A055277号具有n个节点和k个叶子的有根树的数量的三角形T(n,k),1<=k<=n。
三角形开始于:
A002 A550 A550 A550A550A550 A550.A550A550.A550 A550mm A550620 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287电话:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12--+---------------------------------------------------------------1|12| 1 03| 1 1 04| 1 2 1 05| 1 4 3 1 06| 1 6 8 4 1 07| 1 9 18 14 5 1 08| 1 12 35 39 21 6 1 09| 1 16 62 97 72 30 7 1 010| 1 20 103 212 214 120 40 8 1 011| 1 25 161 429 563 416 185 52 9 1 012| 1 30 241 804 1344 1268 732 270 65 10 1 013| 1 36 348 1427 2958 3499 2544 1203 378 80 11 1 0
对于某些列,已经给出或推测了o.g.f.:
A002620型(第2列):x^2/((1+x)*(1-x)^3)A055278号(第3列):x^4*(x^3+x^2+1)/((1-x^2)*(1-x*3)*(1-x)^3)A055279号(第4列):x^5*(1+x+3*x^2+5*x^3+7*x^4+5*x*x^5+5*x^6+2*x^7+x^8)/((1-x)^3*(1-x^2)^2*(1-x ^3)*(1-x^4))
“猜测”o.g.f.s(与枫叶猜测
)显示分母是分圆多项式的乘积。获得了分母的以下因子分解:
deo[2]:=(x^2-1)*(x-1)^2;deo[3]:=(x^3-1)*(x^2-1)*;迪奥[4]:=(x^4-1)*(x^3-1)*;迪奥[5]:=(x^5-1)*(x^4-1)*;迪奥[6]:=(x^6-1)*(x^5-1)*;迪奥[7]:=(x^7-1)*(x^6-1)*;迪奥[8]:=(x^8-1)*(x^7-1)*;迪奥[9]:=(x^9-1)*(x^8-1)*;迪奥[10]:=(x^10-1)*(x^9-1)*;迪奥[11]:=(x^11-1)*(x^10-1)*(x^9-1)*;deo[12]:=(x^12-1)*(x^11-1)*(x^10-1)*(x^9-1)*(x^8-1)*(x^7-1)*(x^6-1)^2*(x^5-1)^2*(x^4-1)^3*(x^3-1)^3*(x^2-1)^3*(x-1)^4;
可以看到一些模式,但较高的指数不是系统的。问题是某些因素可能在o.g.f.s多项式分数中被抵消。然而,通过将指定因子和分母多项式与这些因子相乘,可以得到以下形式的分母:
密度[2]:=(x^2-1)*(x-1)^2;den[3]:=(x^3-1)*(x^2-1)*(x-1)^3;书号[4]:=(x^4-1)*(x^3-1)x(x^2-1)^2*(x-1)^4 ;书号[5]:=(x^5-1)*(x^4-1)*;书号[6]:=(x^6-1)*(x^5-1)*^6 ;书号[7]:=(x^7-1)*(x^6-1)*^7 ;书号[8]:=(x^8-1)*(x^7-1)*^2*(x ^2-1)^4*(x-1)^8 ;书号[9]:=(x^9-1)*(x^8-1)*^4*(x-1)^9 ;书号[10]:=(x^10-1)*(x^9-1)*^5*(x-1)^10;书号[11]:=(x^11-1)*(x^10-1)*(x^9-1)*^三*(x ^2-1)^5*(x-1)^11;书号[12]:=(x^12-1)*(x^11-1)*^4*(x ^2-1)^6*(x-1)^12;
这里,指数以1为单位递增(x-1)
,2人一组(x ^2-1)
,每组3个(x^3-1)
等。请注意,也必须对分子多项式进行g.f.分母多项式的加宽,但序列的初始项不受影响。在这两个多项式中故意增加次数的优点是简单易行的指数公式(x ^m-1)
分母中。
这些指数是A010766号后者的公式非常简单T(n,k)=楼层(n/k)
并开始:
电话:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12---+------------------------------------1 | 12 | 2 13 | 3 1 14 | 4 2 1 15 | 5 2 1 1 16 | 6 3 2 1 1 17 | 7 3 2 1 1 1 18 | 8 4 2 2 1 1 1 19 | 9 4 3 2 1 1 1 1 110 | 10 5 3 2 2 1 1 1 1 111 | 11 5 3 2 2 1 1 1 1 1 112 | 12 6 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1
为了支持这一假设,执行了以下步骤:
- 确定分母多项式
兽穴
并将其系数作为常系数线性递归的签名。
- 为列序列计算足够数量的项(150-270)A055278号-A055287号Michael Somos的PARI项目A055277号。这花了大约1天的时间。
- 采取
度(den[n])
初始化步骤2中的项,运行线性递归并验证所有项。
事实上,最初的术语可能有前缀n个
零,但在OEIS序列中,前导零被省略。