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阶乘

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这个阶乘A的非负整数
N
被定义为所有的产品正整数高达
N
并被称为
N
. 例如,7!=1×2×3×4×5×6×7=5040. 阶乘定义为空产品. 阶乘到来之前求幂按顺序算符优先.
A000 0142阶乘数
NNα~(0)
.
{ 1, 1, 2、6, 24, 120、720, 5040, 40320、362880, 3628800, 39916800、479001600, 6227020800, 87178291200、1307674368000, 20922789888000, 355687428096000、6402373705728000、…}

阶乘数是给定的最小整数。素数签名. 例如。,720=24α32α51是具有整数签名的最小整数{ 4, 2, 1 }.

Conjecturally
T=1=1!T=6=3!T十五=120=5!
是唯一的数字三角形阶乘。

阶乘的应用

阶乘在数学的许多分支中有应用。(综述:关于阶乘的应用γ〔1〕

关于矩阵

  • N>0,N
    是多少?
    N阿尔法N
    (0, 1)-每个行和列包含正好等于一个条目的矩阵。.
  • N
    是永恒的
    N阿尔法N
    矩阵
    αIJ= 1
    .
  • N
    也是一个决定因素
    N阿尔法N
    方阵
    N
    其系数是β函数的倒数:
    {IJ}=1μ/μβ()IJN=)N

关于

  • N
    也是完全图中最优广播方案的个数。
    KγN
    ,相当于嵌入二叉树的数量。
    KγN
    .〔2〕
  • SN
    表示
    N
    -星图。这个
    SN
    结构由
    N
    SNα-ε1
    结构。这个序列给出了两个指定的顶点之间的边数。
    SN+ 1
    结构在
    SN+ 2
    N> 0
  • 太阳图的色不变式
    SNα-ε2
    .

关于

  • 幂集中最大长度的链数
    { 1, 2,…N}
    由子集关系排序。
  • N
    也是阶递减全变换的数目(a
    N
    链)。
  • N(1)!
    也是幂零阶递减全变换的数目(a
    N
    链)。

关于排列

  • 循环排列属于
    N
    不同的字母是
    NNα~(0)
    .
  • 考虑一下
    N
    整数序列的置换
    [N= 1, 2,…N
    . 这个
    I
    第四置换由n圈(i)置换循环组成。然后,我们有
    西米
    N

    Iα=1
    n-循环I=(N+ 1)!
    . 例如,用于
    N= 3
    我们有n圈(1)=3,n圈(2)=2,n圈(3)=1,n圈(4)=2,nCyv(5)=1,nCyv(6)=2。
    N+ 1)!
    .
  • 元素排列数
    1, 2,…N+ 1
    具有一个长度为一个周期的固定元素
    R
    不依赖于
    R
    平等
    N
    .
  • N
    是所有排列中的不动点的数目
    1,…N
    在所有
    N
    排列,首先是准确的
    N(1)!
    时代,第二完全
    N(1)!
    时间等
    N(1)!N=N
    .

关于隔板

  • N
    是多少?分区表尺寸的
    N
    . (参见Steingrimsson /威廉姆斯链接的定义)。
  • N
    是多少?集合划分属于
    { 1, 2,…,2Nα1, 2N}
    成块大小(完美匹配),其中每个块由一个偶数和一个奇数组成。例如,三!= 6计数
{{{ }},{ 34 },{ 56 },{{ }},{ 36 },{ 45 }},{{14 },{23 },{56 }},{{14 },{25 },{ 36 },{{ }},{}},{}},{{}},{}},{}}}}.
  • A的不同子集(子包)的数目多集分包
    T()N(1)
    元素与元素元素
    Nα1
    元素
    X
    (例如,AT
    N= 5
    我们考虑了不同的子集(子包)。[a,b,b,c,c,c,d,d,d,d]=(1,B:2,C:3,D:4)还有5!= 120
  • 鉴于
    N
    不同大小的对象(例如,区域、卷),使得每个对象足够大,同时包含所有先前的对象,然后
    N
    是所有使用的本质上不同安排的总数
    N
    目标在安排内允许任意级别的对象嵌套。(这个序列的应用灵感来自于考虑剩余的移动盒子)。如果限制存在,每个对象能够或允许每次最多包含一个较小的(但可能是嵌套的)对象,则产生的序列开始。
    { 1, 2, 5,15, 52,…}
    贝尔数?)这里有套嵌套的木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃。
  • N
    N
    连续的有限差分
    N
    第三国。例如
    N= 3
    〔0, 1, 8,27, 64,…〕〔1, 7, 19,37,…〕[〔6, 12, 18,…〕〕〔6, 6,…〕.
  • 写数字
    N
    在一个圆上。然后
    N
    =所有乘积的和
    Nα2
    相邻的数字。例如。,
    (5)
    =1、2、3、2、2、3、4、3、4、4、5、4、4、5、4、5、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、5、….
  • 考虑多组(袋)
    =〔1, 2, 2、3, 3, 3、4, 4, 4、4、…〕=
    1:1, 2:2,…NN]
    形成集合
    U
    (何处)
    U
    所有子集(子包)都是严格意义上的集合)
    N
    属于
    . 然后元素的个数
    γU第二章
    属于
    U
    等于
    N+ 1)!
    . 例如
    =〔1, 2, 2〕我们得到
    U
    ={[],〔2〕,〔2, 2〕,〔1〕,〔1, 2〕,〔1, 2, 2〕}
    γU第二章
    =三!= 6.
  • 增色1-2选择两种颜色的树,用于非叶最右边的枝条。
  • 项链数
    N
    标记珠颜色

公式

在哪里?
X()N
XN
分别是升阶乘以及下降阶乘.
在哪里?
TN
N
三角数
N
双阶乘何处0!我们得到了空产品 .

阶乘的下列定积分(Euler积分形式)

导致泛化
()Z>0

这就是所谓的Γ函数.

Z=N
非负整数我们就这样拥有了

由于某种不幸的符号而导致的结果勒让德.〔3〕

复发

N=(N〔1〕N1)!+(N2)!]N2以上。

请注意亚阶乘的有类似的复发

N=(N1)N“1”++!N(2)];N2以上。
所以,为了
Nα~(2),
N
N1)!+(N2)!
=N1 =
N
N“1”++!N(2)
.

生成函数

指数母函数

这个指数母函数属于
N

渐近性态

Nγ
γα2πN
γ
N
e
γγγN.

逼近N

逼近
N

[··]
最近整数函数

N
N
斯特灵近似
(最近整数)

γα2πN
γ
N
e
γγγN


γα2πN
γ
N
e
γγγN
γ-N
高斯近似
(最近整数)

γ
γ(2)N+
απ
γ
N
e
γγγN


γ
γ(2)N+
απ
γ
N
e
γγγN
γ-N
A000 0142 A000 539 A090583A

- 1







二十四 二十四
二十四
一百二十 一百一十八
- 2
一百二十
七百二十 七百一十
- 10
七百二十
五千零四十 四千九百八十
- 60
五千零三十九
- 1
四万零三百二十 三万九千九百零二
- 418
四万零三百一十六
- 4
三十六万二千八百八十 三十五万九千五百三十七
- 3343
三十六万二千八百五十一
- 29
三百六十二万八千八百 三百五十九万八千六百九十六
- 30104
三百六十二万八千五百六十一
- 239
十一 三千九百九十一万六千八百 三千九百六十一万五千六百二十五
- 301175
三千九百九十一万四千六百一十五
- 2185
十二 四亿七千九百万一千六百 四亿七千五百六十八万七千四百八十六
- 3314114
四亿七千八百九十七万九千四百八十一
- 22119
十三 六十二亿二千七百零二万零八百 六十一亿八千七百二十三万九千四百七十五
- 39781325
六十二亿二千六百七十七万四千九百五十四
- 245846
十四 八百七十一亿七千八百二十九万一千二百 八百六十六亿六千一百万一千七百四十一
- 517289459
八百七十一亿七千五百三十一万四千八百七十二
- 2976328
十五 一兆三千零七十六亿七千四百三十六万八千 一兆三千零四亿三千零七十二万二千一百九十九
- 7243645801
一兆三千零七十六亿三千五百三十七万九千六百七十
- 38988330
十六 二十兆九千二百二十七亿八千九百八十八万八千 二十兆八千一百四十一亿一千四百四十一万五千二百二十三
二十兆九千二百二十二亿四千零四十一万二千五百
十七 三百五十五兆六千八百七十四亿二千八百零九万六千 三百五十三兆九千四百八十三亿二千八百六十六万六千一百零一
三百五十五兆六千七百九十一亿三千七百六十六万零八百二十六
十八 六千四百零二兆三千七百三十七亿零五百七十二万八千 六千三百七十二兆八千零四十六亿二千六百一十九万四千三百零九
六千四百零二兆二千四百零三亿七千零二万一千一百九十九
十九 十二万一千六百四十五兆一千零四亿零八百八十三万二千 十二万一千一百一十二兆七千八百六十五亿九千二百二十九万三千九百六十三
十二万一千六百四十二兆八千二百三十二亿零一百六十四万九千零五十八
二十 二十四万三千二百九十兆二千零八亿一千七百六十六万四千 二十四万二千二百七十八兆六千八百四十六亿七千六百一十一万三千三百三十九
二十四万三千二百八十六兆零八百四十七亿九千九百六十一万二千二百四十三
二十一 5109094217170944万
510901571927 427 29 183
二十二 112400 0727 7760768万
11239 849 7735953018068
二十三 2585 20167 38 88 497 664万
2585 16848 9837 66 95 51923
二十四 6204840173269433636万
62044 108050968 28097013862
二十五 1551 12100433 30985 98400万
1551 10412159369445 79902092
二十六 40329 146112660563558400万
40328 7399 526697 316252516250
二十七 1088 869450418352160768亿
1088 867 67 68 4877 716985 280538 8
二十八 3048 88 34 461171386050150 400万
3048 85693246011383041733 210739
二十九 184176937 39 7019545 4361600万
1841690269588267375 1764 2605696
三十 2652585981219105836363084.000
265250847 9369626838 48 1886897160

斯特灵近似N

斯特灵近似
N
Nγ
γα2πN
γ
N
e
γγγN, N0以上。
A00 5395斯特灵近似的首要术语
N
γα2πN
Nα/γeγNNα~(0),
四舍五入
{ 0, 1, 2、6, 24, 119、711, 4981, 39903、359537, 3598696, 39615626、475687488, 6187239487, 86661001990、1300430725000, 20814114480000, 353948329800000、6372804643000000, 121112787000000000、…}
A000 539斯特灵近似的首要术语
N
γα2πN
Nα/γeγNNα~(0),
舍入到最近的整数。
{ 0, 1, 2、6, 24, 118、710, 4980, 39902、359537, 3598696, 39615625、475687486, 6187239475, 86661001741、1300430722199, 20814114415223, 353948328666101、6372804626194309, 121112786592293963, 242278684676113339、…}
A000 539斯特灵近似的首要术语
N
γα2πN
Nα/γeγNNα~(0),
四舍五入
{ 0, 0, 1、5, 23, 118、710, 4980, 39902、359536, 3598695, 39615625、475687487, 6187239487, 86661001990、1300430725000, 20814114480000, 353948329800000、6372804643000000, 121112787000000000、…}

高斯近似N

R.W. Gosper近似
N
Nγ
γ(2)N+
απ
γ
N
e
γγγN, N0以上。
A090583A高斯近似
N
γγ(2)N1±3)π
Nα/γeγNNα~(0),
舍入到最近的整数。
{ 1, 1, 2、6, 24, 120、720, 5039, 40316、362851, 3628561, 39914615、478979481, 6226774954, 87175314872、1307635379670, 20922240412500, 355679137660826、6402240370021199, 121642823201649058, 243286084799612243、…}

还有其他的近似,参见彼得卢斯尼阶乘函数的逼近公式N

倒数之和N

γ
无穷大
西米
γ
Nγ=0
γ
N
=e
γ
无穷大
西米
γ
Nγ=0
γ
(1)γN
N
=
e
在哪里?
e
是自然对数的基础。麦克劳林展开式属于
eγX
评价
X= 1
X=α1
γ
无穷大
西米
γ
Nγ=0
γ
XγN
N
=eγX.

素因子N

这个素因子数(多重性)属于
N
是由消减ω函数
ΩN!)=
γ
N
西米
γ
Iα=1
γ
ΩI
这个素素数的个数属于
N
是由素数计数函数
πN
ω()N!)=ω(RAD)N!)=ω()Nπ~(π)N
在哪里?
拉德N!)
部首属于
N
,即无平方核
平方英尺N!)
. The素数因子之和(多重性)(整数日志)
N
SOPFRγN!)=?
这个素数因子的和属于
N
是素数因子的和。素数阶乘属于
N
索普夫N!)= SOPF()N=)
γ
πN
西米
γ
Iα=1
γ
I
在哪里?
πN
素数计数函数
I
I
-TH首要的. 这个素数因子乘积部首或无平方核)
N
素数阶乘属于
N
拉德N!)=平方英尺N!)=N* =
γ
πN
γ
γ
Iα=1
γ
I
在哪里?
πN
素数计数函数
I
I
-TH首要的.

除数N

除数
N
(…)(详述:除数Nγ〔4〕

基地表示N

拖尾零点数N

尾随零点(基地)
N
(最高权力)划分
N
和最高的权力划分
N
)是由
质数的指数
素因子分解属于
N
是由勒让德公式

阶乘幂

根据上下文阶乘幂
XN
,由狮子座也可以代表升阶乘下降阶乘如下所定义。

下降阶乘

这个下降阶乘(以…为代表)
XN
实数
X
N
作为一个非负整数定义为
何处
N= 0
我们得到了空产品给予.

上升阶乘

这个升阶乘(以…为代表)
X()N
实数
X
N
作为一个非负整数定义为
何处
N= 0
我们得到了空产品给予.

序列

A027 868尾随零点数(在基部)
N
(最高权力)划分
N
和最高的权力划分
N
{ 0, 0, 0,0, 0, 1,1, 1, 1,1, 2, 2,2, 2, 2,3, 3, 3,3, 3, 4,4, 4, 4,4, 6, 6,6, 6, 6,7, 7, 7,7, 7, 8,7, 7, 8,y,y,y,y,y,y,y,y,…}
A000 4154省略尾随零点(在基础中))从阶乘数,即
N
γααN,5)
Nα~(0)
.
{ 1, 1, 2、6, 24, 12、72, 504, 4032、36288, 36288, 399168、4790016, 62270208, 871782912、1307674368, 20922789888, 355687428096、6402373705728, 121645100408832, 243290200817664、…}

也见

算符优先

公式算符优先

括号化阶乘-求幂-乘法分开-加法减法


笔记

  1. γ 审查内容关于阶乘的应用
  2. γ (参见Calin D MulSon,信息处理字母,100(2006),188 - 193)。
  3. γ 人们宁愿把伽玛函数定义为
    γZ=
    γ
    无穷大
    γTγZ eγ射线T DγT
    以便得到
    γN=N
    但由于历史原因,我们反而有
    γZ=
    γ
    无穷大
    γTγZα1 eγ射线T DγT
    哪个引起
    γN(=)N(1)!
    .
  4. γ 需要详述(除数)N

外部链接