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M比比斯函数

从奥伊斯维基
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这个M比比斯函数,命名为八月费迪南(MyBiu有时被音译,没有音位的,作为M.BiUS,〔1〕莫比乌斯或莫比乌斯)
μ()N
告诉A是否正整数无平方的如果是的话,它是否有奇数即使素因子. 因此
哪里
ω()N
素素数的个数属于
N
ΩN
素数因子(重复)属于
N
. 注意
N
无平方的当且仅当
ΩN=ω()N
利用事实的价值
(第1)γK
之间交替γ+1α1,取决于奇偶性
K
(见A033 99
(第1)γNNα~(0)
我们可以把这个定义浓缩成

并使用艾弗森括号我们可以进一步将定义浓缩为

(什么时候
ΩN>ω()N
艾弗森括号是没有必要评估
(第1)γω()N
,这被称为短路求值因为我们不再考虑一个素数(如8月费迪南My BioS的时间)〔2〕具有素数的偶数个数,即零,因此
μ(1)=1
. 这简化了我们以后将看到的某些身份。对于M?BIUS函数的更多值,请参见A000 868.

M比比斯函数相关值表

M比比斯函数相关值

N

ΩNω()N
莫比乌斯
μ()N


A000 868
μ()N=α1
A0300 59
μ()N= 0
A013929
μ()N= 1
A030229
默滕斯
()N=
西米
N

Iα=1
γμ()I()


A000
0, 0
1, 1 - 1
1, 1 - 1 - 1
2, 1 - 1
1, 1 - 1 - 2
2, 2 - 1
1, 1 - 1 - 2
3, 1 - 2
2, 1 - 2
2, 2 - 1
十一 1, 1 - 1 - 2
十二 3, 2 - 2
十三 1, 1 - 1 - 3
十四 2, 2 - 2
十五 2, 2 - 1
十六 4, 1 - 1
十七 1, 1 - 1 - 2
十八 3, 2 - 2
十九 1, 1 - 1 - 3
二十 3, 2 - 3
二十一 2, 2 - 2
二十二 2, 2 - 1
二十三 1, 1 - 1 - 2
二十四 4, 2 - 2
二十五 2, 1 - 2
二十六 2, 2 - 1
二十七 3, 1 - 1
二十八 3, 2 - 1
二十九 1, 1 - 1 - 2
三十 3, 3 - 1 - 3
三十一 1, 1 - 1 - 4
三十二 5, 1 - 4

该值可在PARI/GP作为“莫比乌斯(N)”和Mathematica的“莫比乌姆[n]”。

渐近性态

这个吸气四象限函数定义为

哪里
γμ()N
四元函数, the无平方数的特征函数.

这个渐近密度属于无平方数对应于可能性这两个随机选择的整数是互质

哪里
N
N
质数
泽尔()S
Riemann zeta函数.

奇数无平方数的渐近密度素因子等于无素数的偶数个素数的渐近密度,即

哪里
[··]
艾弗森括号.

这个默滕斯函数的图(the梅坦斯函数作为SUMISTION M OBIUS函数似乎表示默滕斯函数的平均负偏倚,这意味着存在偏差(类似于切比雪夫偏倚)在具有偶数个素数因子的无平方数的情况下,支持具有奇数个素数因子的无平方因子数。这种偏倚的存在或不存在,如果足够小,对渐近行为没有影响。

M—BIUS函数的部分和

这个部分和关于M'BiUS函数给出梅坦斯函数

N= 1
我们发现,给出了一组除数
N
{DD()N}
在哪里
()N
除数数属于
N
然后〔3〕

狄利克雷生成函数

自从Riemann zeta函数是由Dirichlet级数用M比比斯函数作为Dirichlet性格狄利克雷生成序列

我们有那个狄利克雷生成函数关于M'BiUS函数的是Riemann zeta函数

性能

哪里
泽尔()S
Riemann zeta函数
首要的N
素数的特征函数.
哪里
QN(=)
γμ()N
四元函数.

M比比斯反演

MiBiUS函数用于定义M比比斯变换(或)M比比斯反演)一个序列

序列

A0300 59
μ()N=α1
数是奇数个素数的乘积。
{ 2, 3, 5,7, 11, 13,17, 19, 23,29, 30, 31,37, 41, 42,43, 47, 53,59, 61, 66,67, 70, 71,73, 78, 79,83, 89, 97,101, 102, 103,105, 107, 109,105, 107, 109,γ,γ,…,}
A013929
μ()N= 0
那些不是方形的数字。可比平方大的数. 补语A000.
{ 4, 8, 9,12, 16, 18,20, 24, 25,27, 28, 32,36, 40, 44,45, 48, 49,50, 52, 54,56, 60, 63,64, 68, 72,75, 76, 80,81, 84, 88,90, 92, 96,90, 92, 96,γ,γ,γ,…,}
A030229
μ()N(=)+ 1
数字是偶数个素数的乘积。
{ 1, 6, 10,14, 15, 21,22, 26, 33,34, 35, 38,39, 46, 51,55, 57, 58,62, 65, 69,74, 77, 82,85, 86, 87,91, 93, 94,95, 106, 111,115, 118, 119,115, 118, 119,γ,γ,…,}
A000 868莫比乌斯(或莫比乌斯)函数
μ()N
.
{ 1、1、1, 0、1, 1、1, 0, 0、1、1, 0、1, 1, 1、0、1, 0、1, 0, 1、1、1、Y、-、-、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、……}
A000 梅坦斯函数
西米
Kα-ωN

Kα-ωN
μ()K
在哪里
μ()K
M是Bi-BiUS函数A000 868
1、2、1、2、2、2、-1、-2、-2、-^、-^、-^、-y、-、、-、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、…{1, 0,1,

也见

笔记

  1. γ 合字-维基百科.
  2. γ 他从1790岁到1868岁。http://www. gAP-Sort/Org/~历史/传记/ Mobius.html
  3. γ Thomas Koshy初等数论及其应用. 哈考特学术出版社(2002):第384页,定理8.17