Mertens函数

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这个部分和的莫比乌斯函数给出一个求和函数，的求和Möbius函数，称为Mertens函数，以命名弗兰兹·梅尔滕斯因此

$显示样式M（n）：=\sum_{k=1}^{n}\mu（k）.\，}$

下表显示了从1到25的整数的Möbius函数和Mertens函数之间的关系。

${\显示样式n}$	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
${\显示样式\mu（n）}$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0	1	1	−1	0	0
${\显示样式M（n）}$	1	0	−1	−1	−2	−1	−2	−2	−2	−1	−2	−2	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−3	−3	−2	−1	−2	−2	−2

渐进行为

渐近密度

这个渐近密度属于无平方数是

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\frac{Q（n）}{n}}=\prod_{n=1}^{\infty}{\bigg$

哪里${\显示样式\脚本样式Q（n）\，}$是求和平方函数,$｛\displaystyle\scriptstylep_｛n｝\，｝$是${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个 质数和${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$是黎曼-泽塔函数.

其中，素因子为奇数的数字的渐近密度等于素因子为偶数的数值的渐近密度。

渐近密度

${\显示样式\mu=-1\，}$	${\显示样式\mu=0\，}$	${\显示样式\mu=+1\，}$
${\显示样式{\frac{3}{\pi^{2}}\，}$	${\显示样式1-{\frac{6}{\pi^{2}}\，}$	${\显示样式{\frac{3}{\pi^{2}}\，}$

渐近界限

如果我们看看Mertens函数${\显示样式\脚本样式M（n）}$因为投掷了一枚公平的硬币${\显示样式\脚本样式n}$时间和仅考虑${\displaystyle\scriptstyle N\，=\，{\frac{1}{\zeta（2）}}\cdotn\，=\$平均独立试验（对应于无平方数)，我们可以假设一个离散的二项分布（逐渐成为正态分布)平均值为0，标准偏差为

${\displaystyle\sigma={\sqrt{Npq}}={\sqrt{{\bigg（}{\frac{6}{\pi^{2}}\cdotn{\big}，}$

哪里${\显示样式\脚本样式p\，=\，{\frac{1}{2}}$是得到头部的概率(${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，=\，+1}$)和${\显示样式\脚本样式q\，=\，{\frac{1}{2}}$是得到尾巴的概率(${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，=\，-1}$).

现在，考虑下表中的范围（根据标准偏差)对应于正态分布的给定置信区间。

正态分布

信心 间隔	范围
0.800	${\displaystyle\scriptstyle\pm 1.28155~\sigma}$
0.900	${\displaystyle\scriptstyle\pm 1.64485~\sigma}$
0.950	${\displaystyle\scriptstyle\pm 1.95996~\sigma}$
0.990	$｛\displaystyle\scriptstyle\pm 2.57583~\西格玛｝$
0.995	${\displaystyle\scriptstyle\pm 2.80703~\sigma}$
0.999	${\displaystyle\scriptstyle\pm 3.29053~\sigma}$

这对von Sterneck猜想来说不是一个好兆头，因为它的范围${\displaystyle\scriptstyle\approx\，{\frac{\pm0.5}{0.3898484}}\，\approx.，\pm1.282\，\sigma}$置信区间约为80.0%，对于Mertens猜想也不是很好${\displaystyle\scriptstyle\approx\，{\frac{\pm1}{0.3898484}}\，\approx，\pm 2.565\，\sigma}$置信区间约为99.0%。因此，根据这个正态分布模型，von Sterneck猜想对于大约20.0%的整数将渐近失败，Mertens猜想对于大约1.0%的整数将渐进失败。当然，因为素因子分解整数不是随机的（素数是错综复杂的相互依赖的）Moebius函数不是随机的（试验不是独立的），因此上述置信区间可能反映也可能不反映Mertens函数的实际行为。

黎曼假设

这个黎曼假设相当于一个弱于Mertens猜想的关于${\显示样式\脚本样式M（n）}$，即

${\displaystyle|M（n）|\ll n ^{{\frac{1}{2}}+\epsilon}}$

对于任何${\displaystyle\scriptstyle\epsilon\，>\，0}$.

更确切地说，黎曼假设等价于

${\显示样式|M（n）|\lln^{\frac{1}{2}}~\exp{{\bigg（}c{\frac{\logn}{\log\n}}{\big）}}$

对于一些常量${\显示样式\脚本样式c}$.

莫滕斯猜想

1897年，梅滕斯做出了以下大胆推测：

猜想（Mertens猜想，1897）。 (弗兰兹·梅尔滕斯)

$所有n，\，{\Bigg|}{\frac{M（n）}{\sqrt{n}}}{\Big|}<1.}的显示样式$

1979年，H.Cohen和F.Dress计算了${\显示样式\脚本样式M（n）}$对于${\显示样式\脚本样式n\，\leq\，7.8\cdot 10^{9}}$并发现默滕斯猜想在这一点上是成立的。

1983年，赫尔曼·特·里尔（Hermann te Riele）和安德鲁·奥德利兹科（Andrew Odlyzko）推翻了莫滕斯猜想。1985年，奥德利兹科在附近发现了一个反例${\显示样式\脚本样式10^{10^{64.1442}}}$，其中

${\显示样式{\Bigg|}{\frac{M（n）}{\sqrt{n}}{\Big|}>1.06.}$

最小的${\显示样式\脚本样式n}$与Mertens猜想相矛盾的估计是${\显示样式\脚本样式n\，>\，10^{30}}$1987年，J.Pintz指出，可以为${\显示样式\脚本样式n\，<\，10^{65}}$.最小的${\显示样式\脚本样式n}$与默滕斯猜想相矛盾的情况仍然未知。1985年，奥德利斯科和里尔没有想到会找到任何反例${\显示样式\脚本样式n\，<\，10^{20}}$.

冯·斯特内克猜想

1897年，R.D.von Sterneck做出了更大胆的推测

${\显示样式{\Bigg|}{\frac{M（x）}{\sqrt{x}}}{\Big|}<{\frac{1}{2}}。}$

1960年，沃尔冈·尤尔卡特（Wolgang Jurkat）发现了一个反例。他发现${\显示样式\脚本样式x\，>\，200}$von Sterneck猜想第一次失败是因为

${\显示样式M（7725030629）=43947>43946.0766992\ldots={\frac{\sqrt{772503069}}}{2}}.}$

渐近偏差

的第一个正值Mertens函数对于${\显示样式\脚本样式n\，>\，1\，}$是用于${\显示样式\脚本样式n\，=\，94\，}$. The图表似乎对Mertens函数这与切比雪夫偏差（如A156749号和A156709号). 所谓的偏见似乎是经验上的近似值（通过查看图表）。

${\显示样式-{\frac{1}{\zeta（2）}}\cdot{\frac{\sqrt{n}}{4}}=-{\frac{6}{\pi^{2}}\cdot{\frac{\sqrt{n}}{4}}\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{\zeta（2）}}\，=\，{\frac{6}{\pi^{2}}\$是渐近密度属于无平方数（该平方数有莫比乌斯穆尔第页，共页）。这将是一种类似切比雪夫偏向的增长模式。

以下是使用经验近似值计算出的所谓偏差值${\displaystyle\scriptstyle-{\frac{6}{\pi^{2}}\cdot{\frac{\sqrt{n}}{4}}\，}$:

25: -0.759       50: -1.074    100: -1.519     200: -2.1491000: -4.806     2000: -6.796   4000: -9.612    8000: -13.593

应用于偏置修正的Mertens函数的Merten猜想（假设偏置是真实的，并且我们发现了这种所谓偏置的实际渐近行为）会变成真的吗？显然，如果Mertens猜想被Mertens函数的太大正值证伪，那么偏差修正只会使情况变得更糟，就像更强的情况一样冯·斯特内克猜想.

序列

A002321号 默滕斯函数:${\displaystyle\scriptstyle\sum_{k=1}^{n}\mu（k），\，}$哪里${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$是Moebius函数(A008683号).

{1, 0, –1, –1, –2, –1, –2, –2, –2, –1, –2, –2, –3, –2, –1, –1, –2, –2, –3, –3, –2, –1, –2, –2, –2, –1, –1, –1, –2, –3, –4, –4, –3, –2, –1, –1, –2, –1, 0, 0, –1, –2, –3, –3, –3, –2, –3, –3, –3, –3, –2, –2, –3, –3, –2, –2, ...}

A084237号 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，=\，M（10^{n}）\，}$，其中${\显示样式\脚本样式M（n）\，}$是Mertens函数。

{1, –1, 1, 2, –23, –48, 212, 1037, 1928, –222, –33722, –87856, 62366, 599582, –875575, –3216373, –3195437, ...}

A171096号数字${\显示样式\脚本样式n\，}$Mertens函数${\显示样式\脚本样式M（n）\，}$(A002321号)为−1。

{3, 4, 6, 10, 15, 16, 22, 26, 27, 28, 35, 36, 38, 41, 57, 59, 60, 62, 63, 64, 66, 69, 87, 88, 91, 92, 102, 123, 124, 125, 126, 129, 134, 135, 136, 143, 144, 151, 152, 153, 155, 156, 158, 165, 167, 168, 169, 210, ...}

A028442号数字${\显示样式\脚本样式n\，}$这样Mertens的函数$｛\displaystyle\scriptstyle M（n）\，｝$(A002321号)为零。

{2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, ...}

素数的子集列在A100669号.

A118684号数字${\显示样式\脚本样式n\，}$Mertens函数${\显示样式\脚本样式M（n）\，}$(A002321号)为+1。

{1, 94, 97, 98, 99, 100, 146, 147, 148, 161, 162, 215, 216, 230, 237, 330, 334, 337, 338, 349, 350, 351, 352, 365, 394, 397, 399, 400, 415, 416, 418, 538, 539, 540, 542, 606, 794, 799, 800, 801, 806, 809, ...}

外部链接

• 内森·吴，MØBIUS函数的求和函数值的分布, 2002.