乘法完全数

完美的数字，就像完美的男人一样，是非常罕见的。—笛卡尔

这个乘法完全数( 

k个

-完美数)是正整数可以被他们的除数之和.

k个-完全数

A类 

k个

-完全数是一个整数 

n个

因此除数之和是 

k个 n个,k个≥1,k个∈ ℕ,

即

${\displaystyle\sigma{1}（n）：=\sum_{i=1}^{\sigma{0}（n）}d（i）=\sum_{\stackrel{i=1{i|n}}^{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{\bmod{\，}}i=0]\cdot i=kn，\quad k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{\bmod{\，}}i=0]\cdot i=kn，\quad k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}$

哪里 

d日 (我)

是 

我

第个 除数属于 

n个

, 

σ0(n个) =τ (n个)

是除数属于 

n个

, 

σ1(n个) =σ (n个)

是除数之和属于 

n个

和 

[·]

是艾弗森支架.等效地，a 

k个

-完全数是一个整数 

n个

因此因子的调和和是 

k个,k个≥1,k个∈ ℕ,

即

${\显示样式\西格玛{-1}（n）：=\sum_{i=1}^{\西格马{0}c{1}{i}}\right）=\sum_{i=1}^{n}[n，{\bmod{\，}}i=0]\，\cdot\，\left（{\frac{1{n/i}}\right）=\sum_{i=1}^{n}[n \，{\bmod{\，{}i=0]\，\cd ot\，\ left（\\frac{i}{n}\rift）＝｛\frac｛\sigma\｛1｝（n）｝｛n｝｝＝k，\，｝＝｛\frac｛\sigma\｛1｝（n）｝｛n｝｝＝k，\，｝$

哪里 

σ−1(n个)

是的因子的调和和 

n个

.例如， 

672

是一个3-完整编号，因为它的除数加起来等于 

2016

，那是三次 

672

.

第张表，共张k个-完全数

对于 

k个≥2

，不知道这些是有限序列还是无限序列（显然，只有一个序列 

1

-完全数，即 

1

).

 

k个

-完全数

k个	序列  一k个 (n个),n个≥1	A编号
1	{1}
2	{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, ...}	A000396号
三	{120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160, ...}	A005820号
4	{30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, 1379454720, 43861478400, 66433720320, ...}	A027687号
5	{14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, 30823866178560, 740344994887680, 796928461056000, 212517062615531520, 69357059049509038080, ...}	A046060型
6	{154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, 6205958672455589512937472000, 13297004660164711617331200000, ...}	A046061号
7	{141310897947438348259849402738485523264343544818565120000, ...}
8	{2 62× 3 15× 5 9× 7 7× 11 三× 13 三×17 2× 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 53 × 61 × 71 × 97 2× 521 2× 6118243316177221840497066178204572112368770107012542227185747, ...}

最小的k个-完全数

最小的 

k个

-每个人的完美数字 

k个≥1

.
A007539号弗斯特 

n个

-折叠完全数， 

n个≥1

.

 

{1, 6, 120, 30240, 14182439040, 154345556085770649600, 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000, 8268099687077761372899241948635962893501943883292455548843932421413884476391773708366277840568053624227289196057256213348352000000000, ...}

1-完全数

只有一个 

1

-完全数，即。 

1

.

2-完全数（完全数）

什么时候？ 

k个

未指定，通常理解为 

k个= 2

，即。完全数。这些数字自欧几里得是时候了。

古代基督教学者奥古斯丁（Augustine）解释说，上帝本可以在瞬间创造世界，但却选择在完美的天数内创造。早期的犹太评论家认为，月球28天的周期显示了宇宙的完美。下一列是4968128和33550336。所有数字都以6或8结尾，尽管对于前几个完全数来说，似乎是6和8的交替模式并没有继续下去。在1638年致梅森，笛卡尔建议偶数完全数是的欧几里得的形式，并表示他认为没有理由奇数完全数不可能存在（Dickson 2005，第12页）。作为勒内·笛卡尔指出：“像完美男人这样的完美数字是非常罕见的。”尚不清楚是否有无限多的完美数字（对于每个人梅森素数我们有一个对应的偶数完全数，但不知道是否有无限多梅森素数.）也不知道是否有奇数完全数.

甚至完美数字

这个偶数完美数都是这样的

$显示样式n=2^{m}，（2^{m+1}-1）=2^{ms}，σ（2^}m}），四m\geq1，，}$

哪里 

2 米 +1 −  1

必须是首要的（称为梅森素数，请参阅A000668号).

${显示样式\sigma（n）=\ sigma，\，}$

自从 

2

，具有正指数，为几乎完美.

定理。 (欧几里得)

如果 

2 米 −  1

是质数（称为梅森素数），则 

n个= (2 米  − 1) (2 米 −  1)

是一个完全数（请参见A000396号).

证明。为方便起见，将梅森素数标记为 

第页= 2 米 −  1

，的除数 

n个

是的权力 

2

从 

1

到 

2 米  − 1

每一种权力都乘以 

第页

.自 

∑ 米负极1 我   = 0 2 我= 2 米 −  1

，的除数之和 

n个

是 

(2 米 −  1） +（2 米 −  1)第页

。进一步重写，我们得到 

σ (n个) = (2 米 −  1) (1 +第页) = (2 米 −  1) (1 + 2 米 −  1) = 2 米(2 米 −  1) = 2 ⋅   (2 米  − 1) (2 米 −  1） =2n个

如预测所示。 □

直到利昂哈德·尤勒相反的情况得到了证实。

定理。 （欧拉）

如果 

n个

是一个偶数完全数，它一定是梅森素数的乘积 

第页= 2 米 −  1

和两个人的力量 

2 米  − 1

（请参见A000079号2的权力。）

证明。这里有证据。 □ ^{（提供证据：特此证明。□）} 

在欧几里德和欧拉之间，中世纪数学家对完美数字做出了一些猜测，但后来证明这些猜测是错误的，例如，在10的每一次连续幂之间都有一个完美的数字（在10000到100000之间，或者在10000和10000000之间，没有完美的数字），并且每个连续完全数的最低有效基数10位在6和8之间交替（仅通过引用前五个完全数来支持）。

每个偶数完全数是一个三角形数，因为它们是

${\显示样式2^{n-1}\cdot（2^{n} -1个)={\压裂{（2^{n} -1个)2^{n}}{2}}=t{2^{n} -1个},\,}{n} -1个)={\压裂{（2^{n} -1个)2^{n}}{2}}=t{2^{n} -1个},\,}$

哪里 

2 n个 −  1

是质数。

每个偶数完全数也是一个六边形数，因为它们是

${\显示样式2^{n-1}\cdot（2^{n} -1个)=2^{n-1}\cdot（2\cdot 2^{n-1}-1)=h_{2^{n-1}}，\，}{n} -1个)=2^{n-1}\cdot（2\cdot 2^{n-1}-1)=h_{2^{n-1}}，\，}$

哪里 

2 n个 −  1

是质数。

奇数完美数

文章主页：奇数完美数

尚不清楚是否奇数完全数是否存在！数学家已经能够证明这些数字存在的各种必要（但不充分）要求，而无法证明它们确实存在或不存在。

k个-完美数字k个≥3（多完全数）

什么时候？ 

k个≥三

，这些被考虑多完全数.

偶数k个-完美数字k个≥3（偶数多完美数）

(...)

奇数k个-完美数字k个≥3（奇数多完美数）

(...)

推测的数量k个-每个的完美数字k个≥ 3

A134639号数字的推测计数 

k个

这样的话 

σ (k个) k个 =n个,n个≥三

.

 

{6, 36, 65, 245, 516, ...}

遵循上与以下SeqFan帖子相关的线索http://list.seqfan.eu/pipermail/seqfan/2012-July/thread.html#9825

----------转发的消息----------发件人：Georgi Guninski<guninski@guninski网站>收件人：序列狂热者讨论列表<seqfan@list.seqfan.eu>复写的副本：日期：2012年7月16日星期一13:14:33+0300主题：[seqfan]回复：参考“A027687号4-完全数“是有限的谢谢您。被问及是因为奇数完美数和无穷梅森素数意味着4-完美数是无限的（以及许多其他2k完美数）-取OPN的产物和与之互素的EPN。另一方面，4-完全是有限和无限梅森素数表示没有OPN。为什么相信所有的4完美都被发现了（即使他们是有限的）？

几乎k个-完全数

安几乎 

k个

-完全数是一个整数 

n个

因此除数之和是 

k个 n个 −  1,k个≥1,k个∈ ℕ,

即

${\displaystyle\sigma{1}（n）：=\sum_{i=1}^{\sigma{0}（n）}d（i）=\sum_{\stackrel{i=1{i|n}}^{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{bmod{\，}}i=0]\cdot i=kn-1，\quad k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{bmod{\，}}i=0]\cdot i=kn-1，\quad k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}$

哪里 

d日 (我)

是 

我

第个 除数属于 

n个

, 

σ0(n个) =τ (n个)

是除数属于 

n个

, 

σ1(n个) =σ (n个)

是除数之和属于 

n个

和 

[·]

是艾弗森支架.

几乎1-完全数

(...)

几乎2-完全数

二者的力量是几乎 

2

-完全数(几乎完美的数字)，自

${\displaystyle\sigma（2^{m}）=2^{m+1}-1=2\cdot 2^{m} -1个，\，m\geq 1.\，}{m} -1个，\，m\geq 1.\，}$.

几乎k个-完美数字k个≥3（几乎多个完全数）

(...)

准k个-完全数

A类准（准） 

k个

-完全数是一个整数 

n个

因此除数之和是 

k个 n个+ 1,k个≥1,k个∈ ℕ,

即

${\displaystyle\sigma{1}（n）：=\sum_{i=1}^{\sigma{0}（n）}d（i）=\sum_{\stackrel{i=1{i|n}}^{n} 我=\sum_｛i=1｝^｛n｝[n\，｛\bmod｛\，｝｝i=0]\cdot i=kn+1，\fquad k\geq 1，k\in\mathbb｛n｝，\，｝{n} 我=\sum_｛i=1｝^｛n｝[n\，｛\bmod｛\，｝｝i=0]\cdot i=kn+1，\fquad k\geq 1，k\in\mathbb｛n｝，\，｝$

哪里 

d日 (我)

是 

我

第个 除数属于 

n个

, 

σ0(n个) =τ (n个)

是除数属于 

n个

, 

σ1(n个) =σ (n个)

是除数之和属于 

n个

和 

[·]

是艾弗森支架.

拟1-完全数

素数 

第页

是[[准 

1

-完美数字]]自 

σ (第页) =第页+ 1

.

拟2-完全数

(...)

准k个-完美数字k个≥3（准多完全数）

(...)

k个-亏数

A类 

k个

-亏数是一个整数 

n个

使得其除数之和小于 

k个 n个,k个≥1,k个∈ ℕ,

即

${\displaystyle\sigma{1}（n）：=\sum_{i=1}^{\sigma{0}（n）}d（i）=\sum_{\stackrel{i=1{i|n}}^{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{\bmod{\，}}i=0]\cdot i<kn，k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{\bmod{\，}}i=0]\cdot i<kn，k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}$

哪里 

d日 (我)

是 

我

第个 除数属于 

n个

, 

σ0(n个) =τ (n个)

是除数属于 

n个

, 

σ1(n个) =σ (n个)

是除数之和属于 

n个

和 

[·]

是艾弗森支架.

2-亏数（亏数）

文章主页：数量不足

(...)

k个-丰富的数字

A类 

k个

-富足数是一个整数 

n个

因此除数之和大于 

k个 n个,k个≥1,k个∈ ℕ,

即

${\displaystyle\sigma{1}（n）：=\sum_{i=1}^{\sigma{0}（n）}d（i）=\sum_{\stackrel{i=1{i|n}}^{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{bmod{\，}}i=0]\cdot i>kn，k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}{n} 我=\sum_{i=1}^{n}[n\，{bmod{\，}}i=0]\cdot i>kn，k\geq 1，k\in\mathbb{n}，\，}$

哪里 

d日 (我)

是 

我

第个 除数属于 

n个

, 

σ0(n个) =τ (n个)

是除数属于 

n个

, 

σ1(n个) =σ (n个)

是除数之和属于 

n个

和 

[·]

是艾弗森支架.

2-丰富数（丰富数）

文章主页：数量丰富

(...)

序列

A007691号乘法完全数： 

n个

划分 

σ (n个)

.

 

{1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, 1379454720, 1476304896, 8589869056, 14182439040, 31998395520, 43861478400, ...}

A054030美元 

σ (n个) n个

对于 

n个

这样的话 

σ (n个)

可除以 

n个

.

 

{1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 3, 4, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 2, 5, 4, 5, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 5, 5, 4, 5, 6, 5, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 6, 6, 5, 6, 5, 6, 6, 5, 4, 4, ...}

另请参见

• 类别：多完美数字
• A007539号列出最小的 

  k个

  -完美数字。

• 完美数字（单打）( 

  σ (n个)  − n个=n个

  )
• 友好的数字（对）( 

  σ (米)  − 米=n个

  和 

  σ (n个)  − n个=米

  )
• 社交人数( 

  k个

  -元组）( 

  σ (n个我 )  − n个我=n个(我 +1） 模块k个 ,我= 0 ..k个 −  1,k个≥三

  )

工具书类

• 迪克森，L.E。，数论史，第一卷：可分割性和基本性。纽约：多佛，第3-33页，2005年。

外部链接

• 乘法完全数页面.
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,多完美数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 行星数学，小乘完全数表.
• OddPerfect.org网站