二进制数字系统

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世界上有10种人。那些知道二进制的人和那些不知道二进制的人。

这个二进制是一个位值表示法对于使用幂的数字2而不是10。它可以用来表示整数,有理数,实数、和复数这里我们主要讨论整数的二进制表示。

例如，201在二进制表示中是

2 7	2 6	2 5	2 4	2 三	2 2	2 1	2 0
128秒	64秒	32秒	16秒	8秒	4秒	2秒	1秒
1	1	0	0	1	0	0	1

A007088号非负整数

n个

写在基中2，即。

n个 2

.

{0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111, 11000, 11001, 11010, 11011, 11100, ...}

计算机如何使用二进制

因为有两个位(双无挖掘它的)0和1可以对应电子设备中的开和关二进制表示现在几乎所有的电子计算机都在使用。

在最原始的层面上，计算机被限制为8位字节，用于无符号整数，表示范围有限0到255当然，程序员的聪明让这些计算机可以处理更大的数字，但从CPU的角度来看，它仍然处理8位值。

如今，计算机可以使用16位、32位甚至64位字，后者允许无符号整数达到18446744073709551615。对于大多数实际用途来说，这可能是可以接受的，例如平衡支票簿，但对于某些人来说，这是不够的数论研究，如寻找大素数在这些应用程序中，理论上可表示的最大整数仅限于机器上的可用内存。

关于代表负数，最简单的解决方案是留出一点用作符号位（通常是字节或单词中最重要的位）0（乘以( − 1) 0= +1)对于积极和1（乘以( − 1) 1=  − 1)表示负值。因此 − 113在一个字节中应该是

符号位((−1) 符号位×⋯)	64秒	32秒	16秒	8秒	4秒	2秒	1秒
1	1	1	1	0	0	0	1

这样做的问题是，它允许在一个字节中使用两种零表示，00000000和10000000。目前计算机使用的解决此问题的最常见方法是二的补码表示，其中按位不是的绝对值然后添加1。在 − 113，我们会接受01110001，按位不是它是为了10001110，并添加1，给予

符号位(符号位× (−128) +⋯)	64秒	32秒	16秒	8秒	4秒	2秒	1秒
1	0	0	0	1	1	1	1

在这个系统下符号位表示阳性0（添加0)和负值1（添加 − 128). 当然，程序员应该确保不要混淆有符号值和无符号值。在上面的示例中，解释二的补码表示属于 − 113如无符号表示所示143一般来说，我们可以这么说 − 1对无符号数据类型的补码转换等于单词长度中最大的二进制重单位（梅森数），即255, 65535, 4294967295, 18446744073709551615以字节、字、双字和四字为单位（参见A051179号).

对于字节，任意数字的补码

n个

在里面

[ − 127.. − 1] ∪ [1..127]

给予

− n个

.的两个补码0给予0（唯一表示0（根据需要）。但是这两者的互补 − 128给予 − 128! 不幸的是，负数和正数的范围不对称，其中 − 128没有积极的对应物。无论出于何种原因，计算机科学家没有选择 − 128表示值<不确定和/或超出范围>可以用作除法的返回值0例如。也， − 127 −  1和127 + 1会给的<不确定和/或超出范围>而不是 − 128.和两个的补码<不确定和/或超出范围>本来会的<不确定和/或超出范围>，这是我们想要的。无论是否考虑过这一点，都没有选择这一选项。关于表示非整数值的浮点系统的讨论将超出本文的范围。然而，值得一提的是，在无理数，单词长度的有限性意味着在表示这些数字时不可避免地会丢失精度Bayley–Borwein–Plouffe公式对于位

π

也值得一提（参见A048581号更多信息）。

据我所知，没有任何计算机芯片，甚至数学协处理器支持复数处理复数的计算机程序通常使用两个单独的值：一个用于实部另一个用于虚部.

微处理器的指令集包括用于处理单个位的字节或单词。例如，Intel 8086系列有两条“逻辑”移位指令和两条“算术”移位指令，用于将位向右或向左移位，以及四条循环移位指令。

但是，请注意，汇编级的按位指令可能会产生与高级中国科学院例如数学软件例如，A035327号在中计算无符号字节具有程序集级别不是s将是{255, 254, 253, 252, ...}而不是更有趣的{1, 0, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, ...}.

底座2指数和对数

A000079号

2 n个,n个  ≥   0

.

{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, ...}

A000523号底座2的对数

n个

四舍五入(地板)，即。

⌊  日志2 n个 ⌋ ,n个  ≥   1

.

{0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...}

A004257号底座2的对数

n个

四舍五入到最接近的整数，即。

圆 （日志2 n个），n个  ≥   1

.

{0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...}

A029837号底座2的对数

n个

四舍五入(天花板)（二进制顺序属于

n个

)，即。

⌈ 日志2 n个⌉ ,n个  ≥   1

.

{0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...}

A070939号这个二进制长度数字的

n个

（二进制表示的位数

n个

)由

1 + ⌊  日志2 n个 ⌋ ,n个  ≥   1

.

{1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...}

二进制重量

A000120号这个二进制重量数字的

n个

是“1底部的“s位数2代表

n个,n个  ≥   0

.

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, ...}

A001969号具有偶数二进制权重的数字（有时称为错误的数字).

{0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, ...}

A000069号具有奇数二进制权重的数字（有时称为讨厌的数字).

{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, ...}

前两个序列与对数字的任何道德或宗教态度无关，而是明显的（尽管很弱……）双关语（“邪恶”）⟺ “平”和“可恶”⟺ “奇数”）(66610= 10100110102例如，在这个意义上是“可恶的”而不是“邪恶的”，因为它的二进制权重是5).

梅森素数与完全数

在二进制表示中梅森素数（请参见A000668号)，形式的素数

2  第页 −  1

，是重定素数（请参见A117293号基底梅森素数2)（具有质数二进制权重

第页

因此，长度，作为必要但不充分的条件）；因此，它们的二进制重量等于它们的长度和天花板他们的基地2对数。因为唯一的偶素是第一素2，唯一的“邪恶”梅森素数是第一个，即。三10= 112所有以下梅森素数都是“可恶的”这个偶数完美数（请参见A000396号)通过附加

第页 −  1

“0“s数字到

第页

“1长度梅森素数的s位数

第页

在基地2（请参见A135650型用基数写的偶数完美数2).欧几里得发现前四个完全数6, 28, 496, 8128由公式生成

(2  第页 −  1) 2  第页  − 1

具有

第页= 2, 3, 5, 7,

分别是。直到18岁第个那个世纪利昂哈德·尤勒证明了公式

(2  第页 −  1) 2  第页  − 1

将产生所有偶数完美数。因为唯一的偶数素数是第一素数2，唯一的“邪恶”甚至完美的数字是第一个数字，即。610= 1102。以下所有偶数完全数都是“令人讨厌的”

另请参阅

• 二进制数字系统

• 二进制数字(位)

• 三元数字系统

• 三位数(氚)

• 平衡三元数字系统

• 平衡三位数(平衡氚)

标准位置数字系统

底座	拉丁语（-元） （红雀队）	拉丁语（等） （序号）	希腊人（-al）	希腊人（-adic）	用法
1	一元,主要	Primal公司		一元（Monadic）,Henadic公司
2	二元的,次要	二重的		迪亚迪语
三	三元,第三级	特里亚尔		三位一体的
4	第四纪	石英		四元的
5	五元	昆塔尔	Pental公司	五元的
6	老年人	Sextal公司	Hexal公司	六边形
7	九月	Septimal公司	Heptal公司	庚二酸
8	十月	章鱼	八角形	八进制
9	一元,Novary公司	诺纳尔,诺瓦尔		Enneadic公司
10	拒绝	十进制的	十进制的	十进制的
11	未结婚,非现代的	不同寻常,不规范	Henadecimal公司	亨德卡迪奇
12	十二月,几十个	十二进制,几十个	Dyadecimal公司	迪亚德卡迪奇
13	Tredenary公司,三元组	Tredecimal公司,三角体	三进制	十三世纪的
14	四元数,四元	四象限,四元十进制	四位小数	十四世纪的
15	五年一次	五进制	五角大楼	五角大楼
16	塞迪纳里,十六进制	十进制,十六进制	十六进制	十六进制
17	九月	Septendecimal公司	庚二酸	十七烷的
18	十进制	八度音阶	十八进制	八层卡迪奇
19	非腺体	非专业,Novodecimal公司	十进制	二十世纪的
20	维吉尼	维吉西马尔		草甘膦
24		四进制		四联征的
26		Sexavigesimal公司		六方施虐狂
27		九月末		庚二酸的
30	三周年纪念	三角形		三角洲的
32		十二指肠的		患有心脏病的
36		六边形的		六边形的
40	四个机构	Quadragesimal公司	四角动物	四联体的
50	五周年纪念	喹卡西姆	Pentagesimal公司	五足类动物
60	六岁的	六角动物	六角动物	六边形的
64	四联生殖	四氢吗啡	四镇痛药	四六烷	Base64编码
70	九月	Septuagesimal公司	七倍体	七齿类
80	八十多岁的	十进制	八分之一	八齿类
90	非机构	非老年人	Enneagesimal（尼尼格西姆语）	Enneacontadic公司
100	一百周年纪念	百分位数,十进制	中央动物	赫卡通达的
200	公爵纪念日,二百周年	杜根特西姆,Bicenimal公司	相邻十进制,Dyacentimal公司	动力学的
300	三分之一,三百周年	Tregentesimal公司,Tercentimal公司	百分之三十,三分之一	三合一的
400	四边形,四分之一	四次十进制,四分之一	百分之四,四分之一	四分体的
500	五年,五百周年纪念	喹根替西姆,五分之一	五分十进制,五亚辛噻吗	五角体的
600	七年纪念,六十周年纪念	六角虫,十六进制	百分之六,六摄氏度	六边形的
700	九月,九月一百周年	小隔膜,败血症	七周年纪念日,七烯丙基	七碳六烯酸
800	八角形,10世纪	八进制,八世纪	八分位小数,八邻苯二甲醛	八碳六烯酸
900	非通用,非邻区	非独生子女,诺凡蒂玛	百分之二十,Enneacentimal公司	Enneahecatotadic的
1000	千禧年	千分之一		奇利亚迪奇
10000				百万

外部链接

• 以2为基数的前1000个计数 ^[死链接]