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用户：Bernard Schott

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工程师，从壳牌公司退休。

数论、几何学、群论和环理论、曲线、奥林匹克问题、娱乐数学、分析极限、数学史、丢番图方程。。。
还对美丽的数学、令人惊讶的定理、漂亮的证明、漂亮的公式、棘手的方程……感兴趣。。。
“Les nombres brésiliens”在Quartature，no.76，avril-juin 2010中的作者：A125134号.

==部分贡献的抽样：新序列或注释或公式[正在进行中]

一些序列族

1.2含n个元素的环数
  • 有带或不带1（乘法恒等元）的环，也有可交换或不可交换的环。OEIS中有六个序列给出了含有n个元素的环的数量。我提出了最后三个不存在的序列，这些序列用于没有1的环，并给出了示例和解释：A342375型,A342376飞机,A342377飞机.
  • 此外，9种可能的环出现在的Crossrefs部分的表格中A027623号.


1.3亲n-和n-疏水数
  • 这些序列的想法以及单词“n-phile”和“n-phobe”来自于对法国网站Diophante上提出的A496问题的概括（参见A019532年).
  • 对于n>1，如果存在n个正整数b_1<b_2<…<，则整数m称为n-phileb_j<…<b_n，使得b_1除以b_2，b_2除以b_3。。。，b_[j-1]除以b_j。。。，b_[n-1]除以b_n，m=b_1+b_2+…+b_j+…+b_n。
  • 非n-phile的整数称为n-phobe。

n-phobe数：A019532年（n=3），A348519型（n=4），A348520型（n=5）。

n-菲尔数：A160811型\{5}（n=3），A348517型（n=4），A348518型（n=5）。

  • 属性：

n-phobe数的数目总是有限的=A349189型（n） ●●●●。

最小的n-phobe数总是1，最大的是A349188型（n） ●●●●。

最小的n-菲尔数是2^n-1，并且有无限多的n-菲利普数。

1.4方程（x+y）+（x-y）+
  • 由提出的问题的概括雅科夫·佩雷尔曼在他的书《代数可以很有趣，两个数字和四个运算》中，Mir Publishers Moscow，1979年，第131-132页
  • 考虑丢番图方程S（x，y）=（x+y）+（x-y）+。
  • 那么，有一个解（x，y），如果z是A013929号：不是平方的数字。
  • 在这种情况下，如果x=K*y，那么z=S（K*y、y）=K*（y+1）^2；参见表T（n，k）=n*（k+1）^2 inA351381型; 这里（K->n）和（y->K）得到OEIS中的表T（n，K）；例如：S（12，4）=T（3，4）=75=a（28）。
  • S（x，y）=（x+y）+（x-y）+=A013929号（n） 是A353282（n） ●●●●。
  • 使方程S（x，y）=m正好有n个解的最小非方数m，对于n>=0，为A130279号（n+1）。
  • 整数k，其中方程S（x，y）=k的解的数目设置了一个新记录A046952号=高度合成数的平方。
1.5方程k*M=1M1

这一系列序列的原因来自企鹅字典中的21位整数112359550561797732809，该整数具有以下属性：“当1位于两端时，最小的数字乘以99”。自然的问题是：是否有其他整数共享此属性？

  • A329914型：此序列的项是具有与99相同属性并满足以下条件的其他数字k：k*M=1M1，即1、M和1的串联。令人惊讶的是，这个序列包含了15个术语。
  • A329915型：事实上，对于每个这样的k InA329914型，存在一个无限的整数集{M_k}，这样k*M_k=1M_k1和每个对应k的最小项M_k都列在这个序列中，该序列也包含15个项。

与k的其他值相对应的一些序列：

  • A095372号\{1}=数字M，使得21*M=1M1，除了a（0）=1。

最后两个序列：

  • A116436号=数字m，当夹在两个1之间时，给出m的倍数。
  • A351320型=a（n）是唯一整数k，因此k*A116436号（n） =1||A116436号（n） |1，其中“||”表示串联。除了a（1）=111是唯一的外，所有项都无限多次出现，并且都属于这组十五个整数：{21、23、27、29、33、39、57、59、69、71、83、87、99、101、107}；看见2014年3月29日.
1.6欧几里得除法和几何级数

设m=d*q+r是m除以d的欧氏除；此外，对于哪个整数m，三元组（r，q，d）或（r，d，q）或（q，r，d）形成这种顺序的几何级数？（欧拉项目概述，问题141）。

  • A334185型：几何级数为（r，q，d），公共整数比b>1。
  • A334186型几何级数为（r，q，d），非整数公共比b>1。

注：在前三种情况下，m是一个项，因为m=d*q+r，r<q<d是几何级数；而且，对于d'=q和q'=d，我们还有另一个欧氏除法m=d'*q'+r和r<d'<q'。因此，对于这三个序列的所有项m，都存在这两个几何级数（r，q，d）和（r，d'，q'），其公比为b。。

  • A001093号\{0，1，2}：的子序列A334185型因为n^3+1=n^2*n+1（r=1，q=n，d=n^2，所以b=n）。
  • A002378号：对于长方形数，由于k（k+1）=k^2*1+k，q=1，r=k，d=k^2，所以b=k，所以总是存在一个公共整数比b>1的几何级数（q，r，d）。
  • A335064型：长方形的子序列，其中还存在一个非整数公比b>1的其他几何级数（q，r，d）。对于这些术语A335064型，m=k*（k+1），其中k英寸A024619号.
  • A335065型：整数m，以便存在几何级数（r，q，d）或（q，r，d）或者（r，d，q）；因此，对于这些整数m，至少存在这3个几何级数中的一个。
  • A335272：整数m使得m被d、d'和d“，m=d*q+r=d'*q'+r'=d“*q”+r“三次欧几里得除，使得（r、q、d）、（r'、d'、q'）和（q“、r”、d“）是三个几何级数；因此，对于这些整数，存在这三次几何级数。
1.7当n$/m！是一个正方形

这些序列来自于一个理论，该理论来自于1996年在两次不同的数学竞赛（城镇锦标赛和莫斯科数学奥林匹克竞赛）中提出的一个问题的推广；问题是：

其中m，1<=m<=100，100$/m！是一个完美的正方形，其中100$=1！*2！*3! * ... * 100！ ?

Rick Mabry和Laura McCormick的文章《因子删减序列的平方积》中有许多证明。澳大利亚。数学。Soc.，2009年，第346-352页（见链接）。

  • A000178号=n$=1*2!*...*n！=个超因子：前n个因子的乘积决不是平方。
  • A348692型=第n行列出整数m的三角形，因此n$/m！是正方形；如果没有这样的m，则第n行=0。
  • A349079型=数k，从而存在m，1<=m<=k，其性质为k$/m！是一个正方形。
  • A349080型=只存在一个整数m且1<=m<=k的数字k，这样k$/m！是一个正方形：这个序列是{1}和三个无限不相交子序列的并集：

-->循环=可被4整除的数字k，但形式不是8q^2或8q（q+1）={4，12，20，24，28，…}。对于这些数字，相应的唯一m=k/2（参见k=4的示例）。这个序列已经被循环使用了，因为又重复了4次，对于这个关于奥运会的好问题的理论来说，这个循环是一个可悲的决定。这在这个由十个构造序列组成的谜题中留下了一个洞；然而，在这里可以访问此序列https://oeis.org/history/view？seq=A349494&v=26

-->循环=偶数k不能被4整除，形式为k=2*A055792号=2*q^2，q>1英寸A001541号= {18, 578, ...}. 对于这些数字，相应的唯一m=k/2–2=q^2-2（参见k=18的示例）。此序列已被回收，因为另一序列重复了2次，备注与之前相同；但是，可以在中访问此序列https://oeis.org/history/view？seq=A349495&v=26

-->A349496飞机=只存在一个整数m的数字k，其中m=k/2+1，即k$/m！是一个正方形，形式为4*t^2-2的数字(A060626号)当t>=1是一个非项的整数时A001542号（参见k=34的示例）。

  • 349081英镑=存在两个整数m且1<=m_1<m_2<=k的数字k，这样k$/m！是一个正方形：此序列是三个无限且不相交的子序列的并集：

-->A139098型=数字k=8t^2>0；对于这些数字，m1=k/2–1=4t^2-1<m2=k/2=4t*2（参见k=8的示例）。

-->A035008号=数字k=8t*（t+1）；对于这些数字，m1=k/2=4t（t+1）<m2=k/2+1=（2t+1）^2（参见k=16的示例）。

-->A349766飞机=2t^2-4形式的偶数K，t>1 inA001541号; 对于这些数字，m1=k/2+1=t^2–1<m2=k/2+2=t^ 2（参见k=14的示例）。

群论

2.1简单组
  • A119648号=有多个简单组的订单：评论a（1）=20160=8/2和这两个简单群PSL_4（2）~Alt（8）和PSL_3（4）的描述。
  • A137863号=非循环非交替的简单群的阶：插入a（16）=20160=8/带解释的2：PSL_3（4）与Alt（8）不同构+详细的2个示例：a（1）和a（12）。
  • A335419型=整数m，这样m阶的每一组都不简单。
2.2某些组的数量和顺序
  • A003277号=循环数：k，使得k和phi（k）相对素数；还有k，因此只有一组k阶。建议使用链接注释：平方自由项A056867号（幂零数）。
  • A024619号=不是素数p^k（k>=0）幂的数。从唐纳德·麦卡锡（Donald McCarthy）那里提出一个带链接的定理：（如果d是一个项）存在一个其阶可被d整除但不包含d阶子群的有限群。
  • A030078型=素数的立方。关于5组订单p^3的建议意见。
  • A147848号=以Z/nZ为子群的2n阶群的数目（直至同构）。在5组2*4=8阶中，a（4）=4的建议示例。
  • A178498号=n阶Frobenius群的数量。对Frobenius群的两个无限族的详细注释。
  • A220211型=q>=3的有限域F_q中一维仿射群的阶。
  • A221048型=奇数半素数(A046315号)它们是非阿贝尔群的阶。对Z/qZ和Z/pZ的半直积提出了意见。
  • A350152型=阿贝尔阶m，其中至少存在2个阶为m的群。
  • A350586型=数字m正好有两组m阶，其中一组是阿贝尔数，另一组是非阿贝尔数。
2.3来自戴斯·麦克哈勒作品
  • A051532号=阿贝尔数：参见中带有“平方自由项”的类似注释A003277号.
  • A056867号=幂零数：m，这样m阶的每一组都是幂零的。向Des MacHale提议一名警长。
  • A056868号=非幂零数；订单6和订单10的详细示例。
  • A340511型=数k，使得对于k的某些除数d，存在一个没有d阶子群的k阶群；建议意见+更多术语a（35）-a（53）和创建A341048型.
  • A341048型=数m，使得有一组m阶不是超可解的（NSS），而是“逆拉格朗日定理”（CLT）。
  • A341823飞机=具有|Aut（G）|=2^n的有限群G的数目。详细示例a（3）=7。
  • 航空41824=一些有限群G的2^n阶群的数量，以Aut（G）形式出现。详细示例a（3）=3。
  • A341825飞机=具有|Aut（G）|=n的有限群G的数目。详细示例a（6）=6。
2.4顺序组p^2*q，p！=q素数
  • A000001号：顺序n的组数。在公式部分中提出了顺序为p^2*q的组数表。
  • A054753号：形式为p^2*q的数字。在Crossrefs中输入一个表，给出每个子序列对应的顺序为p^2*q的组数。
  • A079704号：a（n）=2*素数（n）^2。注释：对于这些数字m，正好有5组m阶，并对这些组进行了描述（p=2和奇数p是不同的情况）。
  • A143928号：形式为2*p^2的数字，对于p是奇数素数。注释：对于这些数字m，精确地描述了5组顺序m。
  • A349495型：数字p^2*q，p<q素数，使得p除以q-1，p^2不除以q-1。注释：对于这些术语m，精确地说有4组m阶，因此这是A054396号.
  • A350115型：形式为m=p^2*q，p<q的素数，使得p^2除以q-1：对于这些项m，精确地描述了5组m阶，因此这是A054397号.
  • A350245型：形式为m=p^2*q，p>q的奇数素数，使得q除以p+1：对于这些项m，精确地描述了3组m阶，因此这是A055561美元
  • A350332型：形式为m=p^2*q，p<q的奇数素数，使得p不除以q-1：对于这些项m，精确地描述了2组m阶，因此这是A054395号.
  • A350638型：形式为m=p^2*q的数，奇素数p>q，使得q除以p-1：对于这些项m，精确地描述了（q+9）/2个m阶群。
  • A350421型：形式为m=p^2*q，p>q的奇数素数，使得q不除p-1，q不除p+1，对于这些项m，正好有两组m阶，如所述，因此这是A054395号.
2.5线性组
  • A000056号=群SL（2，Z_n）的阶，注释：SL（1，Z_2）与对称S_3同构。
  • A334884型=非同构群PSL（m，q）[或PSL_m（q）]的阶，随着q通过素数幂而递增。只有当具有相同顺序的两个组是非同构的时，术语才重复；例如：对于PSL（4,2）==a_8和PSL（3,4）与a_8非同构，a（18）=a（19）=20160，其中==表示“同构于”。
  • A335384型=有限群GL（m，q）[或GL_m（q）]的阶随q的素数幂递增。
2.6对称组
  • A051625号=对称S_n的“标记”循环子群的数目；S_3和S_4的示例。
  • A088436号=对称群S_n中循环分解中只有一个换位的置换数；S_4和S_5的示例。

一些特定的数字

3.1扎克曼号码：A007602号

3.1.1关于商的一些序列

  • A288069型：Zuckerman数除以其数字乘积所得的商。
  • A342593型：不是Zuckerman数除以其数字乘积的商的数字[类似于Niven数为A003635号]. 所有以0结尾的数字都是术语…：
  • A342941型：不以0结尾的数字，不是扎克曼数字除以其数字乘积的商。
  • A343681型：Zuckerman数，除以其数字的乘积，得到一个商，它也是一个Zucker曼数。
  • A343744飞机：Zuckerman数除以其数字乘积得到的整数也可以除以其数字的乘积，依此类推，直到结果为1（fini+full）[与Niven数类似的是A114440型].

3.1.2扎克曼数：除数和素因子

  • A335037：a（n）是n的除数，是扎克曼数。
  • A335038型：a（n）是最小的数字m，正好有n个除数是Zuckerman数字，如果没有这样的m，则为-1。
  • A340638型：整数，其除数为Zuckerman数，将创建一个新的记录[与Niven数类似的是A340367型].
  • A337941型：除数都是祖克曼数的数字。（当且仅当存在无穷多个重单位素数时，此序列是无限的）。
3.2 Niven编号：A005349号

3.2.1关于商的一些序列

  • A340637型：整型数，其除数为Niven数时会创下新纪录[与Zuckerman数类似的是A340638型].
  • A342650型：可以被非零数字整除的Niven数字。
  • A342262型：可以被非零数字的乘积整除的Niven数。
  • A358067型：a（n）是最小的m，因此A144261号（m） =n<=>a（n）是满足以下条件的整数k集合的最小元素m{A144261号（k） =n，n*k是Niven数}。

1.2.2 n位数的Niven数

  • A348318型：不包含数字0的n位Niven（或Harshad）数字的数量（奥运会）。
  • A348150型：a（n）是最小的Niven（或Harshad）数字，正好有n个数字，不包含数字0。
  • A348317飞机：a（n）=348150英镑（n） -R_n，其中R_n是n乘以数字1的单位，a（n）=不包含数字0的最小n位数和不包含数字O的最小n位Niven数之间的间隙。
  • A348316型：a（n）是最大的Niven（或Harshad）数字，正好有n个数字，不包含数字0。

3.2.3基本Niven数

  • A358256型：a（n）是以n个零结尾的最小原始Niven数。

3.2.4 Niven数：除数和素因子

  • A340637型：整型数，其除数为Niven数时会创下新纪录[与Zuckerman数类似的是A340638型].
  • A360011型：整数k，使前k个素数的乘积为Niven数（注释）。
3.3 Zuckerman&Niven号码：
  • A343680型：Niven数除以其数字之和，得出一个商，即Zuckerman数。
  • A343682型：Zuckerman数，除以其数字的乘积，得到一个商，即Niven数。
3.4 Zuckerman&Smith号码：
  • A351618飞机：同时是扎克曼数字和史密斯数字的数字。

其他孤立序列

4.1定义简单，但结果有趣或令人惊讶

为什么？有时，非平方数被错误地命名为平方数（参见A013929号). 事实上，每一个平方数>1都是非平方的，但反过来是错误的，这个序列列出了这些反例。

  • A330616型=两个非回文数的乘积的回文。

为什么？因为有点矛盾：272=16*17是一个术语，而282=6*47不是一个术语。

为什么？因为有点矛盾：第一个术语是A308365型(19) = 161051. 根据G.J Simmons的猜想，这些完美幂是项：{11^k，k>=4}，{111^k，k>=4{，{111 ^k，k>=3}。。。

  • 2007年3月19日=平方，它可以表示为一个数字的乘积及其正好三种不同的反转。

为什么？所有项都以偶数个零结尾，我们不知道一个平方数是否可以用四种不同的方式表示为一个数及其反转的乘积。

例如：6350400=（2520）^2=25200*252=14400*441=44100*144。

  • A342994型= 660, 660660, 660660660, 660660660660, ...

为什么？这些数字正好是带有尾随零的整数，其平方可以表示为以0结尾的数字及其反转的乘积，也可以表示为数字及其反转乘积，但这次没有尾随零。

例如：a（1）=435600=660^2=6600*66=528*825。

为什么？a（n）=n当n=1（对于7）或n=2（对于17，71）时；a（n）<n表示n>=3，因为在这种情况下，数字乘积=7的n位数字中总是至少有一个复合数（1990年第31次国际海事组织）。

  • A342049飞机=由正好两个连续复合数串联而成的素数。

为什么？底漆与复合材料的混合。第一个组合总是以0、2、6、8结尾，而第二个组合分别以1、3、7、9结尾。

  • A358270型=位数之和为偶数且位数为偶数的整数。

为什么？条件分别为A054683号对于偶数和，以及A356929型对于偶数位数的偶数，使此序列是它们的交集，而相反的条件，即奇数位数和奇数位数是相同的，并且在A054684号.

为什么？当一个正方形以三个完全相同的数字结尾时，这些数字必然是444，并且a（1）=666462，因为它是满足666462^2=444171597444的最小项。

  • A309101型=其十进制表示可以写成由单个零分隔的素数序列的素数。

为什么？因为好项2030507011013017019023029031037041043047053059061067071073079083089097由小于100的由零分隔的素数序列组成。

  • A308335型=回文素数，使位数之和=位数。

为什么？除a（1）=11外，此序列的项必须具有奇数位数，与1或5模6同余(A007310号)此外，a（n）的中间数字是奇数。

  • A342304型=k位正数，正好其中一个子串可被k整除。

为什么？某些属性：任何有两个或两个以上0位的数字都不是术语；两位数的项是奇数；5位数术语是以5开头的数字，没有其他数字5或0。没有10位数的术语。

为什么？每个大于等于3的奇数都是梯形的，2的幂不是梯形的，但我们不知道是否存在有限个偶数项（Bert Dobbelaere发现的最大值是48）。

为什么？一些性质：每个术语都有两位数或奇数位数；在最后一种情况下，奇数<>5和偶数<>0只有12种可能得到这样的素数：1（21），1（41），1；所有位数为奇数的术语都是回文的(A059758号); 只有2和9个2位数的术语以偶数开头。查尔斯·特里格（Charles W.Trigg）是第一个对这些整数使用“平滑”一词的人。

4.2来自历史定理或猜想、方程或理论的序列
  • A333635型：数字m，使m^2+1最多有2个素数因子<=>m^2+1=素数或半素数。

为什么？亨利克·伊瓦涅克1978年证明了这个序列是无限的。相比之下，还不知道是否有无限多m^2+1形式的素数（或无限多该形式的半素数）。

  • A327802型：素数p的个数，使得n<p<（9/8）*n。

为什么？1932年，罗伯特·布鲁什证明了对于n>47，在n和（9/8）*n之间至少有一个素数p。这是对Bertrand公设的一个改进，也称为切比雪夫定理：如果n>1，则始终存在至少一个质数p，使得n<p<2*n。

  • A333846飞机：对k进行编号，使k^2和（k+1）^2之间的素数增加到一个新记录。

为什么？勒讓德猜想（仍然是开放的）声明，对于k>0，在k^2和（k+1）^2之间总是有一个素数，这里列出了k的记录。

  • A339465美元：素数p，使得（p-1）/gpf（p-1，）=2^q*3^r，q，r>=1，其中gpf（m）是m的最大素数因子，A006530号

为什么？保罗·埃尔德问是否有无穷多素数p，这样（p-1）/A006530号（p-1）=2^k或=2^q*3^r；A074781号列出了与比率=2^k相对应的素数，而另一个序列列出了与比值=2^q*3^r相对应的质数。Erdős问题的答案未知。

  • A346692飞机：a（n）=φ（n）-φ（n-phi（n）），a（1）=1。

为什么？保罗·埃尔德假设在渐近密度1的集合上a（n）>0，然后Luca和Pomerance证明了这个猜想。

为什么？1964年，A.Mąkowski和安德烈·辛泽尔假设sigma（phi（n））/n>=所有n的1/2（参见链接Mąkowski&Schinzel和Graeme L.Cohen），该猜想等价于a（n）>=0。K.Kuhn检查了这个不等式对所有最多有六个素因子的正整数n都成立。

  • A220211型：q>=3的有限域F_q中一维仿射群的阶

为什么？这个家庭Frobenius群属于A178498号OEIS中没有描述。

  • A336819飞机：D>0的奇值，广义Ramanujan-Nagell方程x^2+D=2^m在正整数中有两个或多个解。

为什么？案例D=7的推广，对应于众所周知的拉马努扬-纳格尔方程x^2+7=2^m及其5个解。如果D奇数<>7，罗杰·阿佩里1960年证明方程x^2+D=2^m至多有2个解。

曲线优美

一些具有面积、长度、渐近点、最大曲率、Hausdorff维数。。。

事实上，每个序列都给出了相应常数的十进制展开式。

对于许多曲线，都有到Robert Ferréol的Mathcurves或Eric Weisstein的数学世界或维基百科的链接。

心形：A197723号=（3*Pi/2）*a^2是极方程式为r=a*（1+cos（t））的心形面积。

Diocles的Cissoid：A177870号=（3*Pi/4）*a^2是Diocles的cissoid与其渐近线之间的面积，当cissoil的极性方程为r=a*sin^2（t）/cos（t）时。

角形螺旋：A217481号=如果m=（1/2）*sqrt（Pi/2），则角螺线（也称回旋线）的两个渐近点的坐标，其笛卡尔参数化为：x=a*Integral_{0..t}cos（u^2）du和y=a*Integal_{0..t}sin（u^ 2）dus为（a*m，a*m）和（-a*m，-a*m）。

三角肌：A019692号=（2*Pi）*a^2是三角洲的面积，其笛卡尔参数化为：（x=a*（（2*cos（t）+cos（2*t）），y=a*。

“双蛋”：A336266飞机=（3*Pi/16）*a^2是“双卵”的一个卵的面积，其极性方程为r（t）=a*cos（t）^2，笛卡尔方程为（x^2+y^2）^3=a^2*x^4。

指数：A212886型=2*sqrt（3）/9是函数x->exp（x）的最大曲率，而A104956号=3*sqrt（3）/2。是相应的最小曲率半径。最大曲率出现在坐标[x_M=的点M处-(A016655号)/10=-对数（2）/2；y_M（月）=A010503号=平方英尺（2）/2]。

笛卡尔叶:A353049型=（8*sqrt（2）/3））*（1/a）是笛卡尔叶x^3+y^3–3*a*x*y=0的最大曲率，出现在坐标（3a/2，3a/2）的M点。

开普勒鸡蛋：A336308型=（5*Pi/32）*a^2是简单叶的面积，也称为卵形体，其极性方程为r=a*cos^3（t），笛卡尔方程为（x^2+y^2）^2=a*x^3。

肾病:A122952号=3*Pi是笛卡尔参数化为：x=（1/2）*（3*cos（t）-cos（3t））和y=（1/2。

牛顿类神经营养不良:A180434号=（2-Pi/2）*a^2是（也称为）右旋转曲面的环的面积，其极性方程为r=a*cos（2*t）/cos（t）。

缓和双龙曲线：A327620型=2*log_2（（1+平方（78）/9）^（1/3）+（1-sqrt（78）/9）^。平面上正好存在四种具有分形边界的规则2-爬行动物。只有这条龙曲线边界的Hausdorff维的十进制展开式不在OEIS中。

麦克劳林三叉肌:A010482号当r=2*a*sin（3t）/sin（2t）是其极性方程时，=sqrt（27）*a^2是此三分线的环的面积，也是曲线与其渐近线之间的面积。

级数和常数

1.带1/n、H（n）和+/-

A347145型=Sum_{n>=1}1/（n*H（n）^2）（作为H（nA115563号)

A196521号=Sum_{n>=1}（-1）^（n*（n-1）/2）/n=Pi/4–log（2）/2（与A231902型)[公式]

A231902型=Sum_{n>=1}（-1）^（n*（n+1）/2）/n[公式]=Pi/4+log（2）/2（与A196521号)[公式]

A339799飞机=Sum_{m>=1}（-1）^楼层（平方英尺（m））/m=-（1/1+1/2+1/3）+（1/4+1/5+1/6+1/7+1/8）-（1/9+…+1/15）+。。。

A353874飞机= (1/1) - (1/2+1/3) + (1/4+1/5+1/6) - (1/7+1/8+1/9+1/10) + (1/11+1/12+1/13+1/14+1/15) - ... 第n群中的n项


2.使用log（n）

2.1贝特朗系列：

定理：Bertrand级数和{n>1}1/（n^q*log（n）^r）是收敛的，当且仅当（q>1）或（q=1且r>1）。

->对于（q=1和r>1）：r=2、3、4、5分别参见A115563号,145419英镑,A145420型,A145421号

->对于（q>1）：对于r=-2、-1、0、1、2的q=2，分别参见A201994年,A073002型,A013661号,A168218号,A349522型

2.2使用log和sqrt，n！但没有三角

A308915型：和{n>=1}1/（log（n）^log（n））

A336284飞机：和{n>=2}n^（对数（n））/log（n）^n

A336741型：和{n>=2}1/log（n）^sqrt（n）

A336730型：求和{n>=1}log（n）^n/n！

A336987飞机：和{n>=2}平方（n）^对数（n）/log（n）|sqrt（n）

A351687型：和{n>=2}（-1）^n/log（n！）

2.3使用对数和三角

A336405型：Sum_｛n>=1｝log（n*sin（1/n））[否定]

A336603飞机：和{n>=1}log（cos（1/n））[取反]

A342647飞机：求和{n>=1}log（cos（1/n））*log（sin（1/1n））

A353781型：Sum_｛n>=0｝log（cos（1/2^n））=log（sin（2）/2）[否定]


3.无对数三角

A019987年：（总和{n=1..90}2*n*sin（2*n））/90，其中n度=tan（89度）（链接USAMO 1996）。

A121225号：和{n>=1}cos（n）/n=-log（2-2*cos（1））/2（菲涅耳级数）

A096444号：和{n>=1}sin（n）/n=（Pi-1）/2（菲涅耳级数）

A342680：和{n>=1}sin（sin（n）/n）

A343469型：和{n>=1}（-1）^（n-1）/（n*反弧（n））

A343470型：和{n>=1}（（-1）^（n-1））*反弧（n）/n

A350885型：和{n>=0}（1/2^n）*（tan（1/2 ^n））=1–2*科坦（2）

A351738型：和{n>0}sin（sqrt（n））/n


4.带数字

A016627号：和{k>=1}A000120号（k） /（k*（k+1））=对数（4）（普特南1981）[基数2]

A334388飞机：总和{k>=1}sod（k）/（k*（k+1）），其中sod（k）=A007953号（k） 是k=（10/9）*log（10）[基数10]的位数之和

A308314型：和{k>=1}（1/A055642号（k）^A055642号（k） ）=（9/10）*总和{m>=1}（10/m）^m。


5.使用Euler totiten phi

和{n>=1}1/phi（n）^k是收敛的，当k>1:A109695号（k=2），A335818飞机（k=3）[使用此规则]


6.阶乘=Sum_{n>=0}1/（q*n）！

公式：对于q整数>=1，求和{n>=0}1/（q*n）！=（1/q）*Sum_{k=1..q}exp（X_k），其中X_1，X_2。。。，X_q是统一的q根。对于q=3、4、5、6，分别参见A143819号,A332890型,A269296型,A332892飞机.


7.与泽塔

A338106美元：和{m>1，n>1}1/（m^2*n^2-1）=和{k>0}（zeta（2*k）-1）^2

A338107飞机：和{m>1，n>1}1/（m^2*n^2+1）=和{k>0}（-1）^（k-1）*（zeta（2*k）-1）^2

A333972飞机：和{m>0，q>0，m|q}1/（m^2*q^2）=Pi^6/540=zeta（2）*zeta（4）

A352527型：总和_（n>=1）（-1）^n*zeta（2n）/（2n

A352619型：和{n>=1}（-1）^（n+1）*zeta（2n+1）/（2n/1）=gamma+arg（i！）[问题=封闭公式？]


8） 带素数

A306759型：巴西素数的倒数之和，也称为巴西素数常数=Sum_{n>=1}1/A085104号（n）

A338475型：k>=0时最小素数的倒数之和>2^k


9.源于曲线或方程

A338670型：x>0（取反）时sinc函数的负和正局部极值之和：sinc->sin（x）/x；虽然这个级数不是绝对收敛的，就像（C_1）/2发散一样，其中C_1是相应的du-Bois-Reymond常数。

A354014型：Sum_{n>0}u（n）其中u（n。

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