中国剩余定理

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这个中国剩余定理(阴极射线管)是一个定理关于联立方程的解同余由孙子制定。Qín Ji de sháo在他的数书九章和斐波那契，在他的名著中珠算原理，有一节是关于定理的。今天，这个定理在数论和密码学.

定理。（孙子）鉴于${\显示样式\脚本样式n\，}$剩余物${\显示样式\脚本样式r_{1}，\，\ldot，\，r_{n}\，}$对于${\显示样式\脚本样式n\，}$ 互质模数${\displaystyle\scriptstyle m_{1}，\，\ldot，\，m_{n}，\n，}$有一个独特的解决方案${\显示样式\脚本样式0\，\leq\，x\，<\，\prod_{i=1}^{n} 米_{i} \，｝{n} 米_{i} \，｝$满足每个${\displaystyle\scriptstyle x\，\equiv\，r{i}{\pmod{m{i}}\，}$对于$｛\displaystyle\scriptstyle1\，\leq\，i\，\leq\，n\，｝$.

证明。就在此刻，让我们忘记除第一个同余之外的所有同余。对于${\displaystyle\scriptstyle x{1}\，\equiv\，r{1}{\pmod{m{1}}\，}$有一个微不足道的解决方案$｛\displaystyle\scriptstylex_｛1｝\，=\，r_｛1｝\，｝$.现在记住第二个同余，${\displaystyle\scriptstyle x{2}\，\equiv\，r{2}{\pmod{m{2}}\，}$，形成算术级数${\显示样式\脚本样式a \，=\，\_{2}-1)m{1}+x{1}\}\，}{2}-1)m{1}+x{1}\}\，}$.序列中的每个数字${\显示样式\脚本样式a\，}$满足第一个同余。序列由函数构成${\显示样式\脚本样式f（j）\，=\，jm{1}+x{1}\，}$已申请$｛\displaystyle\scriptstylej\，｝$从0到${\显示样式\脚本样式m_{2}-1\,}{2}-1\,}$，自$｛\displaystyle\scriptstylem_｛1｝\，｝$和${\显示样式\脚本样式m{2}\，}$是互质的，这意味着${\显示样式\脚本样式f（j）{\pmod{m{2}}\，}$在规定的范围内形成一个完整的剩余类模${\显示样式\脚本样式m{2}\，}$，也就是说${\displaystyle\scriptstylea{j}{\pmod{m{2}}}\，}$构成从0到0的数字的排列${\显示样式\脚本样式m_{2}-1\,}{2}-1\,}$.如果$｛\displaystyle\scriptstylem_｛1｝\，｝$和${\显示样式\脚本样式m{2}\，}$即使只有一个主要因素，${\显示样式\脚本样式a\，}$将包含至少两个0的实例，并且可能不是我们需要的数字。但由于它们是互质，我们有完整的剩余类，这意味着${\显示样式\脚本样式a\，}$正好有一个数字${\显示样式\脚本样式a{j}\，}$满足第一和第二一致性：设置${\显示样式\脚本样式x{2}\，}$到那个${\显示样式\脚本样式a{j}\，}$，我们不仅$｛\displaystyle\scriptstylex_｛2｝\，\equiv\，r_｛1｝｛\pmod｛m_｛1｝｝｝\，｝$和${\displaystyle\scriptstyle x{2}\，\equiv\，r{2}{\pmod{m{2}}\，}$而且${\displaystyle\scriptstyle x{2}\，\equiv\，a{j}{\pmod{m_{1} 米_{2}}}\,}{1} 米_{2}}}\,}$。对于${\显示样式\脚本样式m{3}\，}$我们可以重复这个过程，使用${\显示样式\脚本样式x{2}\，}$代替$｛\displaystyle\scriptstylex_｛1｝\，｝$和${\显示样式\脚本样式m{3}\，}$代替${\显示样式\脚本样式m{2}\，}$等等，直到找到${\显示样式\脚本样式x_{n}\，}$满足了每一个一致性${\显示样式\脚本样式r{i}{\pmod{m{i}}\，}$对于${\显示样式\脚本样式i\，}$从1到${\显示样式\脚本样式n\，}$正是这个数字${\显示样式\脚本样式x\，}$由定理指定。□

例如，给定余数1、3、5和模2、7、15，唯一解${\显示样式\脚本样式0\，\leq\，x\，<\，2\cdot 7\cdot 15\，}$是185：我们确实证实了${\displaystyle\scriptstyle 185\，\equiv\，1{\pmod{2}}\，}$,$｛\displaystyle\scriptstyle 185\，\equiv\，3｛\pmod｛7｝｝\，｝$和${\displaystyle\scriptstyle 185\，\equiv\，5{\pmod{15}}\，}$所有解决方案都是这样的${\显示样式\脚本样式185+k\，（2\cdot 7\cdot 15），\，k\，\in\，\mathbb{Z}\，}$.

无可否认，上述证明中描述的方法有些费力。求解同余系的一种更有效的方法是首先求模的乘积${\显示样式\脚本样式M\，=\，\prod_{i=1}^{n} 米_{i} \，｝{n} 米_{i} \，｝$，然后查找数字${\显示样式\脚本样式b_{i}\，}$这样的话${\displaystyle\scriptstyle b_{i}{\frac{M}{M_{i{}}\，\equiv\，1{\pmod{M_}}\$。解决方案是

${\显示样式x=\sum_{i=1}^{n} 第页_{i} b条_{i} {\压裂{M}{M_{i}}}\修改M.\，}{n} 第页_{i} b条_{i} {\压裂{M}{M_{i}}}\修改M.\，}$

这个${\displaystyle\scriptstyle\mod M\，}$在将各种${\显示样式\脚本样式r_{i} b条_{i} {\压裂{M}{M_{i}}\，}{i} b条_{i} {\压裂{M}{M_{i}}\，}$，或在每个加数之后迭代；不管怎样，这都会给出解决方案。

回到我们的例子${\显示样式\脚本样式x\，=\，185\，}$，我们发现模的乘积是210，并且${\显示样式\脚本样式b_{i}\，}$是1、4、14。则1×1×105=105，3×4×30=360，5×14×14=980。105+360+980=1445，即185 mod 210。

以前不熟悉这个定理的精明读者现在应该意识到${\显示样式\脚本样式x\，}$并不是同时同余系统的唯一可能解，只是最小的可能解（这里我们只关心非负整数). 还有无数其他形式的解${\显示样式\脚本样式yM+x\，}$，其中$｛\displaystyle\scriptstyle y\，\in\，\mathbb｛Z｝\，｝$（当然还有原件${\显示样式\脚本样式x\，}$对应于$｛\displaystyle\scriptstyle y\，=\，0\，｝$). 因此，1235、95525和197585是随机选择的上述示例问题的替代解决方案。

模是互质的重要性在于，如果它们不是互质，那么一些同余充其量可能是多余的，充其量是矛盾的。作为前者的一个例子，我们给出${\displaystyle\scriptstyle x\，\equiv\，3{\pmod{16}}\，}$和${\displaystyle\scriptstyle x\，\equiv\，3{\pmod{128}}\，}$（与较小模的同余可以省略，因为它将由一个满足与较大模同余的数字来满足），作为后者的一个例子，${\displaystyle\scriptstyle x\，\equiv\，3{\pmod{16}}\，}$和${\displaystyle\scriptstyle x\，\equiv\，4{\pmod{32}}\，}$（这两个同余不能同时满足）。

序列

A053664号给出最小的数字${\显示样式\脚本样式x\，}$这样的话$｛\displaystyle\scriptstyle x\，\equiv\，i｛\pmod｛p_｛i｝｝｝\，｝$对于$｛\displaystyle\scriptstyle1\，\leq\，i\，\leq\，n\，｝$，其中${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$是${\显示样式\脚本样式i\，}$第个质数。

{1, 5, 23, 53, 1523, 29243, 299513, 4383593, 188677703, 5765999453, 5765999453, 2211931390883, 165468170356703, 8075975022064163, 361310530977154973, ...}

A182433号给出最小的数字，以便下一个${\显示样式\脚本样式n\，}$每个整数都有第一个整数的平方${\显示样式\脚本样式n\，}$素数作为有序因子。该序列的项是通过应用中国剩余定理得到的。

{7, 547, 29347, 1308247, 652312447, 180110691547, 65335225716547, 38733853511213647, ... }