欧拉函数

欧拉方向函数

φ (n个)

计算数量正整数从1到

n个

是互质（相对优质）到

n个

或者说是正交的到

n个

，即共享no的数字基本因子具有

n个

.

φ (n个) :=    n个 ∑   我  = 1 (n个,我 )  = 1    1 =    n个 ∑   我  = 1    [ (n个,我 ) = 1] ,

哪里

(n个,我 )

是最大公约数（GCD）第页，共页

n个

和

我

、和

[·]

是艾弗森支架.

A000010号欧拉方向函数

φ (n个),n个  ≥   1,

（数到

n个

和互质

n个

).

{1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, ...}

的所有目标

n个,n个  ≥   三，

是平的，因为

k

是totative当且仅当

n个 − k

是一个累加的，同时

n个  2

显然不能是的总和

n个

.
也称为欧拉的

φ

功能,或欧拉φ函数或者只是指向函数有时甚至欧拉函数.该函数首先由利昂哈德·尤勒1749年与同余,他把它记为

π (n个)

,但今天我们跟着卡尔·费里特立奇·高斯的替换符号希腊字母

φ

（φ）。

图腾和共转

文章主页：图腾和共转

来自的整数1到

n个

那是互质到

n个

被称为的总和

n个

，而来自的整数1到

n个

不适合

n个

被称为

n个

.因此

n个

是（请参见共母三角形)

{1≤我≤n个| (n个,我 ) = 1},

而设置共转属于

n个

是

{1≤我≤n个| (n个,我 ) > 1},

哪里

(n个,我 )

是最大公约数（GCD）第页，共页

n个

和

我

.Euler的totient函数是托词属于

n个

，同时欧拉共音函数是的数字共转属于

n个

.因此，欧拉的总方向函数是基数的一组总计

n个

:

φ (n个) :=  | {1≤我≤n个| (n个,我 ) = 1} |  ,

而欧拉的共音函数是基数的一组共旋

n个

:

x个̅φ (n个) :=  | {1≤我≤n个| (n个,我 ) > 1} |  .

属性

欧拉方向函数是一个乘法算术函数，例如。

φ (米 n个) = φ (米)  ⋅  φ (n个), (米,n个) = 1.

的所有目标

n个  ≥   三

是平的，因为

k

是totative当且仅当

n个 − k

是一个累加的，同时

n个  2

显然不能是的总和

n个

.

定理。

欧拉的方向函数是乘法的。鉴于互质整数

米

和

n个

，方程式

φ (米 n个) =φ (米) φ (n个)

持有。

证明。记住，Euler的totient函数计算还原残渣系统给定数的模。指定还原残渣系统模数

米

通过

第页1,第页2, ...,第页φ (米)

，还有一个用于

n个

通过

秒1,秒2, ...,秒φ (n个)

.如果

x个

在剩余系统模中

米 n个

，因此

gcd公司 (x个,米)=全球气候变化日 (x个,n个) = 1

等等

x个  ≡  第页小时 （修订版米)

和

x个  ≡  秒我 （修订版n个)

对一些人来说

小时

和

我

。根据中国剩余定理，每对

小时

和

我

只确定一个可能的

x个

模

米 n个

。有

φ (米) φ (n个)

可能的成对

小时

和

我

这意味着减少剩余系统模量

米 n个

有

φ (米) φ (n个)

条款，因此

φ (米 n个) =φ (米) φ (n个)

如定理所规定。 □

注意要求

gcd公司 (米,n个) = 1

需要：欧拉的totient函数不是完全乘性的。

公式

欧拉方向函数

自1没有基本因子（它是空产品基本因子），则互质任何整数，包括其自身，即。

(n个, 1) = 1,n个  ≥   1,

因此

φ (1)  =  1

对于首要的

第页

我们有

φ (  第页) = 第页− 1.

对于主要功率

第页 α

我们有

φ (  第页 α )  = 第页 α−第页 α  − 1 = 第页 α  − 1(  第页− 1)  = 第页 α 1 −    1  第页  = 第页 α  第页− 1 第页 .

欧拉总函数为乘法的，我们得到

φ (n个) = φ    ω (n个) π   我  = 1    第页我 α我 =    ω (n个) π   我  = 1    第页我 α我 1 −    1  第页我   =

n个   ω (n个) π   我  = 1    1 −    1  第页我   = n个   ω (n个) π   我  = 1     第页我− 1 第页我 ,

其中

第页我

是不同的主要因素（即没有多重性)第页，共页

n个

,

ω (n个)

是不同素因子的个数属于

n个

在哪里

n个= 1

我们得到1乘以空产品 1.的值

φ (n个),n个  ≥   1,

由提供A000010号.四对特殊配对

(n个,φ (n个))

值得特别关注：

• φ (1) = 1

  作为唯一一种情况

  φ (n个) =n个

  ; 对于所有更高的

  n个

  ,

  φ (n个)≤n个 −  1

  （当且仅当n为首要的).

• φ (2) = 1

  和

  φ (6) = 2

  只有两种情况

  φ (n个) < 2√  n个

  ; 对于所有其他质数或复合数

  n个

  ,

  φ (n个)  ≥   2√  n个

  .

• φ (4) = 2

  作为复合材料的唯一情况

  n个

  这样的话

  φ (n个) = 2√  n个

  .对于所有复合材料

  n个> 6

  我们可以把前面提到的不平等尖锐化为

  φ (n个) > 2√  n个

  .

欧拉共音函数

x个̅φ (n个) := n个−φ (n个),

x个̅φ (n个) :=    n个 ∑   我  = 1 (n个,我 )  ≠  1    1 =    n个 ∑   我  = 1    [ (n个,我）≠1] ,

哪里

(n个,我 )

是最大公约数（GCD）第页，共页

n个

和

我

、和

[·]

是艾弗森支架.

欧拉总函数和Dedekind-psi函数

比较Euler的总方向函数

φ (n个) := n个  ⋅     π   第页∣n个 第页 首要的    1 −    1  第页  = n个  ⋅     ω (n个) π   我  = 1    1 −    1  第页我   ,

具有Dedekind psi功能，由公式定义

ψ (n个) := n个  ⋅     π   第页∣n个 第页 首要的    1 +    1  第页  = n个  ⋅     ω (n个) π   我  = 1    1 +    1  第页我   .

totient函数是乘法的，并相应地A000010号有关键词：mult.

正在生成函数

Dirichlet生成函数

这个Dirichlet生成函数属于

φ (n个)

是

D类{φ (n个)}(秒) :=    ∞ ∑   n个  = 1    φ (n个) n个  秒  =  ζ  (秒− 1) ζ  (秒)  =  ζ  (2 秒) (ζ  (秒)) 2   ⋅  D类{ψ (n个)}(秒) .

托特纳调和级数

这个totients调和级数(总倒数之和)发散

n个 ∑   我  = 1    1 φ (我 )   −A类  （日志 n个+B类 ) ∼O（运行）  日志n个 n个 ∼O（运行）  1 π (n个)  ,

哪里

π (n个)

是素数计数函数和（请参见A082695号用于十进制扩展

A类

)

A类 =    ∞ ∑   我  = 1    q个 (我 ) φ (我 )   1 我  =  ζ  (2)ζ  (3) ζ  (6)  =  1.9435964368207592…

哪里

q个 (n个) = | μ (n个) |

是方弗雷函数和（有关十进制展开式，请参见A

B类

)（请参见A098468号用于十进制扩展

− A类 B类=  − 0.0605742294…

)

B类 = γ  −   ∞ ∑   我  = 1    q个 (我 ) φ (我 )   日志 我 我  =  0.57721566…− 0.60838171786… =  − 0.03116605…

以及在哪里

γ

(A001620号)是欧拉–马斯切罗尼常数第二项的十进制展开式为A085609型.

相关功能

迭代欧拉指向函数

totient函数可以迭代，直到达到1;A003434号计算迭代次数。我们可以将totiten函数的迭代次数相加；相加的数字称为完全对数（请参见A082897号).

迭代欧拉余弦函数

（…）

总求和函数

这个总和函数（欧拉总函数的部分和）为

Φ (n个) :=    n个 ∑   我  = 1    φ (我 ), n个≥ 1,

哪里

φ (n个)

是欧拉的总方向函数。的总和函数的所有值

n个  ≥   2

是均匀的。

共音求和函数

共动求和函数（欧拉共音函数)是

X（X）̅Φ (n个) :=    n个 ∑   我  = 1    x个̅φ (我 ), n个≥ 1,

哪里

x个̅φ (n个)

是欧拉的余动函数。

Dedekind psi函数和Euler totient函数的半差

ψ (n个) −φ (n个) 2  =  n个  2    ⋅  {   π   第页∣n个 第页 首要的    1 +    1  第页     −   π   第页∣n个 第页 首要的    1 −    1  第页  }.

相关序列

	一 (n个),n个  ≥   1	A编号
n个	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, ...}	A000027号
ψ (n个)	{1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, 14, 24, 24, 24, 18, 36, 20, 36, 32, 36, 24, 48, 30, 42, 36, 48, 30, 72, 32, 48, 48, 54, 48, 72, ...}	A001615号
φ (n个)	{1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, ...}	A000010号
ψ (n个) − φ (n个)	{0, 2, 2, 4, 2, 10, 2, 8, 6, 14, 2, 20, 2, 18, 16, 16, 2, 30, 2, 28, 20, 26, 2, 40, 10, 30, 18, 36, 2, 64, 2, 32, 28, 38, 24, 60, ...}	A292786型
(ψ (n个) − φ (n个))  / 2	{0, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 4, 3, 7, 1, 10, 1, 9, 8, 8, 1, 15, 1, 14, 10, 13, 1, 20, 5, 15, 9, 18, 1,32, 1, 16, 14, 19, 12, 30, ...}	A？？？？？？
n个 ∑ 第页Ş=====================================================================================================================================n个 第页Ş=====================================================================================================================================n个  1 / 第页	{0, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 4, 3, 7, 1, 10, 1, 9, 8, 8, 1, 15, 1, 14, 10, 13, 1, 20, 5, 15, 9, 18, 1, 31, 1, 16, 14, 19, 12, 30, ...}	A069359号
n个′	{0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, 8, 32, 1, 21, 1, 24, 10, 13, 1, 44, 10, 15, 27, 32, 1, 31, 1, 80, 14, 19, 12, 60, ...}	A003415号

的顺序

ψ (n个) − φ (n个) 2

几乎与相同，至少对于小型

n个

，但不是A069359号！上述数据表明

ψ (n个) − φ (n个) 2

是0只为

n个= 1

和1只有当

n个

是首要的。它还表明，当

n个

是一个原始功率

第页 k

我们得到的

第页 k  − 1

在序列中。

Dedekind psi函数与Euler totient函数的乘积

的产品Dedekind psi功能用Euler的totiten函数给出

ψ (n个)  ⋅  φ (n个) = n个 2  ⋅     π   第页∣n个 第页 首要的    1 +    1  第页 1 −    1  第页  = n个 2  ⋅     π   第页∣n个 第页 首要的    1 −    1  第页 2  =

n个 2  ⋅     π   第页∣n个 第页 首要的    第页 2− 1 第页 2  =  n个 拉德 (n个)   2·   π   第页∣n个 第页 首要的    (  第页 2− 1),

哪里

拉德 (n个)

是无平方核属于

n个

.自

第页 2 −  1

可除以24（请参见A024702号)何时

第页

与…一致1或5模6和(2 2 −  1) (3 2 −  1） =24，我们推断

ψ (n个)·φ (n个)

可除以

24 ω (n个)

如果

n个

都不可除2也不是三或两者兼而有之2和三，可被除

24 ω (n个)  − 1

如果

n个

可以被任何一个（但不能同时被两个）整除2或三,

ω (n个)

成为不同素因子的个数属于

n个

.

Dedekind-psi函数与欧拉总函数的商

的商Dedekind psi功能由Euler的totiten函数给出

ψ (n个) φ (n个)  =    π   第页∣n个 第页 首要的    1 +    1  第页 1 −    1  第页  =    π   第页∣n个 第页 首要的     第页  + 1  第页  − 1  .

序列

A092249号这个总和函数（欧拉总函数的部分和）（参见A002088号对于

n个  ≥   0

). （所有值

n个  ≥   2

均为偶数。）

{1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32, 42, 46, 58, 64, 72, 80, 96, 102, 120, 128, 140, 150, 172, 180, 200, 212, 230, 242, 270, 278, 308, 324, 344, 360, 384, 396, 432, 450, 474, 490, 530, 542, 584, 604, ...}

A002202号总计，即值

n个

由totient函数获取

φ (米)

(A000010号)对一些人来说

米  ≥   1

（注意1是函数返回的唯一奇数值。）

{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 46, 48, 52, 54, 56, 58, 60, 64, 66, 70, 72, 78, 80, 82, 84, 88, 92, 96, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 116, 120, 126, 128, 130, ...}

A007617号非注释，即不在范围欧拉的全方位函数。（注意，所有奇数值均大于1是非注释性的。）

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 50, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 85, 86, 87, ...}

A005277号偶数非动机（偶数

n个

这样的话

φ (米) =n个

没有解决方案）。

{14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, ...}

A005277号奇数非注释（奇数

n个

这样的话

φ (米) =n个

没有解决方案）。（所有大于的奇数1(A144396号).)

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, ...}

A097942号高度集中的数字（数字

k

方程有更多的解

φ (x个) =k

比之前任何一个

k

).

{1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440, 2880, 4320, 5760, 8640, 11520, 17280, 25920, 30240, 34560, 40320, 51840, 60480, 69120, 80640, 103680, 120960, 161280, ...}

A003434号的迭代次数

φ (n个)

需要到达1.

{0, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 4, 6, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 5, 6, 6, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, ...}

A082897号完美整数（数字

n个

s.t.在所有迭代中获得的总函数值之和等于

n个

).

{3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, 5571, 6561, 8751, 15723, 19683, 36759, 46791, 59049, 65535, 140103, 177147, 208191, 441027, 531441, ...}

A？？？？？？(Dedekind psi功能−欧拉的总指向函数）/2（它几乎是相同的，至少对于小型

n个

，但不是A069359号!)

{0, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 4, 3, 7, 1, 10, 1, 9, 8, 8, 1, 15, 1, 14, 10, 13, 1, 20, 5, 15, 9, 18, 1, 32, 1, 16, 14, 19, 12, 30, ...}

另请参见

• 彼得·卢什尼，与欧拉总指向函数相关的序列.
• 总价函数
• 余素性三角形
• 共有性
• 托塔提斯
• 总求和函数
• 共犯的或totalities的乘积n个
• 欧拉共音函数（共转次数

  n个

  )
• 非同居的
• 德德金德ψ功能