逻辑图

A类逻辑图是查尔斯·桑德斯·皮尔斯（Charles Sanders Peirce）为逻辑开发的图形语法系统之一中的一种图形理论结构。

在他的论文中定性逻辑,实体图、和存在图皮尔士开发了图形形式主义或图形理论形式语言的几个版本，旨在进行逻辑解释。

自皮尔士开创这一发展路线以来的一个世纪里，各种形式系统都从抽象上来说是图形理论结构的相同形式基础上扩展出来。本文从鸟瞰的角度研究了这些形式系统的共同基础，重点讨论了代数、微积分或语言的整个家族所共享的形式方面，然而它们碰巧在给定的应用程序中被看到。

抽象观点

	Wollust区dem Wurm gegeben…
	-弗里德里希·席勒，欢乐颂

所讨论的鸟瞰图更正式地称为形式等价的视角，从中我们看不到许多在较低抽象层次上显得重要的区别。特别是，从代数或拓扑学的角度来看，句法结构同构的不同形式的表达式在任何重要意义上都不被认为彼此不同。虽然我们可以顺便注意到一些历史细节，比如查尔斯·桑德斯·皮尔斯使用了拖缆交叉符号乔治·斯宾塞·布朗用木工方记号笔在形式的抽象层次上，主要兴趣的主题对于该顺序的变化是中性的。

代替开头

考虑图1和图2中所示的形式方程。

	（1）
	（2）

目前，这两种形式的转换可以称为公理或初始方程组.

二重性：逻辑和拓扑

在使用逻辑图时，有两种类型的对偶性必须分开考虑——逻辑对偶性和拓扑对偶性。

有一种标准的方法，皮尔士考虑的顺序图，那些嵌入到连续流形中的图，就像通常由一张平面纸表示的那样，无论有没有皮尔士用来增加其拓扑属的纸桥，都可以用线性文本表示为所谓的图解析字符串或遍历字符串并解析为指针结构在计算机内存中。

一张空白纸可以用线性文本表示为空白，但这样做往往会令人困惑，除非考虑中的逻辑表达式在单独的显示器上显示出来。

例如，考虑如下所示的公理或初始方程：

(3)

这可以内联编写为 $｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝｛\texttt｛（~（~）~）｝｝＝\fquad｛｝^｛\prime\prime｝\！｝$ 或在文本显示中进行设置，如下所示：

{\显示样式{\文本{（~（~）~）}}\！}

{\显示样式=\！}

当我们转向在计算机存储器中表示相应的表达式时，在计算机存储器里可以极其方便地对它们进行操作，我们首先将平面图转换为它们的拓扑对偶。原始图的平面区域对应于对偶图的节点（或点），并且原始图中平面区域之间的边界对应于对偶图的节点之间的边（或线）。

例如，将相应的对偶图叠加到上面显示的平面嵌入图上，我们得到以下合成图：

(4)

虽然它并不存在于事物最抽象的拓扑结构中，但出于各种实用原因，我们发现自己不得不以独特的方式挑出平面的最外层区域，并将其标记为根节点对应的对偶图。在当前的图形样式中，根节点用水平删除线标记。

从复合矩阵中提取对偶图，我们得到如下图片：

(5)

很容易看出皮尔士逻辑图的插入式表达式之间的关系，皮尔士的逻辑图略显简洁地描绘了其形式内容的有序包含，以及相关的对偶图，它们构成了这里要描述的有根树的种类。

在我们的最后一个例子中，思考一下下面的图片，我们会发现我们可以从树的根开始，向上爬到树的左侧，直到到达顶部，然后再向上爬回到树的右侧，直到回到根，从而得到相应的括号字符串，在读取符号的同时，在这种情况下 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}{\texttt{（}}{}^}\prime\prime}\！}$ 或 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}{\texttt{）}}{}^}\prime\prime}，\！}$ 我们在旅行中偶然遇到的。

(6)

这个仪式叫做穿越树，读取的字符串称为遍历字符串在树上。从绳子到树的反向仪式称为解析字符串，而构造的树称为解析图形在这种语言中，讲这种语言的人往往有点松散，经常使用解析字符串表示解析到关联图形中的字符串。

我们已经详细讨论了以字符串形式表示的初始方程或逻辑公理的各种形式，如 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}{\texttt{（~（~）~）}}=\quad{}^}{\prime\prime}.~\！}$ 为了进行比较，让我们将以字符串形式表示的公理的平面嵌入形式和拓扑对偶形式记录为 ${\displaystyle{}^{\backprime\backprime}{\texttt{（~）（~）}}={\texttt（~）{}{^{\prime\prime}.\！}$

首先是平面嵌入地图：

(7)

接下来，平面嵌入地图及其双树叠加：

(8)

最后是双树本身：

(9)

下面是带有遍历字符串的解析树：

(10)

在这一点上，我们有足够的材料开始思考类比、象似性、隐喻、态射的形式，无论你想怎么称呼它们，这些形式与逻辑图在各种逻辑解释中的使用有关，例如皮尔士所描述的那些实体图和存在图.

计算表示

到目前为止，我们一直在研究的解析图使我们更接近于指针图，指针图是使这些地图和树活在计算机内存中所需的，但它们仍有几个步骤过于抽象，无法详细描述我们需要的动态数据结构的具体种类。现在是充实我们到目前为止制定的框架的时候了。

图中的节点表示记录在计算机内存中。记录是可以设想驻留在特定地址记录的地址类似于指示代词，程序员通常将其描述为指针符号学家认为它是一种被称为指数.

在下一个具体级别上，指针记录结构表示如下：

(11)

这描绘了指针 ${\显示样式{\mathit{index}}_{0}\！}$ 作为包含以下数据的记录的地址：

显示样式{\mathit{datum}}{1}

等等。

将图形理论结构表示为计算机内存中的数据结构是因为地址只是另一个数据，所以我们可能会有如下情况：

(12)

回到抽象级别，需要三个节点来表示上述三个数据记录：一个根节点连接到两个相邻节点。然后，不再指向树上任何位置的数据项将被视为它们所在的记录节点上的标签，如下所示：

(13)

请注意，对于这样的有根树，绘制箭头是可选的，因为将一个唯一的节点作为根会在树的所有边上产生一个唯一的方向向上的方向与远离根部.

社区快速游览

这些准备工作使我们能够掌握决定整个逻辑图系统的基本公理或初始方程。

作为符号系统的初级算术

虽然从逻辑上讲，这似乎不太令人兴奋，但有很多理由让自己熟悉形式系统，从拓扑上讲，这些形式系统由有根的树、平衡的括号串或平面上有限组不相交的简单闭合曲线无关紧要地表示。

一个原因是，它为我们提供了一个值得尊敬的符号域的例子，在这个符号域上可以切掉我们的符号牙齿，在这个意义上，它包含了符号的可数无穷大，这是非平凡的。

另一个原因是，它允许我们研究一种简单的计算形式，这种计算可以识别为精神病学或符号转换过程。

这种形式空间，以及将其划分为两个等价类的两个公理，就是乔治·斯宾塞·布朗（George Spencer Brown）所说的初级算术.

主要算法的公理如下所示，它们以图形和字符串的形式出现，以及便于引用公理应用的两个相反方向的成对名称。

	(14)
	(15)

让 ${\显示样式S\！}$ 成为一片生根的树，让 $｛\displaystyle S_｛0｝\！｝$ 是的2元素子集 ${\显示样式S\！}$ 它由根节点和根边组成。

${\显示样式S\！}$	${\显示样式=\！}$	${\显示样式\{{\text{根树}}\}\！}$
${\显示样式S_{0}\！}$	${\显示样式=\！}$	${\显示样式\{\ominus，\vert\}=\{\！}$ , ${\显示样式\}\！}$

简单的直觉或简单的归纳证明向我们保证，任何有根的树都可以通过算术首字母化简为根节点或是根边 .

例如，考虑如下减少：

（16）

这被视为一个符号学过程，相当于一系列符号，每一个在第一个符号之后充当解释者它的前身，以最后一个符号结尾，该符号可以作为它们共同对象的规范符号，其结果是计算过程的结果。虽然它很简单，但它展示了任何计算的主要特征，即从一个模糊符号到同一对象的清晰符号的符号过程，在其目的和效果中代表澄清的行为。

作为模式演算的初等代数

经验告诉我们，最好以渐进、层流、模块化的方式来处理复杂的对象，一步一层，一次一块。同样，当对象的复杂性是不可简化的，也就是说，当表示的表达必须在与自然分离的关节处，直觉的综合完整性需要一些集合。

这是在上半场花这么多时间的一个很好的理由零阶逻辑，在这里用初等算术来表示，这是一种形式结构水平，C.S.皮尔斯在他研究逻辑图的工作中，在许多点和时间都接近直觉，Spencer Brown命名并更完整地赋予了它生命。

还有一个原因是，在这些原始森林中逗留更长时间，这是因为对“裸树”的熟悉，那些还没有添加文字或数字标签的树，将为理解“变量的本体论状态”等问题中真正存在的问题提供坚实的基础。

最好是以具体的案例来说明这一主题，我们可以通过回顾图16中所示的还原性评估的前面示例来做到这一点。

对几个半乳糖大致如此的形状，或者说是符号变换，很可能会让一个拥有任何观测设施的观测者注意到，除了生长在那里的孤立边缘之外，从根部侧面萌生出什么样的分支并不重要，最终结果总是一样的。

我们的观察者可能会想通过引入标签或变量来概括许多这样的观察结果，以表示任何形状的分支，写下如下内容：

(17)

对任何种类的算术进行的这样的观察，都是由它们的总结而萌芽出来的，是所有代数的根。

说到代数，并且已经遇到了代数定律的一个例子，我们不妨介绍初等代数再次从查尔斯·桑德斯·皮尔斯和乔治·斯宾塞·布朗的作品中分别衍生出它们的实质和名称。

	(18)
	(19)

在某种程度上，为任何形式系统选择公理都是一个美学问题，因为通常情况下，许多不同形式规则的选择都将作为公理来导出所有其他的定理。碰巧的是，我们首先注意到的代数定律的例子， ${\显示样式a（~）=（~），\！}$ 尽管它看起来很简单，但在上述公理的基础上，它被证明是一个定理。

在这一点上，我们可能还会注意到初级算术和初级代数之间在证明理由方面的细微差异，如果默认它们各自的公理集，我们自然会采用这些理由。

算术公理是由菲亚特在先验的时尚，当然，只有在很长一段时间以前，我们才有实际使用相对发达的几代正式系统的经验，才能真正引导我们进行这种准正态运动。相反，代数公理可以从观察和总结算术谱中可见的模式中得出动机和正义。

正式开发

这一点之前的内容旨在非正式地介绍初级算术和初级代数的公理，并希望为读者提供其动机和基本原理的直观感觉。

下一步的工作是给出公理的精确形式，这些公理在接下来的更正式的开发中使用，通过斯宾塞-伯恩（Spencer-Brown）从皮尔斯（Peirce）的各种逻辑图系统发展而来形式法则（LOF）。在形式证明中，将使用LOF注释方案的变体来标记证明的每个步骤，根据哪个公理，或最初的被调用来证明相应的语法转换步骤的正确性，无论它应用于图形还是字符串。

公理

公理只有四个，分为算术首字母, ${\显示样式I_{1}\！}$ 和 ${\显示样式I_{2}，\！}$ 和代数首字母, $｛\displaystyle J_｛1｝\！｝$ 和 $显示样式J_{2}.\！}$

	(20)
	(21)
	(22)
	(23)

为初始方程分配逻辑意义的一种方法称为实体解释（英文）。在EN下，公理如下：

${\显示样式{\开始{数组}{ccccc}我_{1} &：&\operatorname{true}\\operatorname{或}\\operatorname{true}&=&\operatorname{true{\\I_{2}&：&\ operatorname{not}\\opractorname{true}\&=&\ operatorname{false}\\J_{1}&：&\\operator name{or}\\opratorname{not}\a&=&\toperatorname={true}\ J_{2{&：&（a\\operatormame{或{b）\ \operatorname{和}\（一个\\operatorname{或}\c）&=&a\\operatorname{或}\（b\\operator name{和}\c）\\end{array}}}$

为初始方程分配逻辑意义的另一种方法称为存在解释（EX）。在EX下，公理如下：

${\显示样式{\开始{数组}{ccccc}我_{1} &：&\operatorname{false}\\operatorname{and}\\operatorname{false\}&=&\operatorname{false}\\I_{2}&：&\ operatorname{not}\\opratorname{false}&=&\operator name{true}\\J_{1}&：&a\\operator name{and{no}\a&=&\ operatorname={false{\\J_}&：-（a\\operator name{and}\b）\\ operatorname{或}\（一个\\operatorname{和}\c）&=&a\\operatorname{和}\（b\\operator name{或}\c）\\end{array}}}$

这组公理中的所有公理都具有方程的形式。这意味着它们允许的所有推理步骤都是可逆的。下面采用的校对注释方案使用了双条 ${\显示样式{\上划线{\下划线{~~~}}\！}$ 要标记这一事实，尽管通常由读者决定应用所示公理所需的两个可能方向中的哪一个。

常用定理

实际的举证业务远比简单的推理规则所暗示的更具战略性。造成这种情况的部分原因在于，通常的推理规则将查询状态的前进与信息的丢失结合在一起，而这些信息似乎并不立即相关，至少，而不是从局部焦点和短期的即时证据程序来看。从长远来看，这具有有害的副作用，如果“在证据开始之前”可以算作证据的早期阶段，那么从战略上来说，人们永远需要重建在证据早期阶段战略上认为要忘记的许多信息。

因此，除其他外，研究我们的公理所提供的等式推理规则是非常有意义的。虽然等式形式的推理在数学中是最重要的，但传统逻辑教科书的学生对它们不太熟悉，他们可能会在这里发现一些惊喜。

为了获得有关等式证明在当前语法形式中的外观的最基本经验，让我们检查初级代数中几个基本定理的证明。

C类₁.双重否定

第一个定理的名称是结果1 ${\显示样式（C_{1}）\！}$ ，的双重否定定理（DNT），或反射.

(24)

下面的证明改编自乔治·斯宾塞·布朗（George Spencer Brown）在书中给出的证明形式法则（LOF）并归功于他的两个学生，John Dawes和D.A.Utting。

(25)

下面的动画将重放此证明的步骤。

（26）

C类₂.生成定理

一个经常使用的定理被称为杂草与种子定理（浪费）。证明只是数学归纳中的一个练习，一旦建立了适当的基础，它将留给读者作为练习。WAST所说的是，标签可以自由分布或自由擦除子树中根被该标签标记的任何位置。我们经常使用的定理列表中的第二个实际上是这个杂草和种子定理的基本情况。在LOF中，它的名字是后果2 $｛\displaystyle（C_｛2｝）\！｝$ 或发电.