可构造多边形

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可构造多边形（带直尺和指南针）

A类可构造多边形是一个正多边形可以用直尺和指南针建造。

卡尔·费里特立奇·高斯证明了正则的可构造性17-多边形1796年。五年后，他发展了高斯周期在他的算术研究.这个理论使他能够制定一个充分条件正多边形的可构造性

一个普通的

n个

-gon可以用直尺和指南针构造，如果

n个

是的权力2以及任何数量的不同费马素数.

高斯在没有证据的情况下表示，这种情况也是必要的，但从未公布他的证据。必要性的充分证明由皮埃尔·旺策尔1837年。

可构造的奇边多边形（带直尺和指南针）

既然有5已知的费马素数，

{ F类0 ,F类1 ,F类2 ,F类三 ,F类4 }

= {3, 5, 17, 257, 65537}（请参见A019434号)，那么就有

     

( 5 0 )+( 5 1 )+( 5 2 )+( 5 三 )+( 5 4 )+( 5 5 )=1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 =32=2 5

已知可构造的奇边多边形（实际上31因为多边形至少有三侧面）。

A004729号的除数2 32 −  1（边数为奇数的多边形，可以用尺子和指南针构造）。

{1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295}

A045544号的奇数值

n个

其中一个常规

n个

-多边形可以由指南针和直尺构成。

{3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295, ?}

如果有人解释Sierpiński三角形作为二进制数，第一个32行给出了32不同产品费马素数,1(空产品)对于行0和31不同Fermat素数的非空乘积。

A001317号西尔宾斯基三角形（帕斯卡三角形模型2)行转换为十进制。

{1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295, 4294967297, ...}

西尔宾斯基的三角形行

n个	[行(n个)]2	[行(n个)]10	因子分解为费马数
0	1	1
1	11	三	(11)2= 3 =F类0
2	101	5	(101)2= 5 =F类1
三	1111	15	(11)2·（101）2= 3 ⋅ 5 =F类0 F类1
4	10001	17	(10001)2= 17 =F类2
5	110011	51	(11)2⋅ (10001)2= 3 ⋅ 17 =F类0 F类2
6	1010101	85	(101)2⋅ (10001)2= 5 ⋅ 17 =F类1 F类2
7	11111111	255	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 =F类0 F类1 F类2
8	100000001	257	(100000001)2= 257 =F类三
9	1100000011	771	(11)2·（100000001）2= 3 ⋅ 257 =F类0 F类三
10	10100000101	1285	(101)2⋅ (100000001)2=5·257=F类1 F类三
11	111100001111	3855	(11)2⋅ (101)2⋅ (100000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 257 =F类0 F类1 F类三
12	1000100010001	4369	(10001)2⋅ (100000001)2= 17 ⋅ 257 =F类2 F类三
13	11001100110011	13107	(11)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= 3 ⋅ 17 ⋅ 257 =F类0 F类2 F类三
14	101010101010101	21845	(101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2=5·17·257=F类1 F类2 F类三
15	1111111111111111	65535	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 257 =F类0 F类1 F类2 F类三
16	10000000000000001	65537	(10000000000000001)2= 65537 =F类4
17	110000000000000011	196611	(11)2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 65537 =F类0 F类4
18	1010000000000000101	327685	(101)2⋅ (10000000000000001)2= 5 ⋅ 65537 =F类1 F类4
19	11110000000000001111	983055	(11)2·（101）2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 65537 =F类0 F类1 F类4
20	100010000000000010001	1114129	(10001)2⋅ (10000000000000001)2= 17 ⋅ 65537 =F类2 F类4
21	1100110000000000110011	3342387	(11)2⋅ (10001)2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 17 ⋅ 65537 =F类0 F类2 F类4
22	10101010000000001010101	5570645	(101)2⋅ (10001)2⋅ (10000000000000001)2= 5 ⋅ 17 ⋅ 65537 =F类1 F类2 F类4
23	111111110000000011111111	16711935	(11)2⋅ (101)2·（10001）2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 65537 =F类0 F类1 F类2 F类4
24	1000000010000000100000001	16843009	(100000001)2= (10000000000000001)2= 257 ⋅ 65537 =F类三 F类4
25	11000000110000001100000011	50529027	(11)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 3 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类三 F类4
26	101000001010000010100000101	84215045	(101)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 5 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类1 F类三 F类4
27	1111000011110000111100001111	252645135	(11)2⋅ (101)2⋅ (100000001)2=（10000000000000001）2= 3 ⋅ 5 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类1 F类三 F类4
28	10001000100010001000100010001	286331153	(10001)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类2 F类三 F类4
29	110011001100110011001100110011	858993459	(11)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 3 ⋅ 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类2 F类三 F类4
30	1010101010101010101010101010101	1431655765	(101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2=（10000000000000001）2= 5 ⋅ 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类1 F类2 F类三 F类4
31	11111111111111111111111111111111	4294967295	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类1 F类2 F类三 F类4
32	100000000000000000000000000000001	4294967297*	(100000000000000000000000000000001)2= 4294967297* =F类5

*F类5= 4294967297 = 641 ⋅ 6700417是第一个混合成的费马数。从这里开始，没有其他费马数是已知的素数。
排

2 n个,n个  ≥   0,

给

F类n个

，的

n个

^第个 费马数.对于

n个=

1到31，我们得到了5已知费马素数，给出的边数可构造的奇边多边形如果没有其他费马素数，那么就没有更多可构造的（使用直尺和指南针）奇边多边形。

通过归纳很容易证明，Sierpinski三角形中被解释为二进制数的行是不同的费马数.

防感应:

• 基本情况：对于行

  n个=

  0和1，我们得到1(空产品)和三分别是不同费马数的乘积

  {F类0 } = {3}

  ；

• 归纳假说：假定所有行来自

  n个= 0

  到

  2 n个 −  1

  是不同费马数的乘积

  {F类0 , ...,F类n个  − 1}

  .

如果行

k个, 0  ≤  k个≤2 n个 −  1,

是

行 (k个 )  =    n个  − 1 ∏   我  = 0    F类我   α 我 , α我∈ {0, 1},

然后根据Sierpinski三角形的分形特性

2 n个+k个, 0  ≤  k个≤2 n个 −  1,

是

行 (2 n个+k个 )  = 行 (k个 )F类n个。