二项式系数

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A类二项式系数

( ^n个_k个 )

告诉我们有多少种采摘方式

k个

一组元素中的元素

n个

元素，不考虑顺序。例如，选择3一组数字5数字({1, 2, 3, 4, 5}对于本例），有( ⁵₃ ) = 10方式：{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}（在这里提出只是为了表明我们没有忽视任何内容）。

公式包括阶乘

(

n个

k个

) :=

n个!

k个 ! (n个−k个）！

,

但如果我们不介意先计算一些较小的二项式系数，还有一种更简单的方法。

当然

( ^n个₀ ) =( ^n个_n个 ) = 1

（空集合在前一种情况下，在后一种情况中为整套）和

( ^n个₁ ) =( ^n个_{n个 − 1} ) =n个

（在前者中每次只选取一个元素，而在后者中每次只遗漏一个元素），这表明对称性在表格排列中可能变得更加明显。

帕斯卡三角形和二项式系数

帕斯卡三角形是二项式系数表，^[1]即扩展二项式的系数

(1 +x个) n个 =

n个

∑

d日 = 0

(

n个

d日

) x个 d日 :=

n个

∑

d日 = 0

n个!

d日 ! (n个−d日）！

x个 d日 =

n个

∑

d日 = 0

吨 (n个,d日 )x个 d日, n个≥ 0,

哪个是生成函数对于

n个

第个帕斯卡三角形的行（有限序列）。

一代人k个之后n个人口翻倍

二项式系数

( ^n个_k个 )

给出

k个

第个之后生成

n个

人口翻了一番。每增加一倍人口，每个克隆人的世代指数就会增加1，从而转到下一行。只需将每一行从0到

2 n个 − 1

得到二项式系数。

0   1       3               7                              15                                                              310:O|.|..|….|….|…….||1:|O|O.|O…|O…….|（O）O|2:||O|O。|O O O。O…|（O…|）O O O。哦。O|3:|||O|O O O O。|O O O O。O O O。哦|4:||||O|O O O O|5:|||||运行|

这是一个分形过程：从中获取图案0到

2 n个 − 1

，从中附加一个下移（一行）的模式副本0到

2 n个 − 1 − 1

图案右侧0到

2 n个 − 1 − 1

.

良好的二项式系数

(...)

异常二项式系数

(...)

二项式系数之和

∑

d日

k个 = 0

( ^n个_k个 ) , n个 ≥ 0

（其中

d日

是唯一确定的次数多项式的次数

d日

通过点

(k个 , 2 k个 ),k个= 0 .. d日.

)

d日

顺序

A编号

0

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

A000012号

1

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, ...}

A000027号

2

{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, 562, 596, 631, 667, ...}

A000124号

3

｛1、2、4、8、15、26、42、64、93、130、176、232、299、378、470、576、697、834、988、1160、1351、1562、1794、2048、2325、2626、2952、3304、3683、4090、4526、4992、5489…｝

A000125号

4

{1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902, 20854, 24158, 27841, ...}

A000127号

5

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885, 9402, 12616, 16664, 21700, 27896, 35443, 44552, 55455, 68406, 83682, 101584, 122438, ...}

A006261号

6

｛1、2、4、8、16、32、64、127、247、466、848、1486、2510、4096、6476、9949、14893、21778、31180、43796、60460、82160、110056、145499、190051、245506、313912、397594…｝

A008859号

7

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 502, 968, 1816, 3302, 5812, 9908, 16384, 26333, 41226, 63004, 94184, 137980, 198440, 280600, 390656, 536155, 726206, 971712, 1285624, ...}

A008860美元

8

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1013, 1981, 3797, 7099, 12911, 22819, 39203, 65536, 106762, 169766, 263950, 401930, 600370, 880970, 1271626, 1807781, 2533987, ...}

A008861号

9

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1023, 2036, 4017, 7814, 14913, 27824, 50643, 89846, 155382, 262144, 431910, 695860, 1097790, 1698160, 2579130, 3850756, 5658537, ...}

A008862号

10

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2047, 4083, 8100, 15914, 30827, 58651, 109294, 199140, 354522, 616666, 1048576, 1744436, 2842226, 4540386, 7119516, ...}

A008863号

11

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4095, 8178, 16278, 32192, 63019, 121670, 230964, 430104, 784626, 1401292, 2449868, 4194304, 7036530, 11576916, ...}

A219531年

12

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8191, 16369, 32647, 64839, 127858, 249528, 480492, 910596, 1695222, 3096514, 5546382, 9740686, 16777216, ...}

A219615型

二项式系数和的生成函数

A000012号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 0,n个 ≥ 0。（1，n个 ≥ 0.)

使用

n个

削减。（因为你不能切分一个点，所以总是剩下一个点！）

出生日期：

1

1 −x个

.

A000027号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 1,n个 ≥ 0. (n个+ 1,n个 ≥ 0.)

（注意：A000027号具有偏移量

1:n个,n个 ≥ 1

)切割字符串时形成的最大碎片数

n个

切割，即。

n个+ 1

件。

出生日期：

1

（1−x个) 2

.

（带偏移1，外径：

x个

(1 − x个) 2

.)

A000124号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 9中，n个 ≥ 0. (

n个 (n个 − 1)

2

+n个+ 1,n个 ≥ 0.)

中心多边形数（Lazy Caterer序列）：

( ^{n个+ 1}₂ ) + 1

；或者，用

n个

削减。

出生日期：

（1−x个+x个 2 ) / （1−x个) 3.

A000125号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 三，n个 ≥ 0

蛋糕数量：由

n个

平面切割立方体（或蛋糕）：

( ^{n个+ 1}₃ ) +n个+ 1

.

出生日期：

(1 − 2 x个+ 2 x个 2 ) / （1−x个) 4.

A000127号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 4,n个 ≥ 0

通过连接获得的最大区域数

n个

以直线围绕圆的点，即。

n个 (n个 − 1)

2

削减。4个空间中由

n个 − 1

超平面。

出生日期：

(1 − 3 x个+ 4 x个 2− 2 x个 3+x个 4 ) / （1−x个) 5.

A006261号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 5,n个 ≥ 0

5个空间中的最大区域数由

n个 − 1

4-D超平面？

出生日期：

（1−4 x个+ 7 x个 2− 6 x个 3+ 3 x个 4 ) / （1−x个) 6.

A008859号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 6,n个 ≥ 0

6个空间中的最大区域数由

n个 − 1

5-D超平面？

出生日期：

(1 − 5 x个+ 11 x个 2− 13 x个 3+ 9 x个 4− 3 x个 5+x个 6 ) / （1−x个) 7.

A008860美元

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 7中，n个 ≥ 0

7个空间中的最大区域数由

n个 − 1

6-D超平面？

出生日期：

(1 − 6 x个+ 16 x个 2− 24 x个 3+ 22 x个 4− 12 x个 5+ 4 x个 6 ) / （1−x个) 8.

A008861号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 8,n个 ≥ 0

8个空间中的最大区域数由

n个 − 1

7-D超平面？

出生日期：

(1 − 7 x个+ 22 x个 2− 40 x个 3+ 46 x个 4− 34 x个 5+ 16 x个 6− 4 x个 7+x个 8 ) / （1−x个) 9.

A008862号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 9中，n个 ≥ 0

9空间中的最大区域数由

n个 − 1

8-D超平面？

出生日期：

(1 − 8 x个+ 29 x个 2− 62 x个 3+ 86 x个 4− 80 x个 5+ 50 x个 6− 20 x个 7+ 5 x个 8 ) / （1−x个) 10.

A008863号

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 10,n个 ≥ 0

10个空间中的最大区域数由

n个 − 1

9-D超平面？

出生日期：

(1 − 9 x个+ 37 x个 2− 91 x个 3+ 148 x个 4− 166 x个 5+ 130 x个 6− 70 x个 7+ 25 x个 8− 5 x个 9+x个 10 ) / （1−x个) 11.

A219531年

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 11,n个 ≥ 0

11个空间中的最大区域数由

n个 − 1

10-D超平面？

出生日期：

（1−10 x个+ 46 x个 2− 128 x个 3+239个 x个 4− 314 x个 5+ 296 x个 6− 200 x个 7+ 95 x个 8− 30 x个 9+ 6 x个 10 ) / （1−x个) 12.

A219615型

∑

( ^n个_k个 ) ,k个= 0 .. 12,n个 ≥ 0

12个空间中的最大区域数由

n个 − 1

11-D超平面？

出生日期：

(1 − 11 x个+ 56 x个 2− 174 x个 3+367个 x个 4− 553 x个 5+ 610 x个 6− 496 x个 7+ 295 x个 8− 125 x个 9+ 36 x个 10− 6 x个 11+x个 12 ) / （1−x个) 13.

二项式系数和生成函数的分子多项式系数的三角

系数
c（c） (d日,k个 )
o.g.f的分子多项式。
∑
d日

k个 = 0
c（c） (d日,k个 ) ( − x个) k个
(1 − x个) d日 +1
对于
∑
d日

k个 = 0
( ^n个_k个 ) ,n个 ≥ 0
.
c（c） (d日, 0) = 1;c（c） (d日,d日 ) = (d日+1）模块2；c（c） (d日,k个 ) =c（c） (d日 − 1,k个 − 1) +c（c） (d日 − 1,k个 ), 0 <k个<d日.

∑

d日

k个 = 0

吨 (d日,k个 )

0

1

0

1

2

1

3

1

2

0

5

4

1

3

4

2

1

11

5

1

4

7

6

3

0

21

6

1

5

11

13

9

3

1

43

7

1

6

16

24

22

12

4

0

85

8

1

7

22

40

46

34

16

4

1

171

9

1

8

29

62

86

80

50

20

5

0

341

10

1

9

37

91

148

166

130

70

25

5

1

683

11

1

10

46

128

239

314

296

200

95

30

6

0

1365

12

1

11

56

174

367

553

610

496

295

125

36

6

1

2731

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二项式系数和的生成函数的分子多项式的系数的三角形行

这些行给出了有限序列的无限序列

{{1}, {1, 0}, {1, 1, 1}, {1, 2, 2, 0}, {1, 3, 4, 2, 1}, {1, 4, 7, 6, 3, 0}, {1, 5, 11, 13, 9, 3, 1}, {1, 6, 16, 24, 22, 12, 4, 0}, {1, 7, 22, 40, 46, 34, 16, 4, 1}, {1, 8, 29, 62, 86, 80, 50, 20, 5, 0}, ...}

其串联给出

A059259号按给出系数的行读取三角形

吨 (我, j个 )

属于

x个我年 j个

在里面

1 / (1 − x个 − x个年 − 年 2 ) = 1 / ((1 +年) (1 − x个 − 年))

对于

(我, j个 ) =

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), ...

{1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 4, 2, 1, 1, 4, 7, 6, 3, 0, 1, 5, 11, 13, 9, 3, 1, 1, 6, 16, 24, 22, 12, 4, 0, 1, 7, 22, 40, 46, 34, 16, 4, 1, 1, 8, 29, 62, 86, 80, 50, 20, 5, 0, 1, 9, 37, 91, 148, 166, 130, 70, 25, 5, 1, ...}

行总和为A001045号

(n个+ 1),n个 ≥ 0

.

{1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ...}

d日

∑

k个 = 0

(

n个

k个

) =

2 n个 +1−（−1） n个 +1

3

, d日≥ 0.

行交替符号和为A000012号

(n个),n个 ≥ 0

.

d日

∑

k个 = 0

(−1) k个 (

n个

k个

)==============================================================1, d日≥ 0.

二项式系数和生成函数的分子多项式的系数三角形列

k个= 0

:A000012号

(n个),n个 ≥ 1

使用

n个

削减。（因为你不能切分一个点，所以总是剩下一个点！）

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

k个= 1

:A000027号

(n个),n个 ≥ 1

切割字符串时形成的最大碎片数

n个

切割，即。

n个+ 1

件。

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, ...}

k个= 2

:A000124号

(n个),n个 ≥ 1

煎饼切片时形成的最大块数

n个

削减。

{2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, 562, 596, 631, 667, ...}

k个= 3

:A003600型通过切割环形面包（或百吉饼）获得的最大块数

n个

切割：

(n个 3+ 3 n个 2+ 8 n个) / 6,n个 ≥ 1

（面包圈和圆环都是实心的！）

{2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, 297, 376, 468, 574, 695, 832, 986, 1158, 1349, 1560, 1792, 2046, 2323, 2624, 2950, 3302, 3681, 4088, 4524, 4990, 5487, 6016, 6578, ...}

k个= 4

:A223718型

(n个),n个 ≥ 1

通过切片获得的最大工件数？

{3, 9, 22, 46, 86, 148, 239, 367, 541, ...}

k个=5

：A？？？？？？

(n个),n个 ≥ 1

通过切片获得的最大工件数？

{3, 12, 34, 80, 166, 314, 553, 920, ...}

另请参见

笔记

↑ 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,二项式系数，来自MathWorld-A Wolfram Web资源。。

外部链接

为什么阶乘没有明确的公式？-StackExchange：数学。

[BinomialCoefficient-1] 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,二项式系数，来自MathWorld-A Wolfram Web资源。。

[1]

二项式系数

目录

帕斯卡三角形和二项式系数

一代人k个之后n个人口翻倍

良好的二项式系数

异常二项式系数

二项式系数之和

二项式系数和的生成函数

二项式系数和生成函数的分子多项式系数的三角

二项式系数和的生成函数的分子多项式的系数的三角形行

二项式系数和生成函数的分子多项式的系数三角形列

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