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这个最大公约数(GCD是OEIS中的缩写,但不是数学公式中的缩写;通常是文献中的GCD;有时也称为最高公因数,HCF或HCF)整数是最大的正整数这很常见除数所有这些数字中划分(给出一个整数商具有0作为余数)所有这些数字。例如,gcd公司 (144, 2988, 37116) = 36,自36平均划分144,2988和37116这些数字没有更大的公约数。
什么时候?,据说数字是互质或相对质数,例如gcd公司 (128, 11025) = 1。请注意gcd公司 (1, 1) = 1,这意味着1与自身互素,即不共享基本因子因为1是空产品.gcd公司 (0,n个) = | n个 | =gcd (n个, 0) |
特别是gcd公司 (0, 0) = 0; 本质上0充当顶层元素(⊤或∞)在这种和其他情况下。[1]
主因子分解方面的GCD和LCM
从素因子分解属于
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米我==================================================================================== 第页j个 α j个 (米我 ), 1≤我≤n个, |
哪里是素数高达、和是第个 质数,我们有-
gcd公司 (米1, ...,米n个 ) = 第页j个 最小值 (α j个 (米1), ...,α j个 (米n个 )) |
和
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生命周期管理 (米1, ...,米n个 ) = 第页j个 最大值 (α j个 (米1), ...,α j个 (米n个 )) |
公式
将LCM与GCD关联的公式
自
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米+n个 = 最大值 (米,n个)+最小值 (米,n个), 米≤n个, |
然后最小公倍数(LCM),共两个非零整数 和与最大公约数(GCD)相关-
| 米 n个 | = 生命周期管理 (米,n个) ⋅ gcd公司 (米,n个), 米 n个≠0时, |
其中GCD可以通过欧几里德算法.
上述公式的结果是:对应于素因子(具有多重性),同时对应于行李(多集)并集(相当于行李加法,此处乘法运算为,减去行李交叉,这里通过除法进行乘法运算)两袋素因子(具有多重性)。自(使用包容性原则)
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米1+米2+米三 = 最大值 (米1,米2,米三 ) +{[最小值 (米1,米2 ) + 最小值 (米1,米三 ) + 最小值 (米2,米三 )]−最小值 (米1,米2,米三 )}, 米1≤米2≤米三, |
然后我们有
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| 米1 米2 米三 | = 生命周期管理 (米1,米2,米三 ) ⋅ {gcd公司 (米1,米2 ) gcd公司 (米1,米三 ) gcd公司(米2,米三 ) | gcd公司 (米1,米2,米三 ) | }, 米1 米2 米三≠ 0. |
最后,因为(使用包含-排除原则)
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米我 = 最大值 (米1。。。,米n个 ) +{[ 最小值 (米我,米j个 )]−[ 最小值 (米我,米j个,米k个 )]+ ⋯ + (−1) n个最小值 (米1, ...,米n个 )}, 米1≤⋯≤米n个 , |
然后我们有
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生命周期管理 (米1, ...,米n个 ) ⋅ {[ gcd公司 (米我,米j个 )] ⋅ [ gcd公司 (米我,米j个,米k个 )] − 1 ⋅ ⋯ ⋅ [gcd公司 (米1, ...,米n个 )] ( − 1) n个}, 米我≠ 0. |
系列表示法
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gcd公司 (米,n个) = 米+n个−米 n个+ + = |
米+n个−米 n个+ 2 = 米+n个−米 n个+ 2 , |
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gcd公司 (米,n个) = 1−2个 −[= ] ⋅ [=]+ |
2 | ∑ | k个============================================================1 |
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+ 2 , |
哪里[·]是艾弗森支架和⌊ ·⌋
是地板功能。算法
欧几里德算法
这个全球气候变化大会共两个正整数使用欧几里德算法.
近似GCD问题
在近似GCD问题你得到了“近”倍数某个未知正整数,即。
米1 | = 第页 ⋅ q个1+第页1, 0 ≤ 第页1<第页, |
米2 | = 第页 ⋅ q个2+第页2 , 0 ≤ 第页2<第页, | ... , |
米n个 | = 第页 ⋅ q个n个+第页n个 , 0 ≤ 第页n个<第页, |
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你需要知道,不知道和.笔记