用户：Mats Granvik

工程师。http://mobiusfunction.wordpress.com/ http://www.facebook.com/mats.granvik

${\显示样式1=1}$

${\显示样式1=（1+1）-1}$

${\显示样式1=（1+1+1）-（1+1）}$

${\显示样式1=（1+1+1+1）-（1+1+1）}$

${\显示样式1=（1+1+1+…+1）-（1+1+1…+1）}$

${\显示样式1=\下大括号{1}_{无}-\下大括号{1}{n-1}}{无}-\下大括号{1}{n-1}}$

${\显示样式T={\开始{pmatrix}1&0&0&0＆0&0&0&\cdots\\1&1&0&0&0&0:0\\1&1＆0&0 \\1&1&1&1~1&1&1&0&0\\1＆1&1&1&0\\1&1＆1&0\\1~1&1&1{pmatrix}1&0&0&0＆0&0&0&\cdots\\1&1&0&0&0&0:0\\1&1＆0&0 \\1&1&1&1~1&1&1&0&0\\1＆1&1&1&0\\1&1＆1&0\\1~1&1&1$

${\显示样式T（n，1）=1}$

${\显示样式T（n，k）=\左[n>=k\右]\左（\sum_{i=1}^{n-1}吨（n-i，k-1）-\和{i=1}^{n-1}吨（n-i，k）\右）｝{n-1}吨（n-i，k-1）-\和{i=1}^{n-1}吨（n-i，k）\右）｝$

（*Mathematica开始*）清除[t]；nn=8；t[n_，1]=1；t[n，k_]：=t[n，k]=如果[n>=k，1，0]*（总和[t[n-i，k-1]，{i，1，n-1}]-求和[t[n-i，k]，{i，1，n-1}]）矩阵形式[表[表[t[n，k]，{k，1，nn}]，{n，1，nn}]]（*数学结束*）

${\显示样式{\开始{pmatrix}+1&+1&+1+1&+1&+1&\cdots\\+1&+0&+0&+0&+0&\0\\+1&+0&+0&+0&+0 \+1&+0&+0&+0&+0&+8&+0&\0\\vdots&&ddots\end{pmatrix}}}$

${\显示样式{\开始{pmatrix}+1&+1&+1+1&+1&+1&\cdots\\+1&-1&+0&+0&+0&+0 \\+1&+1&+0&+0 \+1&+1&+0&+0&+0&+0&+0$

${\显示样式{\开始{pmatrix}+1&+1&+1+1&+1&+1&\cdots\\+1&-1&+1&-1+1&+1 \\+1&+1+0&+0&+0&+0 \\+1&-1&+0 \+1&+1&+0&+0&+0&+0&+0$

${\显示样式{\开始{pmatrix}+1&+1&+1+1&+1&+1&\cdots\\+1&-1&+1&-1&+1&+1 \\+1&-2&+1&-2&+1&-2 \+1&+1&+1+1&+1&+1&+6\vdots&&ddots\end{pmatrix}}}$

${\显示样式T（n，k）}$=https://oeis.org/A191898 :${\显示样式（n，k）}$

${\displaystyle\Lambda（n）=\lim\limits_{s\rightarrow 1}\zeta（s）\sum\limits\{d|n}{\frac{\mu（d）}{d^{（s-1）}}}}$

${\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^}\infty}{\frac{T（n，k）}{n^{c}\cdot k^{s}}=\sum\ limits_1}^{\fratc{\lim\limps}\zeta（z）\sum\limits{d|n}{\fac{\mu（d）}{d^{（z-1）}}}}{n^{c}}={\frac{\泽塔（s）\cdot\zeta（c）}{泽塔（c+s-1）}}}$

${\displaystyle-{\frac{\zeta'（s）}{\zeta（s）{}=\lim_{c\to1}\，\左（{\frac{\ze塔（c）\zeta$

${\displaystyle\mu（n）={\underset{n=1}{1}}-{\underset{a=n}{\sum_{a\geq2}}}1+{\undertset{ab=n}}{\sum_{a \geq2}\sum_{b\geq2]}}1-{\unders set{abc=n}{\sum a\geq 2}\sum_{b\gerq2}\sum et{abcd=n}{sum{a\geq2}\sum{b\geq2]\sum{c\geq2}\sum_{d\geq2{}}}1-\cdots}$

$｛\displaystyle 1/a^｛b+ic｝=1/a^｛b｝（\cos（c\log（1/a））+i\sin（c\log（1/a）））｝$

1/a^（b+I*c）=1/a^b*（Cos[c*Log[1/a]]+I*Sin[c*Log[1/a]]）

${\显示样式s=14i}$

${\显示样式n=7}$

${显示样式s-n\左（\lim_{c\to 1}，{frac{sum_{k=1}^{n}{frac}（-1）^{k-1}{binom{n-1}{k-1{}}{zeta（（c-1）（k-1）+s}{\泽塔（（c-1）（k-1）+s）}}}}\右）}$

=0.5+14.1347i

---

N[Table[2*Pi*Exp[1]*Exp[ProductLog[（N-11/8）/Exp[1]]]，｛N，1，12｝]]图[RiemannSiegelTheta[t]/Pi+Im[Log[Zeta[1/2+I*t]]+I*Pi]/Pi，{t，0，60}，ImageSize->Large]

表[限制[泽塔总数[1/除数[n]^（s-1）*MoebiusMu[Divisors[n]]]，s->1]，{n，1，32}]

=IF（OR（ROW）=1；列（）=1）；0; IF（ROW（）>=列（）；EXP（-（1-11/8/（COLUMN（）-1））/EXP（1）*总和（间接（地址（ROW（）-COLUMN（）+1；列（）；4） &“：”&地址（ROW（）-1；列（）；4); 4)));0))

除以：/2/PI（）/EXP（1）得出倒数。

von Mangoldt函数矩阵：

=IF（OR（ROW（）=1，COLUMN（）=一），1，IF（ROW

http://pastebin.com/u/MatsGranvik网站

可分割性：

=IF（OR（COLUMN（）=1）；1; IF（ROW（）>=列（）；总和（间接（地址（行（）-列（）+1；列（）-1；4） &“：”&地址（ROW（）-1；列（）-1；4); 4） ）-SUM（间接）ADDRESS（ROW（）-COLUMN（）+1；列（）；4） &“：”&地址（ROW（）-1；列（）；4); 4） ）；0))

清除[nn]；nn=12个f[n，s]=（（s+1）^（n-1）+s-1）/s；表格窗体[完全简化[表[Integrate[Integrate[f[n，s]，{n，1，2]，{s，0，k}]，{k，0，nn}]]]表[极限[f[n，s]，s->0]，{n，1，nn}]表[极限[D[f[n，s]，s->0]，{n，1，nn}]表[极限[积分[f[-n，s]，s->0]，{n，1，nn}]完全简化[差异[表[Limit[Sum[f[-n，s]，s->0]，{n，-1，nn}]]表[极限[（-1+n s（1+s）+（2+s）^n）/（1+s）^2），s->-1]，{n，1，nn}]z=积分[（s+1）^（-n-1）+s-1）/s，s]；a=极限[z，s->0]

${\displaystyle\Omega（n）={\text{sgn}}\左（{\underset{a=n}{\sum_{a\geq2}}}1\right）+{\text}}\右（{\enderset{ab=n}{\ sum_a\geq 2}\ sum_{b\geq2}}}1\rift）+{\text{sgn{}\左sum{b\geq2}\sum{c\geq2}}1\right）+{text{sgn}}\ left（{underset{abcd=n}{sum{a\geq2]\sum{b\gerq2}\sumc\geq 2}\和{d\geq2}}}1\right）+\cdots}\和{d\geq2}}}1\right）+\cdots}$

$显示样式L（n）={underset{a^{2}\leqn}{sum_{a\geq1}}}1-{underset{a^{2} b条\leqn}{sum{a\geq1}\sum{b\geq2}}}1+{underset{a^{2} 公元前\leqn}{sum{a\geq1}\sum{b\geq2}\sum}{c\geq2}}}1-{undset{a^{2} bcd公司\leqn}{sum{a\geq1}\sum{b\geq2}\sum}{c\geq2]\sum{d\geq2{}}}1+\cdots}{2} b条\leqn}{sum{a\geq1}\sum{b\geq2}}}1+{underset{a^{2} 公元前\leqn}{sum{a\geq1}\sum{b\geq2}\sum}{c\geq2}}}1-{undset{a^{2} bcd公司\leqn}{sum{a\geq1}\sum{b\geq2}\sum}{c\geq2]\sum{d\geq2{}}}1+\cdots}$

nn=400；a=表[Sum[If[a==n，1，0]，{a，2，n}]，{n，1b=表[Sum[If[a^2==n，1，0]，{a，1，n}]c=b；T=表格[b=表格[总和[If[Mod[n，k]==0，a无/无*b条k个，0]，{k，1，n}]，{n，1，nn}]，{i，1，12}]；c+总和[（-1）^n*Tn、 全部，{n，1，12}]LiouvilleLambda[范围[nn]] %% - %

https://www.math.ucla.edu/~robjohn/math/mathjax.html

Dirichlet除数问题相关序列。

对于n>1，a（n）的以下两个公式：

$｛\displaystyle\displaystyle a（n）=-（｛\frac｛1｝｛4｝）n！（2+n！）（-2+{\压裂{1}{（1+\lfloor{\frac{n}{2}}-{\压裂}1}{2{}\rfloor）}}）-n！\和{m=1}^{m=1+2\lfloor{\frac{n}{2}}-{frac{1}{2{}\rfloor}1/m}（2+n！）（-2+{\压裂{1}{（1+\lfloor{\frac{n}{2}}-{\压裂}1}{2{}\rfloor）}}）-n！\和{m=1}^{m=1+2\lfloor{\frac{n}{2}}-{frac{1}{2{}\rfloor}1/m}$

${\显示样式\显示样式a（n）=\总和{h=1}^{h=n！}\；\；\；\和{m=1}^{m=1+2层{压裂{n}{2}}-{frac{1}{2{}层}\；\和{k=1+\floor{\frac{h}{（m+1）}}\floor}^{k=\floor（{\frac}h}{m}}-{\frac{1}{m{}}）\floor}1}\和{m=1}^{m=1+2层{压裂{n}{2}}-{frac{1}{2{}层}\；\和{k=1+\floor{\frac{h}{（m+1）}}\floor}^{k=\floor（{\frac}h}{m}}-{\frac{1}{m{}}）\floor}1}$

是等价的，并产生序列https://oeis.org/A368592启动：

-1, 0, 7, 190, 5826, 214956, 11104542, 711175536, 59256152496, 5925678248160, 730285755406560, 105161159860398720, 18003044434808914560, 3528596711774282883840, 801568243461355261718400, 205201470326854119387494400, 59742508072063053997776844800,...

替换n！对于n，在a（n）的第二个公式中，称为b（n）：

${\显示样式\显示样式b（n）=\总和{h=1}^{h=n}\；\；\；\和{m=1}^{m=1+2层{压裂{n}{2}}-{frac{1}{2{}层}\；\和{k=1+\floor{\frac{h}{（m+1）}}\floor}^{k=\floor（{\frac}h}{m}}-{\frac{1}{m{}}）\floor}1}\和{m=1}^{m=1+2层{压裂{n}{2}}-{frac{1}{2{}层}\；\和{k=1+\floor{\frac{h}{（m+1）}}\floor}^{k=\floor（{\frac}h}{m}}-{\frac{1}{m{}}）\floor}1}$

生成序列：

https://oeis.org/A161664

这是Dirichlet除数问题序列减去三角数，从以下开始：

0, 0, 1, 2, 5, 7, 12, 16, 22, 28, 37, 43, 54, 64, 75, 86, 101, 113, 130, 144, 161, 179, 200, 216, 238, 260, 283, 305, 332, 354, 383, 409, 438, 468, 499, 526, 561, 595,...

而Dirichlet除数问题序列是：

https://oeis.org/A006218

启动：

0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, 113, 119,...

https://or.stackexchange.com/q/10767