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Gilbreath猜想

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1958年，N.L.Gilbreath做出了以下推测：

猜想（Gilbreath的猜想，1958年）。 （诺曼·L·吉尔伯特）

第一行之后（素数)，连续素数的绝对差异始终生成1作为前导项。

A054977号素数序列的Gilbreath变换。（a（0）=2，a（n）=1，n>=1。）

{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
素数的连续绝对差
0 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
1 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2 6 4 6 8
2 1 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 4 4 2 2 4 2 2 2
3 1 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 4 0 2 0 2 2 0 0
4 1 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 4 2 2 2 0 2 0
5 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2
6 1 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 0
7 1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0
8 1  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?
9 1  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?
10 1  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?
11 1  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?
12 1  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?  ?


素数连续绝对差序列

A000040型素数。（素数的零差。）（素数的第零个绝对差。）

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, ...}

A001223号连续素数之间的差异。DIFF（素数）。（质数的第一个差异。）（质数的第一个绝对差。）

｛1，2，2，4，2，4，4，6，2，6，4，2，4，4，4，6，2，6，4，4，6，8，4，2，4，2，2，4，4，4，4，10，2，6，6，4，6，6，2，10，2，4，2，12，4，2，4，6，2，10，6，6，2，6，4，2，10，14，…｝

|A036263号|素数的第二绝对差。 |DIFF（DIFF，素数）|。 (注意区别:A036263号素数的第二个差异。DIFF（DIFF，素数）。）

｛1，0，2，2，2，2，2，4，4，2，2，2，2，2，0，4，4，2，2，2，4，2，2，2，2，2，2，10，2，4，8，8，4，0，2，2，0，4，8，8，2，2，10，0，8，2，2，2，4，8，4，0，4，4，2，2，8，4，10，2，2，…｝

A036272号素数二阶差绝对值之差的绝对值。|DIFF（|DIFF。 （素数的第三个绝对差。）

{1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 8, 0, 8, 2, 4, 0, 4, 4, 2, 0, 2, 4, 4, 0, 6, 0, 8, 10, 8, 6, 0, 0, 2, 4, 4, 4, 0, 4, 0, 2, 0, 6, 4, 6, 8, 0, 8, 2, ...}

A036273号绝对差值A036272号.|DIFF（|DIFF。 （素数的第四个绝对差。）

{1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 8, 8, 8, 6, 2, 4, 4, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 4, 6, 6, 8, 2, 2, 2, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 4, 4, 4, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 8, 8, 6, 2, 0, ...}

A036274号绝对差值A036273号.|DIFF（|DIFF。 （素数的第五个绝对差。）

{1, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 8, 0, 0, 2, 4, 2, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 2, 4, 2, 0, 2, 6, 0, 0, 4, 6, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 4, 0, 0, 6, 0, 2, 4, 2, 2, ...}

A？？？？？？绝对差值A036274号.|DIFF（|DIFF。 （素数的第六个绝对差。）

{1, ...}

与Gilbreath猜想相关的序列

A000232号构造三角形，如所示A036262号序列是第n行中第一个大于2的数字的位置减去1（第n个差值，n>=1）。

{3, 8, 14, 14, 25, 24, 23, 22, 25, 59, 98, 97, 98, 97, 174, 176, 176, 176, 176, 291, 290, 289, 740, 874, 873, 872, 873, 872, 871, 870, 869, 868, 867, 866, 2180, 2179, 2178, ...}

A036277号Gilbreath数组第n行中第一项>2的位置如所示A036262号，n>=0。（对于n>=1，A036277号（n）=A000232号（n） +1。）

{2、4、9、15、15、26、25、24、23、26、60、99、98、99、98、175、177、177、177、292、291、290、741、875、874、873、874、873、872、871、870、869、868、867、2181、2180、2179…}

A001549号与Gilbreath猜想有关。（请OEIS编辑找到一个更具描述性的标题好吗-丹尼尔·福格斯2012年6月4日07:39（UTC））

{4, 10, 17, 18, 30, 34, 69, 109, 111, 189, 192, 193, 194, 195, 311, 763, 898, 900, 2215, 2810, 2811, 2812, 2813, 3417, 4260, 6000, 6002, 6003, 6004, 23331, 31569, 31601, 31602, ...}

素数绝对差三角形

反对角线向上读取素数的连续绝对差给出了有限序列的无限序列（其中A036262号是其串联）

{{2}, {1, 3}, {1, 2, 5}, {1, 0, 2, 7}, {1, 2, 2, 4, 11}, {1, 2, 0, 2, 2, 13}, {1, 2, 0, 0, 2, 4, 17}, {1, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 19}, {1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 23}, {1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6, 29}, {1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 31}, ...}

2016年1月17日Gilbreath三角形第n行中的数字之和(A036262号).

{2, 4, 8, 10, 20, 20, 26, 26, 32, 40, 50, 54, 56, 52, 62, 66, 88, 84, 94, 104, 96, 108, 104, 120, 128, 136, 128, 134, 136, 154, 216, 188, 204, 190, 212, 200, 206, 212, ...}

A173817号Gilbreath三角形第n行数字之和的一半(A036262号).

{1, 2, 4, 5, 10, 10, 13, 13, 16, 20, 25, 27, 28, 26, 31, 33, 44, 42, 47, 52, 48, 54, 52, 60, 64, 68, 64, 67, 68, 77, 108, 94, 102, 95, 106, 100, 103, 106, 105, 106, 115, 110, ...}

A036262号来自Gilbreath猜想的数字三角：反对角线向上读取素数的连续绝对差。

{2, 1, 3, 1, 2, 5, 1, 0, 2, 7, 1, 2, 2, 4, 11, 1, 2, 0, 2, 2, 13, 1, 2, 0, 0, 2, 4, 17, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 19, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 23, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6, 29, 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 31, ...}

反对角线向上读取的素数的连续绝对差（省略素数的初始行）给出了有限序列的无限序列（其中A036261号是其串联）

{{1}, {1, 2}, {1, 0, 2}, {1, 2, 2, 4}, {1, 2, 0, 2, 2}, {1, 2, 0, 0, 2, 4}, {1, 2, 0, 0, 0, 2, 2}, {1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 4}, {1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6}, {1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2}, ...}

A173815号Gilbreath三角形第n行中的数字之和(A036261号).

{1, 3, 3, 9, 7, 9, 7, 9, 11, 19, 17, 15, 9, 15, 13, 29, 23, 27, 33, 23, 29, 21, 31, 31, 35, 25, 27, 27, 41, 89, 57, 67, 51, 63, 49, 49, 49, 43, 39, 51, 39, 63, 47, 65, 45, 75, ...}

A036261号由Gilbreath猜想产生的数字三角：素数的连续绝对差（通过向上的反对角线读取，省略初始素数行）。

{1, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6, 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 4, 6, 1, 0, 0, ...}


素数绝对差的三角形，其中第零个反对角线是素数，如下所示。（这里，每个条目都是右边条目和右边条目之间的绝对差异。）

21		3	1		2		5	1		0		2		7	1		2		2		4		11	1		2		0		2		2		13	1		2		0		0		2		4		17	1		2		0		0		0		2		2		19	1 2 0 0 0 2 4 231 2 0 0 0 0 2 6 291		0		2		2		2		2		2		2		4		2		31	1		0		0		2		0		2		0		2		0		4		6		37	1		0		0		0		2		2		0		0		2		2		2		4		41	1		0		0		0		0		2		0		0		0		2		0		2		2		43

广义Gilbreath猜想

关于Sophie Germain素数序列的Gilbreath猜想

猜想：领先的连续绝对差的对角线Sophie Germain素数除首字母2外，仅包含1和3。

A080209型Sophie Germain素数序列的Gilbreath变换(A005384号)，即前导连续绝对差的对角线A005384号.

{2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, ...}

A005384号索菲·杰曼素数p:2p+1也是素数。

{2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, ...}

待续。。。

另请参见

外部链接

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