
    σ(n个)
    .

除数函数的公式

素因子分解属于
n个
其中
第页
不同的素因子属于
n个
ω(n个)
不同素因子的个数属于
n个
,我们获得除数函数属于
n个
因为每个
第页
我们可以从中选择指数0
α
建立除数
n个
,简化为

除数函数的生成函数

这个生成函数

除数函数的Dirichlet生成函数

这个Dirichlet生成函数

σ−1(n个):除数函数的调和和

对于
k个= −1
我们得到
哪里
σ−1(n个)
因子的调和和属于
n个
.如果因子的调和和
σ−1(n个) =k个
是正整数
k个
,
n个
是一个k个-完全数自从
σ1(n个) =k个n个
.

σ0(n个):除数函数

对于
k个= 0
我们得到了除数
哪里
τ(n个)
除数函数.符号
d日(n个)
[1],
ν(n个)
[2]、和
τ(n个)
[3]有时用于
σ0(n个)
,它提供了除数属于
n个
.对于
n个> 0
,除数是部分大小相等的受限分区.

0(n个):等分除数函数

对于
k个= 0
我们得到了等分除数(除数小于
n个
)
哪里
σ0(n个)
除数函数.

σ1(n个):除数之和函数

对于
k个= 1
我们得到了除数之和
哪里
σ(n个)
除数和函数.符号
σ(n个)
通常用于
σ1(n个)
,它提供了除数之和属于
n个
.

1(n个):等分因子之和函数

对于
k个= 1
我们得到了等分因子之和(除数之和小于
n个
)
哪里
σ1(n个)
除数和函数.

相关公式和数值表

与除数函数相关的公式和值

k个
公式
σk个(n个) =

ω(n个)
  = 1
  
(α+ 1),k个= 0,


ω(n个)
  = 1
  
第页k个  (α +1)− 1
第页k个− 1
,k个≥ 1.
生成
功能

G公司{σk个(n个)}(x个) =


  = 1
  
  k个
x个
1 −x个
迪里克莱
生成
功能
D类{σk个(n个)}() =


ζ()ζ(k个)?
差异


σk个(n个) −

σk个(n个− 1) =
部分金额


n个  = 1
  
σk个(n个) =
部分倒数和


n个  = 1
  
1
σk个(n个)
=
倒数总和


n个  = 1
  
1
σk个(n个)
=
0
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12

序列表

除数函数序列
k个
σk个(n个),n个  ≥   1
A编号
0
{1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, ...}
A000005号
(n个)
1
{1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, 42, 32, 36, 24, 60, 31, 42, 40, 56, 30, 72, 32, 63, 48, 54, 48, 91, 38, 60, 56, 90, 42, 96, 44, 84, 78, 72, 48, 124, 57, 93, 72, ...}
A000203号
(n个)
2
{1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260, 341, 290, 455, 362, 546, 500, 610, 530, 850, 651, 850, 820, 1050, 842, 1300, 962, 1365, 1220, 1450, 1300, 1911, 1370, 1810, ...}
A001157号
(n个)
{1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, 1332, 2044, 2198, 3096, 3528, 4681, 4914, 6813, 6860, 9198, 9632, 11988, 12168, 16380, 15751, 19782, 20440, 25112, 24390, 31752, 29792, ...}
A001158号
(n个)
4
{1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, 14642, 22386, 28562, 40834, 51332, 69905, 83522, 112931, 130322, 170898, 196964, 248914, 279842, 358258, 391251, 485554, ...}
A001159号
(n个)
5
{1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, 103158, 161052, 257908, 371294, 554664, 762744, 1082401, 1419858, 1956669, 2476100, 3304182, 4101152, 5314716, 6436344, ...}
A001160型
(n个)
6
{1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, 532171, 1015690, 1771562, 3037530, 4826810, 7647250, 11406980, 17043521, 24137570, 34591115, 47045882, 65019786, 85884500, ...}
A013954号
(n个)
7
{1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, 4785157, 10078254, 19487172, 36130444, 62748518, 106237176, 170939688, 270549121, 410338674, 617285253, 893871740, ...}
A013955型
(n个)
8
{1, 257, 6562, 65793, 390626, 1686434, 5764802, 16843009, 43053283, 100390882, 214358882, 431733666, 815730722, 1481554114, 2563287812, 4311810305, 6975757442, ...}
A013956号
(n个)
9
{1, 513, 19684, 262657, 1953126, 10097892, 40353608, 134480385, 387440173, 1001953638, 2357947692, 5170140388, 10604499374, 20701400904, 38445332184, 68853957121, ...}
A??????
(n个)
10
{1, 1025, ...}
A??????
(n个)
11
{1, 2049, ...}
A??????
(n个)
12
{1, 4097, ...}
A??????
(n个)

另请参见




算术函数模板

笔记

  1. 哈代和赖特1979年,第239页。
  2. Ore 1988,第86页。
  3. 伯顿1989年,第128页。

工具书类

  • Burton,D.M.(1989)。初等数论(第四版)。马萨诸塞州波士顿:Allyn和Bacon。 
  • 哈代,G.H。;Wright,E.M.(1979)。数论导论(第五版)。英国牛津:牛津大学出版社。第354-355页。 
  • Knopp,K.(1951年)。无穷级数的理论与应用伦敦:布莱克。第451页。 
  • 矿石,Ø。(1988).数论及其历史纽约:多佛。 
  • Titchmarsh,E.C.(1938年)。“在一系列Lambert类型上”。J.伦敦数学。Soc公司。 13:第248-253页。