连续分数

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不合格条款连分数暗示单连分式（也称为正则连分式).

简单连分数

有限单连分式

A类有限单连分式是形式的表达式

$显示样式c=a{0}+{underset{k=1}{overset{n}{\rm{k}}}~{\frac{1}{a{k}}}:=a{0}+{\cfrac{1}{a{1}+{\ cfrac{1}{a}2}+{{a{n}}}}{}}}，\，}$

哪里

一0

是整数部分连分数的偏商

一k个 , 1  ≤  k个  ≤  n个

，是正整数、和

n个

是一个正整数（请参见高斯凯滕布鲁赫符号连分式算子

K（K）

.)

有限个简单连分式明显表示有理数，并且每个有理数都可以用一种精确的方式表示为有限的简单连分式。

无限单连分式

A类无限单连分式是形式的表达式

$c=a{0}+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{1}{a{k}}:=a{0}+{\ cfrac{1}{a{1}+{{1}{\ddots}}}}{}}}，\，$

哪里

一0

是整数部分连分数和部分分母

一k个 ,k个  ≥   1

，是正整数，所有部分分子存在1（请参见高斯凯滕布鲁赫符号连分式算子

K（K）

.)

紧凑表示为

${\显示样式c=a{0}+1/（a{1}+1/$

紧凑的符号是

$显示样式c=[a{0}；a{1}，a{2}，c{3}，b{4}，r{5}，p{6}，ldots]\，}$

序列表示为

$显示样式$

每个无限简单连分数表示一个无理数每一个无理数都可以用一种精确的方式表示为一个无限简单的连分式。

最终周期无穷简单连分式

每最终周期性无限简单连分数表示无理二次数（具有整数系数的不可约二次多项式的根），并且每个无理二次数都可以用一种精确的方式表示为最终周期的无限单连分式，即。

$显示样式c=[a{0}；a{1}，a{2}，c{3}，b{4}，r{5}，p{6}，ldots]\，}$

并且，对于某个整数

米

和一些整数

k个> 0

，我们有

一 n个=一 n个  + k个

为所有人

n个  ≥  米

.

所有非二次无理数都有非周期无穷单连分式.

简单连分式收敛

无理数的无限简单连分式表示主要有用，因为它的初始段提供了很好的有理逼近到数字。这些有理数被称为收敛连分数的。均匀数收敛点小于原始数，而奇数收敛点较大。

最初的几个收敛（编号自0)是

${\显示样式c{0}={\frac{p{0}}{q{0}{={\ frac{a{0}}{1}}，\c{1}={\压裂{p{1}{q}}={压裂{a_{1} 一个_{0}+1}{a{1}}，\c{2}={压裂{p{2}}{q{2}{={裂缝{a{2}（a_{1} 一个_{0}+1）+a{0}}{a_{2} 一个_{1} +1}}，\c{3}={压裂{p{3}}{q{3}{={裂缝{a{3}（a{2}（a_{1} 一个_{0}+1）+a{0}）+（a_{1} 一个_{0}+1）}{a{3}（a_{2} 一个_{1} +1）+a{1}}}，\\ldots\，}{1} 一个_{0}+1}{a{1}}，\c{2}={压裂{p{2}}{q{2}{={裂缝{a{2}（a_{1} 一个_{0}+1）+a{0}}{a_{2} 一个_{1} +1}}，\c{3}={压裂{p{3}}{q{3}{={裂缝{a{3}（a{2}（a_{1} 一个_{0}+1）+a{0}）+（a_{1} 一个_{0}+1）}{a{3}（a_{2} 一个_{1} +1）+a{1}}}，\\ldots\，}$

或同等

${\显示样式c{0}={\frac{p{0}}{q{0}{={\frac{a_{0}页_{-1}+p{-2}}{a_｛0｝q_{-1}+q{-2}}}={\压裂{a{0}}{1}}，\c{1}={\压裂{p{1}{q{1}}={压裂{a_{1} 第页_{0}+p{-1}}{a_{1} q个_{0}+q{-1}}}，\c{2}={\压裂{p{2}}{q{2}{={\裂缝{a_{2} 第页_{1} +p_｛0｝｝｛a_{2} q个_{1} +q{0}}，\c{3}={压裂{p{3}}{q{3}{={裂缝{a_{3} 第页_{2} +p_{1}}{a_{3} q个_{2} +q_{1}}，\\ldots\，}{0}页_{-1}+p{-2}}{a_｛0｝q_{-1}+q{-2}}}={\压裂{a{0}}{1}}，\c{1}={\压裂{p{1}{q{1}}={压裂{a_{1} 第页_{0}+p{-1}}{a_{1} q个_{0}+q{-1}}}，\c{2}={\压裂{p{2}}{q{2}{={\裂缝{a_{2} 第页_{1} +p_｛0｝｝｛a_{2} q个_{1} +q{0}}，\c{3}={压裂{p{3}}{q{3}{={裂缝{a_{3} 第页_{2} +p_{1}}{a_{3} q个_{2} +q_{1}}，\\ldots\，}$

具有

$｛\displaystylep_｛-2｝=0，\，q_｛-2｝=1，\，｝$即${\显示样式c{-2}={\frac{p{-2}}{q{-2}{}={\ frac{0}{1}}=0\，}$

${\显示样式p_{-1}=1，\，q{-1}=0，\，}$即${\显示样式c{-1}={\frac{p{-1}}{q{-1}{}={\ frac{1}{0}}=\infty\，}$

给

${\显示样式p_{n}=a_{n} 第页_{n-1}+p{n-2}\，}{n} 第页_{n-1}+p{n-2}\，}$

${\显示样式q_{n}=a_{n} q个_｛n-1｝+q_｛n-2｝\，｝{n} q个_｛n-1｝+q_｛n-2｝\，｝$

具有

${\显示样式p_{-2}=0，\，q{-2}=1，\，}$即${\显示样式c{-2}={\frac{p{-2}}{q{-2}{}={\ frac{0}{1}}=0\，}$

${\显示样式p_{-1}=1，\，q{-1}=0，\，}$即${\显示样式c{-1}={\frac{p{-1}}{q{-1}{}={\ frac{1}{0}}=\infty\，}$

哪里

${\显示样式c{n}={\ frac{p{n}}{q{n}}，\，n\geq-2.\，}$

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}c{n}=c\quad{\rm{iff}}\quad\lim{n\to\ infty{n\sum_{k=0}^{n} 一个_{k} \到\输入\，}{n} 一个_{k} \到\输入\，}$

这些递归关系（特殊情况广义连分式收敛)是由于沃利斯.

漂亮的简单连分数表

连续分数	封闭式表单	十进制展开	A编号
$｛\displaystyle 1+｛\dunderset｛k=1｝$ {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}	菲律宾比索 黄金比例 ${\displaystyle\varphi={\frac{1+{\sqrt{5}}}{2}}\，}$	1.618033988749894848204586834...	囊性纤维变性： A000012号 转换编号：   第页n个= A000045号   (n个+ 2),n个≥0 转换密度：   q个n个= A000045号   (n个+ 1),n个  ≥   0 基数10： A001622号
${\displaystyle 0+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}~{\frac{1}{1+（{\frac{2k}{3}}-1）\cdot 0^{（k{\bmod{3}）}}}={\textbf{0}}+{\cfrac{1}{1+{\frac{1{1}}{\textbaf{2}}+{\cfrac{1}{1+{\frac{1{1}}{1++$ {0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, ...}	1/（e-1） ${\显示样式{\frac{1}{e-1}}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}}$	0.5819767068693264243850020051...	囊性纤维变性：   一 (n个) = A005131号   (n个+ 1),n个  ≥   0 转换编号： A？？？？？？ 犯罪窝点： A？？？？？？ 基数10： A073333号
$1+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}~{\frac{1}{1+{\frac{4k}{3}}\cdot 0^{（k{\bmod{3}）}}={\textbf{1}}+{\cfrac{1}{1+}{\cfac{1}[1+{\frac{1{{{5}}+{\cfrac{1}{1+{\frac{1{1}{1+}\cfrac}{{\textbf{9}}+{\crac{1}}{1+/{\cfac{1{{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}\，$ {1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1, 1, 17, 1, 1, 21, 1, 1, 25, 1, 1, 29, ...}	1/（平方米（e）-1） ${\显示样式{\frac{1}{{\sqrt{e}}-1}}\，}$	1.54149408253679828413110344447...	参考文献：   一 (n个) = A058281号   (n个+ 1),n个  ≥   0 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A113011号
$0+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{1}{2（2k-1）}}=0+{\ frac{1}{2+{\ cfrac{1}}{6+{\ cfrac{1}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}\，$ {0, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, ...}	丹宁（1/2）=（e-1）/（e+1） ${\displaystyle\tanh（{\tfrac{1}{2}}）={\frac{e-1}{e+1}}\，}$	0.46211715726000975850231848364...	囊性纤维变性：   一 (n个) = A016825号   (n个 −  1),n个  ≥   1 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A160327号
$0+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{1}{k}}=0+{\\frac{1}{1+{\cfrac{1}}{2+{\ cfrac{1}{3+{\cfac{1}{4+{\}{\ddots}}}}{}}$ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...}	贝塞尔[1,2]/贝塞尔[0,2] ${\显示样式{\ frac{I{1}（2）}{I{0}（二）}}\，}$	0.697774657964007982006790592...	囊性纤维变性： A001477号 卷积数： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A052119号
$1+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{1}{k+1}}=1+{\frac{1}{2+{\cfrac{1}}{3+{\cfac{1}[4+{\fcrac{1{5+{\crac{1{6+{\cfrac 1}{7+{\ cfrac{1}{8+{{1}{\ddots}}}}{}}$ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...}	贝塞利[0,2]/贝塞利[1,2] $显示样式$	1.433127426722311758317183455...	囊性纤维变性： A000027号 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A060997型
$p{1}+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{1}{p{k+1}}=2+{\frac{1}}{3+{\cfrac{1}{5+{\cfrac{1{7+{\crac{1}[11}{11+{\fcrac{1{13+{\cfrac}{17+{\ cfrac{1}{19+{\cfrac{1}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}\，$ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ...}	？ ${\显示样式？\，}$	2.3130367364335829063839516...	囊性纤维变性： A000040美元 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A064442号

广义连分式

广义连分式也被称为一般连分式.

有限广义连分式

A类有限广义连分式是形式的表达式

$显示样式c=a{0}+{underset{k=1}{overset{n}{\rm{k}}}~{\frac{b{k}}{a{k}{}:=a{0}+{\cfrac{b{1}}{a{1}+{ots}{a{n-1}+{\cfrac{b{n}}{a}n}}}}，\，}$

哪里

一 0

是整数部分连分数的

b条k个 , 1  ≤  k个  ≤  n个,

是部分分子，的

一k个 , 1  ≤  k个  ≤  n个,

是部分分母、和

n个

是一个正整数（请参见高斯Kettenbruch公司符号连分式算子

K（K）

.)

有限广义连分式明显表示有理数尽管有理数可以用许多方式表示为有限的广义连分式。

无限广义连分式

A类无限广义连分式是形式的表达式

${\显示样式c=a{0}+{\下集{k=1}{\上集{\infty}{\rm{k}}}~{\frac{b{k}}{a{k}{}:=a{0}+{\cfrac{b{1}}{a{1}+{cfrac{b{4}}{a{4}+{\cfrac{b2{5}}{\ddots}}}}{}}}，\，}$

哪里

一0

是整数部分连分数的

b条k个 ,k个  ≥   1,

是部分分子，的

一k个 ,k个  ≥   1,

是部分分母（请参见高斯凯滕布鲁赫符号连分式算子

K（K）

.)

紧凑表示为

${\显示样式c=a{0}+b{1}/（a{1}+b}2}/$

紧凑的符号可以是

$显示样式c=[a{0}；b{1}/a{1}，b{2}/a{2}，b2{3}/a{3}，c{4}/a{4}，5}/a{5}，6}/a{6}，\ldots]\，}$

序列表示可以是

$显示样式\{a{0}、b{1}、a{1}、b{2}、c{2}、c{3}、3}，c{4}、4}，b{5}、5}，6}、6}，ldots\}，}$

每个无限广义连分式表示一个无理数尽管无理数可以用许多（无穷多？）方式表示为无限广义连分式。

??? 最终周期无穷广义连分式？？？

数字至少有一个最终是周期性的无穷广义连分式表示是。。。 ?????

哪里

$显示样式c=[a{0}；b{1}/a{1}，b{2}/a{2}，b2{3}/a{3}，c{4}/a{4}，5}/a{5}，6}/a{6}，\ldots]\，}$

并且，对于某个整数

米

和一些整数

k个> 0

，我们有

b条n个 一n个 = b条n个 +k个 一n个 +k个

为所有人

n个  ≥  米

.

只有非周期无限广义连分式表示是？？？？？。（有这样的数字吗？）

广义连分式收敛

最初的几个收敛（从0开始编号）为

${\显示样式c{0}={\frac{p{0}}{q{0}{={\ frac{a{0}}{1}}，\c{1}={\压裂{p{1}{q}}={压裂{a_{1} 一个_{0}+b{1}}{a{1}，\c{2}={\frac{p{2}}{q{2}{={\frac{a{2}（a_{1} 一个_{0}+b{1}）+b_{2} 一个_{0}}{a_{2} 一个_{1} +b{2}}}，\c{3}={压裂{p{3}}{q{3}{}={\压裂{a{3}（a{2}（a_{1} 一个_{0}+b{1}）+b_{2} 一个_{0}）+b{3}（a_{1} 一个_{0}+b{1}）}{a{3}（a_{2} 一个_{1} +b_{2}）+b_{3} 一个_{1} }}，\\ldots\，}{1} 一个_{0}+b{1}}{a{1}，\c{2}={\frac{p{2}}{q{2}{={\frac{a{2}（a_{1} 一个_{0}+b{1}）+b_{2} 一个_{0}}{a_{2} 一个_{1} +b{2}}}，\c{3}={压裂{p{3}}{q{3}{}={\压裂{a{3}（a{2}（a_{1} 一个_{0}+b{1}）+b_{2} 一个_{0}）+b{3}（a_{1} 一个_{0}+b{1}）}{a{3}（a_{2} 一个_{1} +b_{2}）+b_{3} 一个_{1} }}，\\ldots\，}$

或同等

${\显示样式c{0}={\frac{p{0}}{q{0}{={\frac{a_{0}页_{-1}+b_{0}页_{-2}}{a_{0}个_{-1}+b_{0}个_{-2}}}={\压裂{a{0}}{1}}，\，c{1}={\压裂{p{1}{q{1}}={压裂{a_{1} 第页_{0}+b_{1} 第页_{-1}}{a_{1} q个_{0}+b_{1} q个_{-1}}}，\，c{2}={\压裂{p{2}}{q{2}{={\裂缝{a_{2} 第页_{1} +b个_{2} 第页_{0}}{a_{2} 问_{1} +b个_{2} q个_{0}}，\，c{3}={\压裂{p{3}}{q{3}{={\裂缝{a_{3} 第页_{2} +b个_{3} 第页_{1} }｛a_{3} q个_{2} +b个_{3} q个_{1} }}，\，\ldots\，}{0}页_{-1}+b_{0}页_{-2}}{a_{0}个_{-1}+b_{0}个_{-2}}}={\压裂{a{0}}{1}}，\，c{1}={\压裂{p{1}{q{1}}={压裂{a_{1} 第页_{0}+b_{1} 第页_{-1}}{a_{1} q个_{0}+b_{1} q个_{-1}}}，\，c{2}={\压裂{p{2}}{q{2}{={\裂缝{a_{2} 第页_{1} +b个_{2} 第页_{0}}{a_{2} 问_{1} +b个_{2} q个_{0}}，\，c{3}={\压裂{p{3}}{q{3}{={\裂缝{a_{3} 第页_{2} +b个_{3} 第页_{1} }｛a_{3} q个_{2} +b个_{3} q个_{1} }}，\，\ldots\，}$

具有

$｛\displaystyle b_｛0｝\equiv 1\，｝$

${\显示样式p{-2}\equiv，\，q{-2}\ equiv 1，\，}$即${\显示样式c{-2}\equiv{\frac{p{-2}}{q{-2}{}={\ frac{0}{1}}=0\，}$

${\显示样式p{-1}\equiv，\，q_{-1}\ equiv 0，\，}$即${\显示样式c{-1}\equiv{\frac{p{-1}}{q{-1}{}={\frac{1}{0}}=\infty\，}$

给

${\显示样式p_{n}=a_{n} 第页_{n-1}+b_{n} 第页_{n-2}\，}{n} 第页_{n-1}+b_{n} 第页_{n-2}\，}$

${\显示样式q_{n}=a_{n} 问_{n-1}+b_{n} q个_{n-2}\，}{n} 问_{n-1}+b_{n} q个_{n-2}\，}$

具有

${\显示样式b_{0}\等于1\，}$

${\显示样式p{-2}\equiv，\，q{-2}\ equiv 1，\，}$即${\显示样式c{-2}\equiv{\frac{p{-2}}{q{-2}{}={\ frac{0}{1}}=0\，}$

${\显示样式p{-1}\equiv，\，q_{-1}\ equiv 0，\，}$即${\显示样式c{-1}\equiv{\frac{p{-1}}{q{-1}{}={\frac{1}{0}}=\infty\，}$

哪里

${\显示样式c{n}={\ frac{p{n}}{q{n}}，\，n\geq-2.\，}$

$｛\displaystyle c＝\lim _｛n｝to infty｝c｛n｝\，｝$

这些递归关系是由于沃利斯.

好的广义连分式表

连续分数	封闭式表单	十进制展开	A编号
${\displaystyle 1+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{k}{1}}=1+{\cfrac{1}{1+{\ cfrac{2}{1+{\cfac{3}{1++$ ｛1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，8，1，9，1，10，…｝	平方（2/（pi*e））/erc（1/sqrt（2）） ${\显示样式{\sqrt{\frac{2}{\pie}}}{\frac{1}{\rm{~erfc}}（{\tfrac{1}}{\sqrt{2}}）}}\，}$	1.525135276160981209089090536...	囊性纤维变性：   一 (n个) = A057979美元   (n个+ 2),n个  ≥   0 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A111129号
${\displaystyle 0+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{k}{k}}=0+{\ frac{1}{1+{\ cfrac{2}{2+{\$ {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, ...}	1/（e-1） ${\显示样式{\frac{1}{e-1}}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}\，}$	0.5819767068693264243850020051...	囊性纤维变性： A110654号 卷积数： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A073333号
$1+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{2k}{2k+1}}=1+{\frac{2}{3+{\cfrac{4}{5+{\cfac{6}{7+{\crac{8}{\ddots}}}{}}}，}}}\，$ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...}	1/（平方米（e）-1） ${\显示样式{\frac{1}{{\sqrt{e}}-1}}\，}$	1.54149408253679828413110344447。。。	囊性纤维变性： A000027号 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A113011号
$1+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}~{\frac{k^{2}}{2k+1}}=1+{\cfrac{1}{3+{\cfras{4}{5+{\frac{9}{7+{\fcrac{16}{\ddots}}}}{}}}，$ {1, 1, 3, 4, 5, 9, 7, 16, 9, 25, 11, 36, 13, 49, 15, 64, 17, 81, ...}	4/磅 $｛\displaystyle｛\frac｛4｝｛\pi｝｝\，｝$	1.27323954473516268615107010698...	囊性纤维变性： A079097号 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A088538号
$p{1}+{\underset{k=1}{\overset{\infty}{\rm{k}}}}~{\frac{p{2k}}{p_{2k+1}}}=2+{\cfrac{3}{5+{\ cfrac{7}{11+{\frac{13}{17+{\fcrac{19}{\ddots}}}{\，}}$ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ...}	Herkommer数 ${\显示样式？\，}$	2.5360270816893383923069490821...	囊性纤维变性： A000040美元 转换编号： A？？？？？？ 转换密度： A？？？？？？ 基数10： A085825号

高斯凯滕布鲁赫符号

卡尔·弗里德里希·高斯唤起更熟悉的人产品运营商

π

当他为连续分数(凯滕布鲁赫（德语）操作员

${\显示样式x=a{0}+{\下集{k=1}{\上集{\infty}{\rm{k}}}~{\frac{b{k}}{a{k}{}:=a{0}+{\cfrac{b{1}}{a{1}+{cfrac{b{4}}{a{4}+{\cfrac{b2{5}}{\ddots}}}}{}}}.\，}$

这里是

K（K）

代表Kettenbruch公司，德语中的“连分数”。这可能是表示连分数最简洁、最方便的方法；然而，它并没有被英语排字工人广泛使用。

另请参阅

• 连续分数(嵌套分数)
  • 类别：常数的连分数
    • 类别：有理数的连分数
    • 类别：无理数的连分数
      • 类别：二次数的连分数
  • 类别：函数的连分数
• 连读部首(嵌套根)
• 收敛常数表

外部链接

• 马雷克·沃尔夫，素数构造的连分式, 2010.
• 续分数计算器版本2010年10月4日©2003-2010 Ron Knott博士，更新日期：2010年10月4日。