算术导数

在数论，的算术导数或数字导数是算术函数为定义自然数，基于他们的素因子分解以及与产品规则类比的产品规则导数用于分析的函数。

自然数的算术导数

定义

• 对于质数，算术导数定义为

${\显示样式p'\，\equiv\，1\，}$

对于任何素数${\显示样式\脚本样式p.\，}$

• 对于自然数，算术导数是根据它们的素因子分解，使用产品规则

${\显示样式（ab）'\，\equiv\，a'b+ab'\，}$

对于任何${\显示样式\脚本样式a，\，b\，\in\，\mathbb{N}}$.

考虑自然数的素因子分解

${\显示样式n=\prod_{i=1}^{\omega（n）}{p{i}}^{e{i}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式\{p{1}，\，\ldot，\，p{\omega（n）}\，}$是不同的素因子属于${\显示样式\脚本样式n\，}$,ω（n）是不同素因子的个数属于${\显示样式\脚本样式n\，}$和${\显示样式\脚本样式\{e_{1}，\，\ldot，\，e_{ω（n）}\，}$是正整数,

其算术导数由下式给出

$显示样式n’=sum_{i=1}^{omega（n）}e_{i} 第页_{1} ^{e_{1}}\cdots p_{i}^{e_{i} -1个}\cdot p_{ω{i} 第页_{1} ^{e_{1}}\cdots p_{i}^{e_{i} -1个}\cdot p_{ω$

1的算术导数

根据莱布尼茨规则

${\显示样式1'=（1\cdot 1）'=1'\cdot 1+1\cdot 1'=2\cdot 1'，\，}$

因此

$｛\displaystyle1'=0。\，｝$

阿尔索

${\显示样式1'=1\\sum_{i=1}^{\omega（1）}{\frac{e_{i}}{p_{i}{}=1\sum_{i=1}^{0}{\frac{e_}}{p2}}=1\cdot 0=0，\，}$

自从空总和为0。

-1的算术导数

根据莱布尼茨规则

$0=1'=（（-1）\cdot（-1））'=-2\ cdot（-1-）'，\，$

因此

${\显示样式（-1）'=0.\，}$

-n的算术导数

根据莱布尼茨规则

${\displaystyle（-n）'=（（-1）\cdot n）'=（-1）'\cdot n+（-1）\ cdot n'=-n'，\，}$

因此

${\显示样式（-n）'=-n'.\，}$

0的算术导数

与函数导数在分析中，和的算术导数不是算术导数的和，所以如下

${\显示样式0'=（n+（-n））'=n'+（-n）'=n’-n’=0，\，}$

因此

${\显示样式0'=0\，}$

是一个错误的“证据”。但结果是正确的：

${\显示样式0'=（-0）'=-0'\，}$

因此

${\显示样式2\cdot 0'=0\，}$

所以

${\显示样式0'=0.\，}$

E.J.Barbou是第一个将这个定义形式化的人。他通过证明将其推广到所有整数${\显示样式\脚本样式（-x）'\，=\，-x'\，}$唯一定义上的导数整数巴博还将其扩展到有理数维克托·乌夫纳罗夫斯基和博奥伦德将其扩展到代数数在这些扩展中，上述公式仍然适用，但指数${\显示样式\脚本样式e_{i}\，}$允许是任意有理数。

属性

0或单位（1，-1）的算术导数

的算术导数${\显示样式\脚本样式n\，}$为零当且仅当${\显示样式\脚本样式n\，}$是零或a单元（即可逆元素）。

整数素数的算术导数

整数素数是单位（1，-1）乘以正素数${\显示样式\脚本样式p\，}$.

整数素数（单位（1，-1）乘以正素数的算术导数${\显示样式\脚本样式p\，}$)是单位吗（当且仅当规则）

${\显示样式（p）'\，=\，p'\，=\，1，\，}$

${\显示样式（-p）'\，=\，-p'\，=\，-1.\，}$

整数素数的算术二阶导数

因此整数素数的算术二阶导数为零（当且仅当规则）

${\显示样式（p）''\，=\，p''\，=\\，1'\，=\，0，\，}$

${\显示样式（-p）“”\，=\，-p“”\$

权力规则（适用于主要权力）

算术导数保留了幂律（对于主要权力):

${\显示样式（p^{a}）'=ap^{a-1}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式p\，}$是素数，并且${\显示样式\脚本样式a\，}$是一个正整数。

算术对数导数

${\显示样式{\frac{n'}{n}}=\sum_{i=1}^{\omega（n）}{\ frac{e_{i}}{p{i}{}，\，}$

所以我们可以定义算术对数导数属于${\显示样式\脚本样式n\，}$作为

${显示样式ld（n）\equiv（\log n）'\equiv{\frac{n'}{n}}=\sum_{i=1}^{\omega（n）}{\frac{e_{i}}{p{i}{}.\，}$

有理数的算术导数

对于任何非零${\显示样式\脚本样式n\，}$

${\显示样式0=1'={\bigg（}{\frac{n}{n}}{\big）}'=n'{\bigg（}{\ frac{1}{n{}{\bigg）}+n{\bigs（}{\frac{1}{n}{\ bigg）{'\，}$

因此

${\显示样式{\bigg（}{\frac{1}{n}}{\big）}'=-{\frac{n'}{n^{2}}.\，}$

对于任何${\显示样式\脚本样式a\，\in\，\mathbb{Z}，\，b\，\in \，\mathbb{N^{+}}\，}$（商法则），我们有

${\displaystyle{\bigg（}{\frac{a}{b}}{\big）}'=a'{\bigg（}{\frac{1}{b{}{\bigg）}+a{\bigh（}{\ frac{1}{b}{\ bigg）{'={\frac{a'}{bneneneep}-a{\frac-b'}{b^{2}}}={\frac{（a'b-a'）}{b^{2}}\，}$,

这类似于导数分析中的函数。

属性

算术导数保留了幂律（对于负数主要大国):

${\显示样式{\bigg（}{\frac{1}{p^{a}}{\big）}'=-{\frac{a}{p_{a+1}}}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式p\，}$是素数，并且${\显示样式\脚本样式a\，\geq\，1.\，}$

序列

的算术导数${\显示样式\脚本样式n，\ n\，\geq\，0\，}$，给出了序列A003415号

{0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, 8, 32, 1, 21, 1, 24, 10, 13, 1, 44, 10, 15, 27, 32, 1, 31, 1, 80, 14, 19, 12, 60, 1, 21, 16, 68, 1, 41, 1, 48, 39, 25, 1, 112, 14, 45, 20, 56, 1, 81, 16, 92, 22, 31, 1, 92, 1, 33, 51, ...}

高斯整数的算术导数

Ufnarovski和Ahlander简要地提到了这个想法，但他们没有追求它，因为高斯整数不是整数算术导数的扩展。每个非零高斯整数都有一个唯一的因子分解成单元（1，-1，i，-i）和正幂高斯素数（即高斯素数${\显示样式\脚本样式a+bi\，}$哪里${\显示样式\脚本样式a\，>\，0\，}$和${\显示样式\脚本样式b\，\geq\，0\，}$).

定义

• 所有正（第一象限）高斯素数的算术导数${\显示样式\脚本样式p\，}$定义为1

${\显示样式p'\，\equiv\，1；\，}$

• 乘积的算术导数遵循莱布尼茨法则

${\显示样式（uv）'\，\equiv\，u'v+uv'.\，}$

0或单位（1，-1，i，-i）的算术导数

该定义导致以下结果

• 0或单位（1，-1，i，-i）的算术导数为0；

• 单位（1，-1，i，-i）乘以高斯整数的算术导数等于该单位乘以该高斯整数的数学导数

${\显示样式（u）'\，=\，u'，\，}$

$｛\displaystyle（-u）'\，=\，-u'，\，｝$

${\显示样式（iu）'\，=\，iu'，\，}$

${\显示样式（-iu）'\，=\，-iu'.\，}$

高斯素数的算术导数

高斯素数是单位（1，-1，i，-i）乘以正高斯素数。

高斯素数的算术导数（单位（1，-1，i，-i）乘以正高斯素数）就是这个单位（当且仅当规则）

${\显示样式（p）'\，=\，p'\，=\，1，\，}$

${\显示样式（-p）'\，=\，-p'\，=\，-1，\，}$

${\显示样式（ip）'\，=\，ip'\，=i，\，}$

$｛\displaystyle（-ip）'\，=\，-ip'\，=\，-i\，｝$

高斯素数的算术二阶导数

这个算术二阶导数因此，高斯素数为零（当且仅当规则）

${\显示样式（p）''\，=\，p''\，=\\，1'\，=\，0，\，}$

${\显示样式（-p）“”\，=\，-p“”\$

${\显示样式（ip）“”\，=\，ip''\，=i''\，=\，0，\，}$

${\显示样式（-ip）''\，=\，-ip''\、=\、-i'\、=\、0.\、}$

高斯有理数的算术导数

算术导数的这个定义可以推广到分数${\显示样式\脚本样式u/v\，}$，其中${\显示样式\脚本样式u\，}$和${\显示样式\脚本样式v\，}$是高斯整数。

概括

关系${\显示样式\脚本样式（ab）'\，=\，a'b+ab'\，}$暗示${\显示样式\脚本样式1'\，=\，0\，}$，但这并不意味着${\显示样式\脚本样式p'，=\，1\，}$对于${\显示样式\脚本样式p\，}$一个素数。事实上，任何函数${\显示样式\脚本样式f\，}$定义在素数上的函数可以唯一地扩展到满足此关系的整数上的函数（Cf。A003415号，评论来自：Franklin T.Adams Watters（FrankTAW（AT）Netscape.net），2006年11月7日）：

${\显示样式f（n）=f{\bigg（}\prod_{i=1}^{\omega e_{i}}{p{i}{f（p{i{）{bigg$

应用

Emmons、Krebs和Shaheen提出了几个涉及算术导数研究的本科项目。

另请参见

• A003415号a（n）=n’=n的导数：a（0）=a（1）=0，a（素数）=1，a（mn）=m*a（n”）+n*a（m）。
• A086134号n’的最小素因子。
• A086131号n’的最大素因子。
• A085731号gcd（n，n’）。

• n的k次算术导数
  • A003415号a（n）=n’=n的导数：a（0）=a（1）=0，a（素数）=1，a（mn）=m*a（n”）+n*a（m）。
  • A068346号n的算术二阶导数。
  • A099306号n的算术三阶导数。
  • ...
  • A129150型2^3的n阶算术导数。
  • A129151号3^4的n阶算术导数。
  • A129152号5^6的n阶算术导数。
  • A099309型对于所有k，n的k次算术导数都是非零的。
  • A099308型对于某些k，n的k次算术导数为零。
  • A099307号最小k，使n的第k个算术导数为零。

• 的算术导数多项式
  • A068719号2n的算术导数。
  • A068312号三角数的算术导数。
  • A068720型n^2的算术导数。
  • A068721号n^3的算术导数。

• A068329号斐波那契（n）的算术导数。

• 的算术导数指数
  • A001787号2^n的算术导数。
  • A027471号3^n的算术导数。
  • A085708号10^n的算术导数。

• 的算术导数超指数函数
  • A024451号p#的算术导数。
  • A068311号n！的算术导数！
  • A068327号n^n的算术导数。

• 的算术导数特殊数字
  • A068328号无平方数的算术导数。
  • A086300型7个光滑数的算术导数。

• 的算术导数算术函数
  • A096371号分区数的算术导数。
  • A099301号d（n）的算术导数。
  • A099310型φ（n）的算术导数。

• '算术微分'丢番图方程
  • A051674美元n使得n’=n（即（第n素数）^（第n质数）。）
  • A098700型使x'=n没有整数解。
  • A098699号使x’=n的最小x。
  • A099303号最大的x，使得x'=n。
  • A099302号x’=n的解的数量。
  • A099304型至少（n+k）'=n'+k'。
  • A099305号（n+k）'=n'+k'的解的数目。
• 的算术导数有理数
  • A068237号1/n算术导数的分子。
  • A068238号1/n算术导数的分母。

• 的算术导数高斯整数
  • A099379号n’的实数部分，高斯整数的算术导数。
  • A099380型n’的虚部，高斯整数的算术导数。

工具书类

• E.J.Barbeau，“关于算术导数的评论”，加拿大数学公报，第4卷（1961年），117-122。
• Victor Ufnarovski和BoÅhlander，“如何区分数字”,整数序列杂志第6卷（2003年），第03.3.4条。

外部链接

• 算术导数,行星数学，访问时间：2008年4月9日04:15（UTC）。
• L.Westrick，数字导数的研究.
• I.彼得森，数学之旅：推导数字的结构.
• 迈克尔·斯塔，广义数导数,整数序列杂志，第8卷（2005年）。