渐近式表示法

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渐近式表示法用于描述当自变量倾向于某个特定值（通常是无穷大）时函数的极限行为，通常用更简单的函数来表示。在计算复杂性理论,大O标记法用于根据算法对输入大小变化的响应方式（例如，在处理时间或工作空间要求方面）对算法进行分类。

渐近等价

$显示样式a（n）\simf（n）：lim_{n\to\infty}{frac{a（n$

${在o（f（n））中显示样式a（n）\sim f（n$

评论

• 后者可能更适合作为定义，因为当f有无穷多个零时，前者定义不明确。
• 在f-g=o（h）如中所示f=g+o（h）.
• 纯粹主义者会说（n）不应出现在上面（lim（…）表达式中除外），除非添加“as$｛\displaystyle n \ to \ infty｝显示样式n \ to \ infty｝$”。
• 对于在IN={0，1，2，…}上定义的函数，Frechet过滤器是可以理解的(即，限制为无穷大），但对于函数f（x）存在歧义，过滤器的基础（或限制点）应该精确。

巴赫曼-朗道表示法

朗道符号,巴赫曼–朗道符号（以埃德蒙·兰道（Edmund Landau）和保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）命名），或渐近记数法。

小o符号最初代表小omicron符号 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{o}（f（n））\，}$和大O标记法最初代表大奥密克戎符号 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{O}（f（n））.\，}$

小o符号

$显示样式o（f（n））：$

备注

一个更好但更复杂的定义是：

${\显示样式a \ in o（f）\ iff \ for all \ epsilon>0:|a|\leq\epsilon\cdot|f|}$在…附近${\显示样式\infty}$

无穷大的邻域可以作为集合${\显示样式[x_{0}，\infty）}$.

或者，如果${\显示样式{\mathcal{F}}_{0}}$表示极限等于零的函数，可以表示为${\显示样式a\ in o（f）\iff\ exists\epsilon\ in{\mathcal{f}}_{0}:|a|\leq\epsilon\cdot|f|，}$在无穷大的某个邻域中（注意以下情况（f）在以下位置为零一不是）。

大O符号

${\显示样式O（f（n））：\存在\，c_{0}，\，n_{0{~{\rm{s.t.}}~|a（n）|\，\leq\，c_{0}页（n） ，\，\对于所有n \，\geq \，n_{0}.\，}{0}页（n） ，\，\对于所有n \，\geq \，n_{0}.\，}$

θ表示法

${\显示样式\Theta（f（n））：存在_{0}页（n） \，\leq\，|a（n）|\，\leq\，c_{1} （f）（n） ，\，\对于所有n \，\geq \，n_{0}.\，}{0}页（n） \，\leq\，|a（n）|\，\leq\，c_{1} （f）（n） ，\，\对于所有n \，\geq \，n_{0}.\，}$

${\显示样式\Theta（f（n））\，=\，O（f（n））\$.

大欧米茄符号

${\显示样式\Omega（f（n））：\存在\，c_{0}，\，n_{0{~{\rm{s.t.}}~|a（n）|\，\geq\，c_{0}页（n） ，\，\对于所有n \，\geq \，n_{0}.\，}{0}页（n） ，\，\对于所有n \，\geq \，n_{0}.\，}$

小欧米茄符号

$显示样式ω（f（n））：$

平等

上述符号通常使用等式书写，而不是集合包含：

$显示样式a（n）=O（n^{3}）。\，}$

这应该被解释为在虚拟变量上进行量化：

${显示样式存在于O（n^{3}）中：\a（n）=f（n）。\，}$

同样，

$显示样式a（n）=2^{n+o（1）}\，}$

被解释为

${显示样式存在于o（1）中：a（n）=2^{n+f（n）}.\，}$

替代符号

符号${\显示样式\ll}$和${\显示样式\gg}$由I.M.Vinogradov介绍。

${\显示样式a（n）\prec f（n）\当f（n$

$｛\displaystyle a（n）\ll f（n）\ iff a（n）\ in O（f（n））\，｝$

${\显示样式a（n）\ asymp f（n）\iff a（n$

${\显示样式a（n）\gg f（n）\如果a（n$

${显示样式a（n）\suck f（n）\iff a（n$

另请参见

• 序列的增长

外部链接

• 穆罕默德·萨拉瓦蒂普尔，第五讲：函数的增长，CMPUT 204:算法I，阿尔伯塔大学计算科学系。