阶乘数制

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因为我们已经（很容易被[数学]证明）归纳)^[1]

{\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{i\cdot i！}=（n+1）-1，\quad n \geq 0，\，}

这为每个自然数提供了一个唯一的表示，并有限制（0到 ${\显示样式\脚本样式i\，}$ )关于与place-value一起使用的“数字” ${\显示样式\脚本样式i！\，}$ 。这使阶乘数制，也称为因数分解的，一个混合基数数字系统适应编号排列在里面词典编纂顺序或在中反向词典顺序（因为因数数字映射到置换莱默代码).

因为0是place-value允许的唯一“数字” ${\显示样式\脚本样式0！\，}$ ，我们可以省略它（除非考虑Lehmer代码)，即。

{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{i\cdot i！}={（n+1）！}-1，\quad n\geq 0，\，}

在哪里 ${\显示样式\脚本样式n\，=\，0\，}$ 我们得到了空总和即0。

**阶乘数字系统（以连续正整数为基数，其位值为阶乘数）**
索引：	7	6	5	4	三	2	1	0个*
基数：	7	6	5	4	三	2	1	0*
位置值：	7! = 5040	6! = 720	5! = 120	4! = 24	3! = 6	2! = 2	1! = 1	0! = 1*
数字：	0到7	0到6	0到5	0到4	0到3	0到2	0到1	0到0*

*可以省略（除非考虑Lehmer代码)为了方便起见，因为唯一允许的“数字”是零！

A007623号以阶乘为基数写入的整数（没有索引0“数字”，它总是0）。（在10*10！-1以上，我们需要使用“数字”分隔符，例如冒号。）(A124252号除以10。）

{0, 1, 10, 11, 20, 21, 100, 101, 110, 111, 120, 121, 200, 201, 210, 211, 220, 221, 300, 301, 310, 311, 320, 321, 1000, 1001, 1010, 1011, 1020, 1021, 1100, 1101, 1110, 1111, ...}

连接

{{0}, {1}, {1, 0}, {1, 1}, {2, 0}, {2, 1}, {1, 0, 0}, {1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {1, 1, 1}, {1, 2, 0}, {1, 2, 1}, {2, 0, 0}, {2, 0, 1}, {2, 1, 0}, {2, 1, 1}, {2, 2, 0}, {2, 2, 1}, ...}

我们在哪里 ${\显示样式k\cdot k！，\，k\geq 1}$ ，行（从零开始索引 ${\显示样式k！}$ 到 ${\显示样式（k+1）！-1}$ )带有 ${\显示样式k}$ 元素给出了以下序列。（如果我们应用不显示前导0到0的规则，我们将没有任何可显示的内容： ${\显示样式k=0}$ .)

A108731号按行读取三角形：第n行给出n的基数阶乘位数。

{0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 2, 1, 3, 0, 0, 3, 0, 1, 3, 1, 0, 3, 1, 1, ...}

A124252号以阶乘基数写入的整数（其索引为0“数字”，始终为0）。（10*10！-1以上，我们需要使用“数字”分隔符，例如冒号。）（10次A007623号.)

{0, 10, 100, 110, 200, 210, 1000, 1010, 1100, 1110, 1200, 1210, 2000, 2010, 2100, 2110, 2200, 2210, 3000, 3010, 3100, 3110, 3200, 3210, 10000, 10010, 10100, 10110, 10200, ...}

系数表

在下表中素数，除{2，3}外，所有与{1，5}（mod 6）同余的内容如所示粗体斜体.

在factoradic表示中，除了{1:0_#, 1:1_#}，所有素数都以

0:1_#, 2:1_#

其中与1（mod 6）同余的素数以0:1结尾_#而与5（mod 6）同余的素数以2:1结尾_#.

在 $｛\displaystyle\phi（120）=32｝$ 数字互质至120（根据指向函数)，1是一个单元和以下四个数字

7^2 = 49, 7*11 = 77, 7*13 = 91, 7*17 = 119,

是混合成的所以我们有27个素数，它们与120互素。如果我们计算素数{2,3,5}，我们得到 ${\显示样式\pi（120）=30}$ 素数高达120（根据素数计数函数).

注意，从10*10开始！=36288000₁₀= 10:0:0:0:0:0:0:0:0:0_!，显然需要使用冒号分隔符！

因式表示（索引0省略）从0到5！−的非负整数1

n个₁₀	n个_!
0	0
1	1
2	1:0
三	1:1
4	2:0
5	2:1
6	1点0分
7	1:0:1
8	1:1:0
9	1:1:1
10	1:2:0
11	1:2:1
12	2:0:0
13	2:0:1
14	2:1:0
15	2:1:1
16	2:2:0
17	2:2:1
18	3:0:0
19	3:0:1
20	3:1:0
21	3:1:1
22	3:2:0
23	3:2:1

n个₁₀	n个_!
24	1:0:0:0
25	1:0:0:1
26	1:0:1:0
27	1:0:1:1
28	1:0:2:0
29	1:0:2:1
30	1:1:0:0
31	1:1:0:1
32	1:1:1:0
33	1:1:1:1
34	1:1:2:0
35	1:1:2:1
36	1:2:0:0
37	1:2:0:1
38	1:2:1:0
39	1:2:1:1
40	1:2:2:0
41	1:2:2:1
42	1:3:0:0
43	1:3:0:1
44	1点31分10秒
45	1:3:1:1
46	1:3:2:0
47	1:3:2:1

n个₁₀	n个_!
48	2:0:0:0
49	2:0:0:1
50	2:0:1:0
51	2:0:1:1
52	2:0:2:0
53	2:0:2:1
54	2:1:0:0
55	2:1:0:1
56	2:1:1:0
57	2:1:1:1
58	2:1:2:0
59	2:1:2:1
60	2:2:0:0
61	2:2:0:1
62	2:2:1:0
63	2:2:1:1
64	2点2分2秒0
65	2:2:2:1
66	2:3:0:0
67	2:3:0:1
68	2:3:1:0
69	2:3:1:1
70	2:3:2:0
71	2:3:2:1

n个₁₀	n个_!
72	3:0:0:0
73	3::0:1
74	3:0:1:0
75	3:0:1:1
76	3:0:2:0
77	3:0:2:1
78	3:1:0:0
79	3:1:0:1
80	3:1:1:0
81	3:1:1:1
82	3分2秒0
83	3:1:2:1
84	3:2:0:0
85	3:2:0:1
86	3:2:1:0
87	3:2:1:1
88	3:2:2:0
89	3:2:2:1
90	3:3:0:0
91	3:3:0:1
92	3:3:1:0
93	3:3:1:1
94	3:3:2:0
95	3:3:2:1

n个₁₀	n个_!
96	4:0:0:0
97	4:0:0:1
98	4:0:1:0
99	4:0:1:1
100	4:0:2:0
101	4:0:2:1
102	4点1分0秒
103	4:1:0:1
104	4:1:1:0
105	4:1:1:1
106	4:1:2:0
107	4:1:2:1
108	4:2:0:0
109	4:2:0:1
110	4:2:1:0
111	4:2:1:1
112	4:2:2:0
113	4:2:2:1
114	4:3:0:0
115	4:3:0:1
116	4:3:1:0
117	4:3:1:1
118	4:3:2:0
119	4:3:2:1

置换的Lehmer码

因数数字对应于置换的莱默代码.^[2]

例如，因数数字3:1:1_!(3:1:1:0_!如果我们附加索引0“数字”，它总是0），对应于（a，b，c，d）的置换（d，b，c，a）的零诱导Lehmer码（3，1，1，0），其中

d在（a，b，c，d）中具有零index 3，

b在剩余（a，b，c）中具有零index 1，

c在剩余（a，c）中具有零index 1，

a在剩余的（a）中有零index 0，它必然总是0，

在这4个！=24个排列（英寸词典编纂顺序，零诱导（a，b，c，d）的0到23），置换（d，b，c，a）具有零诱导21。

（a，b，c，d）in的排列**词典编纂顺序**
n个₁₀	n个_!	莱默代码	置换
0	0	(0, 0, 0, 0)	（a、b、c、d）
1	1	(0, 0, 1, 0)	（a、b、d、c）
2	1:0	（0，1，0，0）	（a、c、b、d）
三	1:1	(0, 1, 1, 0)	（a、c、d、b）
4	2:0	(0, 2, 0, 0)	（a、d、b、c）
5	2:1	(0, 2, 1, 0)	（a、d、c、b）
6	1:0:0	（1，0，0，0）	（b、a、c、d）
7	1:0:1	(1, 0, 1, 0)	（b、a、d、c）
8	1:1:0	(1, 1, 0, 0)	（b、c、a、d）
9	1:1:1	（1，1，1，0）	（b、c、d、a）
10	1:2:0	(1, 2, 0, 0)	（b、d、a、c）
11	1:2:1	(1, 2, 1, 0)	（b、d、c、a）
12	2:0:0	(2, 0, 0, 0)	（c、a、b、d）
13	2:0:1	(2, 0, 1, 0)	（c、a、d、b）
14	2:1:0	(2, 1, 0, 0)	（c、b、a、d）
15	2:1:1	(2, 1, 1, 0)	（c、b、d、a）
16	2点2分0秒	(2, 2, 0, 0)	（c、d、a、b）
17	2:2:1	(2, 2, 1, 0)	（c、d、b、a）
18	3:0:0	(3, 0, 0, 0)	（d、a、b、c）
19	3:0:1比例	(3, 0, 1, 0)	（d、a、c、b）
20	3:1:0	(3, 1, 0, 0)	（d、b、a、c）
21	3:1:1	(3, 1, 1, 0)	（d、b、c、a）
22	3点20分	(3, 2, 0, 0)	（d、c、a、b）
23	3:2:1	(3, 2, 1, 0)	（d、c、b、a）

有理数的因式表示

a的factoradic表示有理数 ${\显示样式{\tfrac{a}{b}}}$ （在中考虑简化形式)在开放单位间隔内，即。 ${\显示样式0<{\tfrac{a}{b}}<1}$ ，定义为^[3]

{\显示样式{\frac{a}{b}}:=\sum_{i=1}^{N}{\frac{d_{i}}{（i+1）！}}，\quad 0\leqd_{i}\leqi，\，}

哪里 ${\显示样式d_{i}，\，0\leqd_{i}\leqi，}$ 是place-value的“factoradic数字” ${\显示样式{\frac{1}{（i+1）！}}}$ 、和 ${\显示样式N}$ 是“factoradic点”后面的“factorad位数”( ${\显示样式N}$ 是最小的整数，因此 ${\显示样式（N+1）！}$ 可被的分母整除 ${\显示样式{\tfrac{a}{b}}}$ ，在中考虑简化形式).

请注意 ${\显示样式d_{i}}$ 不能等于 ${\显示样式i+1}$ 自从

｛\displaystyle｛\frac｛i+1｝｛（i+1）！｝｝＝｛\frac｛1｝｛i！｝。\，｝

仅对理性使用终止形式（参见实数的因子表示对于非终止形式），通过将整数部分与分数部分相加（即在开放单位区间内），我们得到了任何有理数的唯一factoradic表示。

分母小于等于12的开放单位区间分数的因式表示

分数	因数分解
1/2	0.1
1/3	0.0:2
2/3	0.1:1

分数	因数分解
1/4	0.0:1:2
3/4	0.1:1:2
1/5	0.0:1:0:4
2/5	0.0:2:1:3
3/5	0.1:0:2:2
第4页，共5页	0.1:1:3:1
1/6	0.0:1
5/6	0.1:2
第1页，共7页	0.0:0:3:2:0:6
2/7	0.0:1:2:4:1:5
3/7	0.0:2:2:1:2:4
4/7	0.1:0:1:3:3:3
5/7	0.1:1:1:0:4:2
第6页，共7页	0.1:2:0:2:5:1

分数	因数分解
1/8	0.0:0:3
第3页，共8页	0.0:2:1
5/8	0.1:0:3
7/8	0.1:2:1
第1页，共9页	0.0:0:2:3:2
2/9	0.0:1:1:1:4
4/9	0.0:2:2:3:2
5/9	0.1:0:1:1:4
7/9	0.1:1:2:3:2
8/9	0.1:2:1:1:4
1/10	0.0:0:2:2
3/10	0.0:1:3:1
7/10	0.1:1:0:4
9/10	0.1:2:1:3

分数	因数分解
1/11	0.0:0:2:0:5:3:1:4:0:10
2/11	0.0:1:0:1:4:6:2:8:1:9
2011年3月	0.0:1:2:2:4:2:4:3:2:8
4/11	0.0:2:0:3:3:5:5:7:3:7
5/11	0.0:2:2:4:3:1:7:2:4:6
6/11	0.1:0:1:0:2:5:0:6:5:5
2011年7月	0.1:0:3:1:2:1:2:1:6:4
2011年8月	0.1:1:1:2:1:4:3:5:7:3
9/11	0.1:1:3:3:1:0:5:0:8:2
10/11	0.1:2:1:4:0:3:6:4:9:1
1/12	0.0:0:2
5/12	0.0:2:2
2012年7月	0.1:0:2
11/12	0.1:2:2

实数的因式表示

a的factoradic表示实数 ${\显示样式x}$ 在开放单位间隔内，即。 ${\显示样式0<x<1}$ ，定义为

{\显示样式x:=\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{d_{i}}{（i+1）！}}，\quad 0\leqd_{i}\leqi，\，}

哪里 ${\显示样式d_{i}，\，0\leqd_{i}\leqi，}$ 是place-value的“factoradic数字” ${\显示样式{\frac{1}{（i+1）！}}}$ .

注意，有理数有两种因子表示，因为很容易证明^[4]

{\显示样式{\frac{1}{m！}}=\sum_{i=m}^{\infty}{\frac{i}{（i+1）！}}，\quad m\geq1，\，}

左边是终止形式，右边是非终止形式。

这类似于

{\显示样式{\frac{1}{b^{m}}=\sum_{i=m}^{\infty}{\frac{b-1}{b ^{i+1}}，\quad m\geq0，\，b\geq2，\，}

在固定基数中 ${\显示样式b}$ .

通过仅使用有理数的终止形式，我们通过将整数部分与分数部分相加（即在开放单位区间内），得到了任何实数的唯一factoradic表示。

具有正则模式的factoradic表示的实数示例

{\显示样式e=}

1:0.1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:1:...

｛\displaystyle e ^｛-1｝=｝

0.0:2:0:4:0:6:0:8:0:10:0:12:0:14:...

{\显示样式\sin（1）=}

0.1:2:0:0:5:6:0:0:9:10:0:0:13:14:...

{\显示样式\cos（1）=}

0.1:0:0:4:5:0:0:8:9:0:0:12:13:0:0:...

｛\displaystyle\sinh（1）=｝

1.0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:...

{\displaystyle\cosh（1）=}

1.1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:1:0:...

另请参见

注意事项

↑ 防感应：

基本情况以下为：

适用于 ${\显示样式n=0}$ .

诱导步骤以下为：

${\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{i\cdot i！}=（n+1）-1，\quad n \geq 0，\，}$

当且仅当

$｛\displaystyle\sum_｛i=0｝^｛n-1｝｛i\cdot i！｝+n\cdot n=（n+1）/cdot n-1=n\cdot n+不-1，\quad n \geq 0，\，}$

当且仅当

${\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i\cdot i！}=n-1，\quad n \geq 0.\，}$
↑ 基思·施瓦兹(htiek@cs.stanford.edu),文件：FactoradicPermutation.hh.
↑ http://planetmath.org/factrialbaserepresentationoffractions公司
↑ 证明：
${\displaystyle\sum_{i=m}^{\infty}{\frac{i}{（i+1）！}}=\sum_{i=m+1}^{\fraty}{\ frac{i-1}{i！}}=\sum_ i=m+1}^{\farty}{\sum_{i=m}^{\infty}{\frac{1}{i！}}\，-\sum_{i=m+1}^{\fraty}{\frac{1}{i！{}}={\frac{1}}{m！}}，\quad m\geq 1.}$

[1] 防感应：

基本情况以下为：

适用于 ${\显示样式n=0}$ .

诱导步骤以下为：

${\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{i\cdot i！}=（n+1）-1，\quad n \geq 0，\，}$

当且仅当

$｛\displaystyle\sum_｛i=0｝^｛n-1｝｛i\cdot i！｝+n\cdot n=（n+1）/cdot n-1=n\cdot n+不-1，\quad n \geq 0，\，}$

当且仅当

${\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i\cdot i！}=n-1，\quad n \geq 0.\，}$

[2] 基思·施瓦兹(htiek@cs.stanford.edu),文件：FactoradicPermutation.hh.

[3] ttp://planetmath.org/factrialbaserepresentationoffractions公司

[4] 证明：
${\displaystyle\sum_{i=m}^{\infty}{\frac{i}{（i+1）！}}=\sum_{i=m+1}^{\fraty}{\ frac{i-1}{i！}}=\sum_ i=m+1}^{\farty}{\sum_{i=m}^{\infty}{\frac{1}{i！}}\，-\sum_{i=m+1}^{\fraty}{\frac{1}{i！{}}={\frac{1}}{m！}}，\quad m\geq 1.}$

[1]