用户：Peter Luschny/Orbitals

O R B I T A L S公司

介绍

平面轨道系统是在一个被分割的平面上的一系列同心圆划分为n个扇区。轨道是由这些轨道上的弧组成的闭合路径在扇区的每个边界上，路径都会跳到下一个扇区内圈或外圈。允许一个例外：如果n是奇数，则路径可能在同一个圆圈上继续，但只有一次（Geschlossenheitsbedinging）.

将一个圆固定为中心圆后，有三种类型轨道：永远不会低于中心圆的高轨道，低轨道永不超过中心圆的轨道和摆动轨道这既不是高轨道也不是低轨道。

图1：5个扇区的轨道

上图显示了5个扇区上的所有轨道。（本页底部显示了6个扇区的情况。所有的情节都来自参考文献中作者的论文。）.

实际上，每个轨道系统都显示了两个轨道：一个是用绿色画的，另一个是双色，橙色。在图中，如果轨道为高轨道，低轨道则为暗轨道。浅灰色表示振动既不是高轨道也不是低轨道的轨道。高轨道数与低轨道数相同。

为什么考虑轨道？

我会尽力给自己一些动力。

加泰罗尼亚数字与偶数对象不可分割。它们包括：

• 长度字符串的平衡括号2个.
• Dyck长度路径2个在水平轴上结束。
• 凸面顶点的非相交弦2个-贡。

对2n的承诺似乎对奇数不公平。已经是莱布尼茨了宣称是奇数取悦了上帝。

那么让我们来问一个问题：可以建议什么组合模型在加泰罗尼亚模型中，它适用于所有n，而在偶数n的情况下会减少？

轨道提供了这样一个模型。

支持这个特定模型的第一个论点来自于一个简单的轨道系统统计。设T（n，k）为轨道数在n个扇区上，在中心圆上上升到最大高度k。然后T（n，0），即永远不会高于中心圆的轨道数是1、1、1，3、2、10、5、35、14、126。。。因为即使是n，他们也确实是加泰罗尼亚人数字1、1、2、5、14。。。查一下OEIS条目，我们发现这些也是“n个点上最小的无交叉匹配数”在平面上“很好地延伸了欧拉的“Betrachtungen，auf wie vielerley Arten ein gegebenes polygonum durch公司Diagonalinien in triangula zerschnitten werden könne”（1751年）。

当然，这种组合考虑也必须得到分析性的。我最喜欢这种类型的扩展加泰罗尼亚数的Penson和Sixdeniers积分表示从偶发案件

$显示样式C_{2n}$

通过将权重函数倒置到奇数情况

${\显示样式C_{2n+1}\=\{\ frac{1}{2\pi}}{\int_{0}^{4}}x^{n}{\frac{x^{1/2}}{\左（4-x\右）^{1/2]}}dx\.}$

有关这方面的更多信息，请参阅我2011年5月的博客文章丢失的加泰罗尼亚数字..

有几种有趣的轨道编码方法例如有理数，但这是我们这里不讨论的主题。需要注意的是二进制01序列（适用于加泰罗尼亚语单词）或+-电荷序列（它们是适用于投票顺序）不适当的对轨道进行编码。轨道的编码需要三个符号，{-1，0，1}或{-，*，+}作为编码基。在TeX环境中${\displaystyle\scriptstyle\{{\hat{1}}，\，0，\，1\}}$是方便的符号。

- - * + +    - - + * +    - * - + +    - - + + *    * - - + +-*+-+-+-*+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+*- * + + -    + - - * +    - + + - *    * - + + -    + - * - +- + * + -    * + - - +    + - - + *    - + + * -    + * - - ++ - + - *    + - * + -    * + - + -    + - + * -    + * - + -* + + - -    + + - - *    + * + - -    + + - * -    + + * - -图1-5个扇区的轨道- - - + + +      - - + - + +     - - + + - +     - + - - + +- - + + + -      + - - - + +     - + - + - +     - + - + + -- + + - - +      + - - + - +     - + + - + -     + - - + + -+ - + - - +      + - + - + -     - + + + - -     + + - - - ++ - + + - -      + + - - + -     + + - + - -     + + + - - -图2-6个扇区的轨道

使用SageMath单位轨道，n扇区上的轨道可以由下面的函数。

定义轨道（n）：sym_range=[i代表范围内的i（-n+1，n，2）]对于组合（sym_range，n）中的c：P=排列（[sgn（v）for v in c]）对于p中的p：产量p

轨道的加泰罗尼亚分解

每个轨道ω都可以分解成轨道列表[α，β，…，γ]交替完全高于或在主圆圈下方（弱意义上的“上方”和“下方”），以及ω=α+β+…+γ.这里的“+”表示明显的串联操作两个轨道$｛\displaystyle\omega\ in｛\mathcal｛P｝｝_｛n｝｝$和${\mathcal{P}}_{k}}中的{\displaystyle\gamma$通向轨道${\displaystyle\omega+\gamma\in{\mathcal{P}}_{n+k}}$.为了使分解唯一，我们按照约定设置如果为“0”在两个轨道的边界上，它被分配给第一个轨道。

例如${\displaystyle{\hat{1}}11{\hat{1}{1{\hat1}}={\hat\1}}1+1{\hat_1}}1{\hat-1}}$和${\displaystyle{\hat{1}}1{\hat{1}{101{\hat1}}{\hat\1}}}1={\hat_1}}1{\hat-1}}10+1{\hat.1}}+{\hath{1}}1.}$

有多少轨道$显示样式{\mathcal{P}}_{n}}$进行加泰罗尼亚式分解用k个部件？统计开始：

[n][k=0,1,2，…][行总和][ 0] [1] 1[ 1] [0, 1] 1[ 2] [0, 2] 2[ 3] [0, 6] 6[ 4] [0, 4, 2] 6[ 5] [0, 20, 10] 30[6][0，10，8，2]20[ 7] [0, 70, 56, 14] 140[ 8] [0, 28, 28, 12, 2] 70[ 9] [0, 252, 252, 108, 18] 630[10] [0, 84, 96, 54, 16, 2] 252[11] [0, 924, 1056, 594, 176, 22] 2772[12] [0, 264, 330, 220, 88, 20, 2] 924[13] [0, 3432, 4290, 2860, 1144, 260, 26] 12012[14] [0, 858, 1144, 858, 416, 130, 24, 2] 3432

例如，T（2n，n）=2统计加泰罗尼亚分解

[-1, 1]+[1, -1]+[-1, 1]+...+[（-1）^n，（-1）^（n+1）]和
[1, -1]+[-1, 1]+[1, -1]+...+[（-1）^（n+1），（-1）*n]。

有一些有趣的事情需要观察：主对角线由基本细胞自动机“规则59”，T（n，⌊n/2⌋）=A266722型（n） 对于n>1。振荡轨道的数目A232500型（n） =个≀-T（n，1）和对于奇数n>1，T（n，1）=Sum_{k>=0｝T（n+1，k）。这里n≀表示摆动阶乘A056040型.统计数据现在已经出来了A275325型.

如果我们同时更换${\显示样式{\hat{1}}\rightleftarrows 1}$在轨道ω中，我们称之为所得轨道这个的补语ω，用ω’表示。例如${\displaystyle（{\hat{1}}011{\hat1}}）'=10{\hat{1}{\hap{1}1}$.

除T（0,0）和T（1,1）外，所有T（n，k）均为偶数有轨道的也有其补码的分解有k个部分。为了从这个效果中抽象出来，我们还输入了统计S（n，k）=T（n，k）/2英寸A275326型事实证明A128899型是一个此三角形的次三角形（偶数行）。另请参见变体A039598号与Chebychev U多项式的关系。

Q类似物

本节中出现了一个标准统计数据，即主要指数作为摆动阶乘的q模拟，扩展的加泰罗尼亚数以及振荡轨道。

这个轨道的主要指数是以下位置的总和紧接着是一个值较小的步骤。摆动阶乘的主要指标与q模拟一致摆动因子；扩展的加泰罗尼亚数字也是如此和振荡轨道。

但什么是q-analogs？我引用彼得·韦伯的有限群表示理论课程.

“在组合数学中，一个活跃的主题是获得枚举结果的‘q-类似物’，以q项系数代替二项式系数（计算集合的子集）为例系数（计算F_q上向量空间的子空间）。结构由对称群置换的结构被作用于一般线性群，从而给出正特征的表示。"

有这样的观点很好；幸运的是，我们不需要理解它完全定义了我们的序列。下表汇编了OEIS中的一些重要q模拟。

A000142号阶乘的	A274887型q系数
A007318号二项式	A275216号q-非临床
A000984号中心二项式	A063746号q中心二项式
A056040型摆动因子	A274888号q-摆动阶乘
A212303型二进制文件1	A274885型q-肿瘤1
A000108号加泰罗尼亚语	A129175号q-目录
A057977号扩展加泰罗尼亚语	74886元q扩展加泰罗尼亚语
A232500型振荡轨道	A275332型q振荡轨道
A001263号那罗延	A275215型q纳拉亚纳

SageMath实现

首先让我们看看轨道的主要指数，q-Catalan数，q-extended_ Catalan数和振荡轨道可以计数。上面已经定义了函数unit_orbitals。

定义轨道_主要_索引_类型（n，类型）：S=[0]*（（（n+1）//2）^2+（（n/1）%2））对于过滤器中的u（类型，unit_orbitals（n））：如果u[i+1]<u[i]，则L=[i+1；否则在（0..n-2）]中i为0S[总和（L）]+=1当len（S）>1且S[-1]==0时：del S[-1]返回S

类型定义为

定义is_orbital（u）：返回true定义is_catalan（u）：返回is_even（len（u））和all（x≤0表示累加（u）中的x）def is_ext_catalan（u）：返回全部（x≤0，表示累加（u）中的x）def is_oscillating（u）：返回任意值（对于累加（u）中的x，x>0）和任意（对于累加（u）中的x，x<0）

我们看到q-Catalan和q-extended加泰罗尼亚数字之间的唯一区别在这种情况下，讣告长度均匀的要求被取消了吗扩展的加泰罗尼亚数字。

例如，为了计算扩展加泰罗尼亚数字的主要指数，我们可以写入：

对于（0..8）中的n：打印orbitals_major_index_by_type（n，is_ext_catalan）

当然，这种计算轨道的方法只是低级方法。现在让我们将函数建立在基本的q模拟上，如q-多项式（也称为高斯系数或高斯多项式）。例如，可以计算加泰罗尼亚数字的q模拟作为q-非负（2*n，n）/q-非正（n+1，1）。

从sage.combinat.q_analogues导入q_binomialdef qCatalan（n）：return（q_binomial（2*n，n）//q_binomial（n+1，1））.list（）对于（0..8）中的n：打印qCatalan（n）#打印orbitals_major_index_by_type（2*n，is_catalan）#进行比较

扩展加泰罗尼亚数的q模拟是q-binom1（n）/q-binomial（n+1，1）其中q_binom1（n）起中心二项式的作用标准情况下为q_非临床（2*n，n）。

从sage.combinat.q_analogues导入q_binomialdef qExtendedCatalan（n）：返回（q_binom1（n）//q-bonimal（n+1，1））.list（）对于（0..8）中的n：打印qExtendedCatalan（n）#打印orbitals_major_index_by_type（n，is_ext_catalan）#进行比较

这些多项式的序列开始于：

111q^2+q+1q^2+1（q^2+1）*（q^4+q^3+q^2+q+1）（q^2-q+1）*（q^4+q^3+q^2+q+1）（q^2-q+1）*（q^4+q^3+q^2+q+1）x（q^6+q^5+q^4+q^3+q^2+q+1）。

q-binom1（n）多项式与它们的其他部分一样，具有q-binomial（2*n，n）（在中给出A063746号)，一个相当独立的意义。它们的定义见A274885型通过q系数：

从sage.combinat.q_analogues导入q_factorial定义q_binom1（n）：return（q_factoral（n+1）//（q_factoral（n//2）*q_factoral（（n+2）//2））对于（0..5）中的n：打印[n]，q_binom1（n）.list（）

以下是前几个多项式：

[0] 1[1] 问题+1[2] q^2+q+1[3] （q+1）*（q^2+1）*[4] （q^2+1）*（q^4+q^3+q^2+q+1）[5] （q+1）*（q^2-q+1）x（q^2+1）*。

q_binom1的de-q'ed形式如所述A212303型.

Q摆动

最后，我们看看摆动的q_analogs阶乘，生成所有轨道的类。它们被定义为

q-swing_factorial（n）=q-多项式（[楼层（n/2），n模块2，楼层（n/2]）），

或等同于：

从sage.combinat.q_analogues导入q_factorialdef q_swing_factorial（n，q=无）：返回q_factorial（n）//q_factorial（n//2）^2对于（0..8）中的n：打印q_swing_factorial（n）.list（）

前几个多项式是：

[0]1[1] 1[2] 问题+1[3] （q+1）*（q^2+q+1）[4] （q^2+1）*（q^2+q+1）[5] （q^2+1）*（q^2+q+1）*[6] （q+1）*（q^2-q+1）x（q^2+1）*

摆动多项式有一个没有任何参考的乘积公式到q函数：

定义q_swing（n）：q=var（'q'）a=mul（（q^（n-i）-1）/（q^-（i+1）-1），对于（0..（n//2-1））中的i）b=（（q^（n//2+1）-1）/（q-1））^（（1-（-1）^n）/2）return（simplize（a*b）.factor（））对于（0..9）中的n：打印q_swing（n）

摆动多项式也可以递归计算：

定义q_swing_rec（n，q）：如果n==0：返回1r=（1+q^（n//2））/q_int返回r*q_swing_rec（n-1，q）对于（0..9）中的n：打印q_swing_rec（n，q）.factor（）

很容易看出

q_swing（n）=q_extended_catalan（n）*q_int（n//2+1）。

请注意，一些作者（和Maple）将q-integers称为q_intq-b拍。

阶乘和摆动阶乘的q模拟也可以通过分圆多项式计算。

R、 q=ZZ['q'].objen（）定义q_系数（n）：返回mul（（2..n）中k的R.cyclotomic_polynomial（k）^（n//k））定义q_swing_factorial（n）：（2..n）中k的返回mul（R.cyclotomic_polyminal（k）^（n//k-2*（n//（2*k）））

从上一个公式可以推断出q-swing_factorials至少有楼层（n/2）不可约因子。（seq-fan可能还注意到（2..n）中k的总和（（n//k））为A002541号和（2..n）中k的总和（（n//k-2*（n//（2*k））为1975年2月.)

排列和轨道

对于${\显示样式n\in\mathbb{n}=\{1,2,3，\ldots\}}$让${\显示样式[n]=\{z\in\mathbb{z}\mid 1\leq z\leq n}}$.的排列${\显示样式[n]}$定义为${\显示样式{\mathcal{P}}_{n}=\{P:[n]\rightarrow[n]\中间P{\text{双宾语}}\}}$.对于${\显示样式p\在{\mathcal{p}}_{n}}中$让${\显示样式{\波浪线{p}}$表示其补语其定义为发送每个${\显示样式i}$到${\显示样式n+1-p{i}}$.对于排列$显示样式p，q在{mathcal{p}}_{n}}中$让${\显示样式p-q}$表示映射${\显示样式i}$到${\显示样式p_{i} -q个_{i} }{i} -q个_{i} }$.

对于置换${\显示样式p\在{\mathcal{p}}_{n}}中$我们将其轨道定义为

${\displaystyle\omega_{p}:\，i\mapsto\operatorname{sgn}（p-{\tilde{p}}）{\text{for}i\in[n].}$

所有轨道的集合${\显示样式n}$将用表示$显示样式{\mathcal{O}}_{n}}$,

${\displaystyle{\mathcal{O}}{n}={\omega{p}\\mid\p\in{\matchcal{p}}{n}.}$

写作${\显示样式{\hat{1}}$对于${\显示样式\显示样式-1}$例如，我们有${\显示样式{\mathcal{P}}_{3}}$:

${\displaystyle\quad 123\mapsto{\hat{1}}01，\qquad 231\mapsto 01{\hat{1}{，\qquad 132\mapsto{\hat1}}10，}$

${\displaystyle\quad 312\mapsto 1{\hat{1}}0，\qquad 213\mapsto 0{\hat{1}1，\qquid 321\mapsto10{\hat1}}。}$

定理1置换的轨道和${\显示样式0}$.

证明：根据每个轨道的定义${\在[n]}中显示样式i\$有正好一个${\在[n]}中显示样式j\$这样的话${\显示样式\displaystyle\omega{i}=-\omega{j}}$.因此$｛\displaystyle\sum_{i｝｛\omega_{i｝｝｝＝0｛\text｛and｝｝｝\sum_{i｝\运算符名称｛sgn｝（\omega_{i｝）＝0。｝$ ${\显示样式\菱形}$

不同的排列可以有相同的轨道。两种排列${\显示样式p}$和${\显示样式q}$称为轨道当量，如果它们有相同的轨道，

${\显示样式p\simq\Leftrightarrow\omega{p}=\omega_{q}.}$

例如排列$｛\displaystyle 13452，\，13542，\，23451，\，23541｝$都有轨道${\displaystyle{\hat{1}}011{\hat1}}。}$计算班级人数${\显示样式{\mathcal{P}}_{n}\，/\sim}$以及他们的基数：

定理2的排列$｛\displaystyle[n]｝$在轨道等价下分发到${\显示样式n！/\lfloor n/2\rfloor！^{2}}$每个基数的等价类${\显示样式\lfloor n/2\rfloor！^{2}}$.

证明： ${\显示样式p-{\波浪线{p}}}$必须有${\显示样式\lfloor n/2\rfloor}$负值和${\显示样式\lfloor n/2\rfloor}$正值；进一步${\显示样式0}$根据奇偶校验显示${\显示样式n}$ ${\显示样式[n\\operatorname{odd}]}$次(${\显示样式[b]}$是艾弗森支架）。这由一个等于所要求公式的三项式系数来描述。

${\displaystyle{\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor，\left[n\\operatorname{odd}\right]，\lfloorn/2\floor}}={\frac{n！}{\floor n/2\floor！^{2}}}\quad\diamond}$

轨道排列${\显示样式\Leftrightarrow}$轨道

在每个等价类中，我们固定字典最小排列作为其代表。我们用表示${\显示样式\显示样式[p]{\sim}}$等价类属于${\显示样式p}$和依据${\显示样式\显示样式[p]}$的代表${\显示样式p}$.所以我们可以写

${\displaystyle[p]={\min\{q\，\mid\，p\\sim\q\}}，}$

摄入min$｛\displaystyle｛\mathcal｛P｝｝_｛n｝｝$关于词序。

例如${\显示样式\显示样式[21345]_{\sim}=\{12345123542134521354\}}$和${\显示样式[21345]=12345}$.

代表制度${\显示样式{\mathcal{P}}_{n}\，/\sim}$将被表示$｛\displaystyle｛\tilde｛\mathcal｛P｝｝｝｝_｛n｝｝$.

${\displaystyle{\tilde{\mathcal{P}}}_{n}={[P]\mid-P\在{\matchcal{P}{n}}.}中$

我们将呼叫${\显示样式p\在{\tilde{\mathcal{p}}_{n}}中$一个轨道置换.例如${\显示样式n=4}$我们得到：

${\displaystyle{\tilde{\mathcal{P}}_{4}=\{1234，\，1324，\、1342，\，31243142，\，3412\}。}$

定理3：协会${\显示样式p\mapsto\operatorname{sgn}（p-{\波浪线{p}}）}$构成双射$显示样式{\tilde{\mathcal{P}}}_{n}\rightarrow{\mathcal{O}}_}}$.

证明：注入：自${\显示样式p，q在{\波浪线{\mathcal{p}}}_{n}}中$具有${\显示样式\显示样式p\neq}$在不同的等价类中，它们有不同的轨道。

Surjective：给定一个轨道${\mathcal{O}}_{n}}中的{\displaystyle\omega\$我们可以恢复轨道排列${\显示样式p\在{\tilde{\mathcal{p}}_{n}}中$按以下步骤：设置${\显示样式n=1}$.扫描${\显示样式\omega}$从左侧向右替换出现的${\显示样式-1}$通过${\显示样式n}$，增加${\显示样式n}$通过一个，然后重复，直到没有${\显示样式-1}$在中${\显示样式\omega}$。如果发生${\显示样式0}$替换为${\显示样式n}$并增加${\显示样式n}$一个。正在扫描${\显示样式\omega}$来自从左到右替换出现的${\显示样式1}$通过${\显示样式n}$，增加${\显示样式n}$一个，然后重复，直到没有${\显示样式1}$在中${\显示样式\omega}$.

很明显，此过程会生成置换${\显示样式p}$属于${\显示样式{1,2，\ldot，n\}}$.我们必须证明这个排列是词典学上最小的在它的等价类中。所以假设${\显示样式q}$是一个排列这是之前的词汇顺序${\显示样式p}$。我们将展示这一点${\显示样式q}$有一定是不同于${\显示样式p}$.让${\显示样式i}$是第一个索引，这样${\显示样式q{i}<p{i}}$并假设${\显示样式\omega_{q} 我=\欧米茄_{p} 我}{q} 我=\欧米茄_{p} 我}$这意味着通过建造${\显示样式p}$值${\显示样式q_{i}}$出现在中${\显示样式p}$作为${\显示样式p{k}}$对一些人来说${\显示样式k<i}$.自$显示样式q{j}=p{j}}$对于${\显示样式j<i}$我们现在有两个不同的指数${\显示样式i}$和${\显示样式k}$具有${\显示样式q{i}=q{k}}$这与之相矛盾那个${\显示样式q}$作为一个置换，是内射的。${\显示样式\菱形}$

轨道加泰罗尼亚排列

使用定理3中给出的双射，我们当然也可以限制考虑中的轨道与加泰罗尼亚轨道（在我们的广义上）。轨道${\显示样式\omega}$如果且只有全部${\显示样式x}$在的部分和列表中$｛\displaystyle\omega｝$≤0。

这样我们就可以找到轨道加泰罗尼亚排列（计算单位：A057977号). 前几项是：

n=3:123132213。n=4:12341324。n=5:12345、12435、12453、13245、13425、，14235, 14253, 14325, 31245, 31425.n=6:123456124356124536142356142536。

我们可以进一步限制这个子类，只考虑那些轨道另外以零开头。在这种情况下，我们得到以下列表：

n=0：n=1:1。n=2：n=3:213。n=4：n=5:3124531425。n=6：n=7:4123567、4125367、4125637、4152367和4152637。n=8：n=9:512346789、512364789、51237489、512367849、512634789、，512637489, 512637849, 512673489, 512673849, 516234789, 516237489、516237849、516273489、516273849。

计算排列，我们找到序列${\显示样式0,1,0,1,2,0,5,0,14，\ldots}$. 惊喜，惊喜，我们找回了加泰罗尼亚数字，这次是分散的在偶数位置以零表示。这给出了一个很好的组合解释A126120号, 这很重要轨道${\显示样式n+1}$以0步开始的扇区。因此A126120号只是反映出这样一个事实${\显示样式n}$没有带a的轨道${\显示样式0}$-步骤。

轨道/置换转换的SageMath函数

定义orb_to_perm（o）：n=1l=长度（o）p=[0]*l对于[-1，0，1]中的j：对于范围（l）中的i：如果o[i]==j：p[i]=nn+=1返回p定义为轨道（p）：q=p.补体（）o=[范围（len（p））中i的符号（p[i]-q[i]）]r=orb_to_perm（o）返回p==r[p代表置换（6）中的p，如果是轨道（p）]定义轨道_排列（n）：对于轨道（n）中的o：p=orb_to_perm（o）打印o，“→“，第页产量p打印列表（轨道_排列（4））列表（轨道_排列（4））定义置换到轨道（n）：对于排列（n）中的p：q=p.补体（）o=[sgn（p[i]-q[i]），对于范围（n）中的ir=orb_to_perm（o）如果p==r:#如果是轨道（p）打印p，“→“，o产量o列表（排列到轨道（4））定义轨道坐标变换（n）：对于轨道（n）中的o：如果是ext_catalan（o）：产量orbto_perm（o）oc=轨道_星际_超突变（5）对于oc中的p：打印p

轨道偏序集

我们给出了一个如何利用双射的例子在轨道和轨道排列之间。排列可以部分按右边排序置换面体阶（又称弱阶）。${\显示样式v\leq w}$处于弱顺序当且仅当反演集${\显示样式I_{v}}$和${\显示样式I_{w}}$满足${\显示样式I_{v}\substeq I_{w}}$.${显示样式I{w}={（w{I}，w{j}）在[n]^{2}中，冒号$（在有些过时的德语中，这被称为“die Menge der Fehlstände der”Vertauschungen“，这个概念可以追溯到加布里埃尔·克莱默（Gabriel Cramer）的1750年的“引言”分析事实上，n项上的排列集是一个格。

现在我们把这个顺序转移到轨道上：对于轨道a，b，我们定义${\显示样式a\leq b}$当且仅当${\displaystyle\pi（a）\leq\pi（b）}$哪里$｛\displaystyle\pi｝$表示定理3中的双射。下图显示了六个扇区上轨道的偏序集由该订单定义。

六扇区轨道的位置

在其他一些象征形式中，可以更好地看到所涉及的各种对称性，这里是五个扇区的轨道偏序集：

五扇区轨道的位置

现在回想一下，在这些偏序集中显示的轨道数已计算在内通过摆动阶乘。因此，很自然会问偏序集是否也反映p-swing阶乘。确实如此。

让我们把偏序集中轨道的秩称为连接链的长度具有最小元素的轨道。那么具有相同秩的轨道数（给定秩级的基数）是代表q-swinging阶乘的多项式。

例如，在上述五扇区轨道偏序集中等级等级有基数1、2、4、5、6、5、4、2、1。以及中的示例A274888号我们得到n=5的多项式${\显示样式（q^{2}+1）*（q^}2}+q+1）*$其具有系数[1、2、4、5、6、5、4、2、1]。

我们可以总结出，p-swing阶乘是生成函数用于轨道的反演统计。对于正式证据，可能会注意到这是L.Carlitz在《序列与反演》中的一个结果的特例，杜克大学数学。1970

计算轨道数

具体来说，我们列出了前五种情况。注意这个案例n=0，计算加泰罗尼亚语（因此不振荡）的空轨道。

n个	0	1	2	三	4
全部	Ø	*	~+  +~	~*+  ~+*  *~+  *+~  +~*  +*~	~~++  ~+~+  ~++~  +~~+  +~+~  ++~~
加泰罗尼亚语	Ø	*	~+	~*+  ~+*  *~+	~~++  ~+~+
摆动					~++~  +~~+

各种轨道类的生成函数如下所示。让U（x）=（1-4*x^2）^（3/2）和Ik（x）=贝塞尔_I（k，2*x）。

• 所有轨道[A056040型].

  [OGF]a（n）=[x^n]（x+1-4*x^2）/U（x）。[EGF]a（n）=n！[x^n]（1+x）*I0（x）。[序列]1、1、2、6、6、30、20、140、70、630。。。

• 加泰罗尼亚轨道[A057977号].

  [OGF]a（n）=[x^n]（（1-x）-（1-4*x^2）*（1-4*x^2-x）/U（x））/（2*x^ 2）。[EGF]a（n）=n！[x^n]（1+1/x）*I1（x）。[SEQ]1，1，1，3，2，10，5，35，14，126，42。。。

• 振荡轨道[A232500型对于n≥2]。

  [OGF]a（n）=[x^n]（（x^2+x^3+x-1）+（-7*x^2+5*x^3+12*x^4-x+1）/U（x））/x^2。[EGF]a（n）=n！[x^n]（1+x）*（1+I2（x））-（1+1/x）*I1（x）。[序列]0、0、0，0、2、10、10、70、42、378、168。。。

• 加泰罗尼亚轨道或振荡轨道[A237884型对于n≥2]。

  [OGF]a（n）=[x^n]（（2*x^3+2*x*2+x-1）+（8*x^4+6*x^3-6*x^2-x+1）/U（x））/（2*x^2）。[EGF]a（n）=n！[x^n]（1+x）*（1+I2（x））。[序列]1、1、1，3、4、20、15、105、56、504、210。。。

我们最好与Maple核实一下：

轨道系列：=proc（len，class，typ）局部U；如果typ=“egf”，则如果class='all'那么（1+x）*BesselI（0，2*x）elif class='cat'那么（1+1/x）*贝塞尔（1,2*x）elif class='osc'那么（1+x）*（1+BesselI（2，2*x））-（1+1/x）*贝塞尔I（1，2*x）elif class='cator_osc'那么（1+x）*（1+BesselI（2,2*x））fi；系列（%，x，len+4）；返回seq（n！*系数（%，x，n），n=0.len）；fi；如果typ=“ogf”，则U:=进程（x）（1-4*x^2）^（3/2）结束：如果class='all'那么（x+1-4*x^2）/U（x）elif class='cat'那么（（1-x）-（1-4*x^2）*（1-4*x^2-x）/U（x））/（2*x^1）elif class='osc'那么（（（x^2+x^3+x-1）+（-7*x^2+5*x^3+12*x^4-x+1）/U（x））/x^2elif class='cator_osc'那么（（2*x^3+2*x^2+x-1）+（8*x^4+6*x^3-6*x^2-x+1）/U（x））/（2*x^2）fi；系列（%，x，len+4）；返回序列（系数（%，x，n），n=0..len）；fi；结束时间：对于['all'、'cat'、'osc'、'Cator_osc']do中的类对于['egf'，'ogf']do中的typ打印（OrbitalSeries（16，class，typ））od；

我们可以总结如下：摆动阶乘数A056040型计算n个扇区上的所有轨道，即扩展的加泰罗尼亚数A057977号数一数低轨道和高轨道。A232500型计算振荡轨道n个扇区和A237884型加泰罗尼亚轨道或振荡轨道，在这些情况下，n=0和n=1除外。

大部分轨道都是振荡轨道。轨道的（⌊n/2⌋−1）/（⌊n/2⌋+1）超过n个扇区正在振荡只有1/（⌊n/2⌋+1）是加泰罗尼亚语。

n扇区上轨道数的简单渐近近似为2^n*（n/2+1/4）^（-cos（Pi*n）/2）/sqrt（Pi）。这个近似值实际上相当好（余数为O（n^（-2））。四舍五入到最接近的整数后，公式将精确计算前十一个值。根据这个公式，我们得出渐近存在2^N/（（N+1）^m*sqrt（Pi*（2*N+1）））Catalan轨道其中m=（n+1）mod 2，n=n+1+m。此公式四舍五入为最接近的整数精确地计算前十三个值。

轨道统计

下表给出了轨道的一些简单统计数据。

	统计学	次级和超级Δ	第0列
加泰罗尼亚语 分解，分解	A275325型		A241543型
完整的	A274706型		A241810型
峰	A274708型	A097692号（子）	A025565号（偶数）
高度	A274709型	A189231号（超级）	A057977号 A063549号
转弯	A274710型	A152659号（子）
跨度	A274878号
返回	A274879号	A108747号（子）	A241543型
重新启动	A274880型	18920年（子）
上升	A274881型
休息	A275333型	A063746号（子）
第一个零 十字路口	A241477号		A126869号

这些统计数据是由它们的各个OEIS条目。请读者提交封闭式表格表示或重复。

总结

统计学	排列	轨道
基数	卡片（Pn个)=n！，阶乘的	卡（On个)=n≀，摆动系数
q多项式	F（n）=q-n的系数	f（n）=q-摆动-n的阶乘
主要指标	M（n）=∑σ∈Pn个q^maj（σ）	m（n）=∑ω∈On个q^maj（ω）
反转指数	I（n）=∑σ∈Pn个q^inv（σ）	i（n）=∑ω∈On个q^inv（ω）
定理	F（n）=M（n）=I（n）	f（n）=m（n）=i（n）

上表中给出的定理F（n）=M（n）=I（n）是置换统计和q模拟的基本示例经典组合学的一个主要结果O.Rodrigues（《数学杂志》第4期（1839年），第236-240页）和P.A.MacMahon（《美国数学杂志》第35卷（1913年），第3期，第281-322页）。

轨道模型将经典的加泰罗尼亚模型推广到奇数n的情况。验收在一定程度上取决于是否考虑Geschlossenheits bedinging公司，轨道是闭合曲线的条件跳转条件中的异常数作为自然情况最少。相反，从轨道的角度来看，一个扩展的Catalan轨道简单地由all定义（对于累积（o）中的j，j≤0）（用Python的说法，请参见而经典的加泰罗尼亚轨道是长度为偶数的扩展卡塔兰轨道；这这里的附加约束是任意的和人为的。

至少有三个论点表明接受轨道模型是自然的加泰罗尼亚模式的扩展：

• 像Dyck路径这样以水平方向结束的经典组合对象平面上点的直线或无交叉弦线可以找到它们的延伸。
• 加泰罗尼亚数的解析表示，如Penson/Sixdeniers积分找到一个令人满意的推论。
• 保留了中心二项式系数和加泰罗尼亚数之间的关系并在摆动阶乘和扩展加泰罗尼亚语之间的关系中进行了扩展数字。

一个更务实的考虑是：为什么要发展一个只完成一半任务的理论什么时候你可以花一点额外的努力得到整个蛋糕？

有一个著名的列表描述了200多个物体，这些物体是用加泰罗尼亚数字计算的；尽管如此，没有什么能与他们奇怪的对手相比很高兴更多地了解他们。或者关于覆盖这两者的对象偶数和奇数情况，比如轨道。

一本字典

下表比较了经典对象的枚举和扩展对象的枚举。

对象\类型	古典的	扩展
全部	中心二项式 A000984号	摆动阶乘 A056040型
加泰罗尼亚语	A000108号	A057977号
摆动	A000984号− 2*A000108号=276666元	A056040型− 2*A057977号=A232500型
加泰罗尼亚语或振荡	A000984号−A000108号=A001791号	A056040型−A057977号=A237884型

我们在这里讨论的是物体，而不是轨道。原因是轨道只构成一类以这种方式计数的组合对象。在下一篇博客文章中我们将把轨道的语言翻译成树的语言。

工具书类

开始研究加泰罗尼亚数字的好地方：伊戈尔·帕克，加泰罗尼亚数字页面.

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图2：6个扇区的轨道