西尔宾斯基三角形

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西尔宾斯基三角形，以以下名称命名瓦克·瓦夫·西尔宾斯基，是帕斯卡三角形 模 2.

西尔宾斯基三角形（帕斯卡三角形模块2)

n个		[行 (n个)]2 = [     n个 ∑   我  = 0    (( n个 我 )模块2)2 我  ]2 = [     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    F类我  (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2 =  [     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    (2 2 我+ 1) (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2 A006943号一排排的西尔宾斯基三角形（帕斯卡三角形模型2). A047999号Sierpiánski三角形的级联行（Pascal三角形模型2).																																																																[行 (n个)]10 (A001317号)
0																																			1																																			1
1																																		1		1																																		三
2																																	1		0		1																																	5
三																																1		1		1		1																																15
4																															1		0		0		0		1																															17
5																														1		1		0		0		1		1																														51
6																													1		0		1		0		1		0		1																													85
7																												1		1		1		1		1		1		1		1																												255
8																											1		0		0		0		0		0		0		0		1																											257
9																										1		1		0		0		0		0		0		0		1		1																										771
10																									1		0		1		0		0		0		0		0		1		0		1																									1285
11																								1		1		1		1		0		0		0		0		1		1		1		1																								3855
12																							1		0		0		0		1		0		0		0		1		0		0		0		1																							4369
13																						1		1		0		0		1		1		0		0		1		1		0		0		1		1																						13107
14																					1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1																					21845
15																				1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1																				65535
16																			1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1																			65537
17																		1		1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1		1																		196611
18																	1		0		1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1		0		1																	327685
19																1		1		1		1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1		1		1		1																983055
20															1		0		0		0		1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1		0		0		0		1															1114129
21														1		1		0		0		1		1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1		1		0		0		1		1														3342387
22													1		0		1		0		1		0		1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1		0		1		0		1		0		1													5570645
23												1		1		1		1		1		1		1		1		0		0		0		0		0		0		0		0		1		1		1		1		1		1		1		1												16711935
24											1		0		0		0		0		0		0		0		1		0		0		0		0		0		0		0		1		0		0		0		0		0		0		0		1											16843009
25										1		1		0		0		0		0		0		0		1		1		0		0		0		0		0		0		1		1		0		0		0		0		0		0		1		1										50529027
26									1		0		1		0		0		0		0		0		1		0		1		0		0		0		0		0		1		0		1		0		0		0		0		0		1		0		1									84215045
27								1		1		1		1		0		0		0		0		1		1		1		1		0		0		0		0		1		1		1		1		0		0		0		0		1		1		1		1								252645135
28							1		0		0		0		1		0		0		0		1		0		0		0		1		0		0		0		1		0		0		0		1		0		0		0		1		0		0		0		1							286331153
29						1		1		0		0		1		1		0		0		1		1		0		0		1		1		0		0		1		1		0		0		1		1		0		0		1		1		0		0		1		1						858993459
30					1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1		0		1					1431655765
31				1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1		1				4294967295
32			1		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0		1			4294967297
			我  = 0		1		2		三		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13		14		15		16		17		18		19		20		21		22		23		24		25		26		27		28		29		30		31		32

西尔宾斯基的三角形行

西尔宾斯基的三角形行

n个	[行(n个)]2	[行(n个)]10	因子分解为费马数
0	1	1
1	11	三	(11)2= 3 =F类0
2	101	5	(101)2= 5 =F类1
三	1111	15	(11)2⋅ (101)2= 3 ⋅ 5 =F类0 F类1
4	10001	17	(10001)2= 17 =F类2
5	110011	51	(11)2·（10001）2= 3 ⋅ 17 =F类0 F类2
6	1010101	85	(101)2⋅ (10001)2= 5 ⋅ 17 =F类1 F类2
7	11111111	255	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 =F类0 F类1 F类2
8	100000001	257	(100000001)2= 257 =F类三
9	1100000011	771	(11)2·（100000001）2= 3 ⋅ 257 =F类0 F类三
10	10100000101	1285	(101)2⋅ (100000001)2= 5 ⋅ 257 =F类1 F类三
11	111100001111	3855	(11)2⋅ (101)2⋅ (100000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 257 =F类0 F类1 F类三
12	1000100010001	4369	(10001)2⋅ (100000001)2=17·257=F类2 F类三
13	11001100110011	13107	(11)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= 3 ⋅ 17 ⋅ 257 =F类0 F类2 F类三
14	101010101010101	21845	(101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= 5 ⋅ 17 ⋅ 257 =F类1 F类2 F类三
15	1111111111111111	65535	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 257 =F类0 F类1 F类2 F类三
16	10000000000000001	65537	(10000000000000001)2=65537=F类4
17	110000000000000011	196611	(11)2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 65537 =F类0 F类4
18	1010000000000000101	327685	(101)2⋅ (10000000000000001)2= 5 ⋅ 65537 =F类1 F类4
19	11110000000000001111	983055	(11)2⋅ (101)2⋅ (10000000000000001)2=3·5·65537=F类0 F类1 F类4
20	100010000000000010001	1114129	(10001)2⋅ (10000000000000001)2= 17 ⋅ 65537 =F类2 F类4
21	1100110000000000110011	3342387	(11)2⋅ (10001)2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 17 ⋅ 65537 =F类0 F类2 F类4
22	10101010000000001010101	5570645	(101)2⋅ (10001)2⋅ (10000000000000001)2= 5 ⋅ 17 ⋅ 65537 =F类1 F类2 F类4
23	111111110000000011111111	16711935	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2⋅ (10000000000000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 65537 =F类0 F类1 F类2 F类4
24	1000000010000000100000001	16843009	(100000001)2= (10000000000000001)2= 257 ⋅ 65537 =F类三 F类4
25	11000000110000001100000011	50529027	(11)2⋅ (100000001)2=（10000000000000001）2= 3 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类三 F类4
26	101000001010000010100000101	84215045	(101)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 5 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类1 F类三 F类4
27	1111000011110000111100001111	252645135	(11)2⋅ (101)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2=3·5·257·65537=F类0 F类1 F类三 F类4
28	10001000100010001000100010001	286331153	(10001)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类2 F类三 F类4
29	110011001100110011001100110011	858993459	(11)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2=（10000000000000001）2= 3 ⋅ 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类2 F类三 F类4
30	1010101010101010101010101010101	1431655765	(101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 5 ⋅ 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类1 F类2 F类三 F类4
31	11111111111111111111111111111111	4294967295	(11)2⋅ (101)2⋅ (10001)2⋅ (100000001)2= (10000000000000001)2= 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 257 ⋅ 65537 =F类0 F类1 F类2 F类三 F类4
32	100000000000000000000000000000001	4294967297*	(100000000000000000000000000000001)2= 4294967297*=F类5

*F类5= 4294967297 = 641 ⋅ 6700417是第一个混合成的Fermat编号。从这里开始，没有其他费马数是已知的素数。

西尔宾斯基的三角形行和可构造（带直尺和指南针）的奇数面多边形

对于

n个= 1

到31，我们得到了5已知费马素数，给出的边数可构造的奇边多边形如果没有其他费马素数，那么就没有更多可构造的（使用直尺和指南针）奇边多边形。

行公式

通过归纳可以证明，被解释为二进制数的Sierpiñski三角形的行是不同的费马数(丹顿·休吉尔的身份)

     

[行 (n个)]2 = [     n个 ∑   我  = 0    (( n个 我 )模块2)2 我  ]2 = [     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    F类我   (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2 =

[     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    (2 2 我+ 1) (  ⌊  n个/2 我⌋ 模块2）]2 .

防感应:

• 基本情况：对于行0，我们得到1(空产品)，中不同费马数的乘积{ };

• 归纳假说：假设任何一行

  n个, 0≤n个  ≤   2 k个 −  1,

  是不同费马数的乘积

  {F类0 , ...,F类k个负极1}

  
  

     

[行 (n个)]2 = [     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    F类我   (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模式2）]2 = [     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    (2 2 我+ 1) (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2 ,

那么对于任何一行

2 k个+n个, 0≤n个  ≤   2 k个 −  1,

我们有

     

[行 (2 k个+n个)]2==============================================================[行 (n个)]2[ F类k个  ]2 = [     ⌊  日志2 n个 ⌋ ∏   我  = 0    F类我   (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2[ F类k个  ]2 =

[     k个 ∏   我  = 0    F类我   (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2 = [     ⌊  日志2( 2 k个+n个)⌋ ∏   我  = 0    F类我   (  ⌊  n个  / 2 我⌋ 模块2）]2 .

作为特殊情况，行

2 n个,n个  ≥  0,

给

F类n个

，的

n个

第个 费马数.

序列

A006943号西尔宾斯基三角形(帕斯卡三角形mod 2)行。

{1, 11, 101, 1111, 10001, 110011, 1010101, 11111111, 100000001, 1100000011, 10100000101, 111100001111, 1000100010001, 11001100110011, 101010101010101, 1111111111111111, 10000000000000001, 110000000000000011, 1010000000000000101, ...}

A047999号西尔宾斯基三角形（或Sierpinski垫圈)：三角形，按行读取，通过读取形成帕斯卡三角形mod 2.

{1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, ...}

A001317号Sierpinski的三角形（Pascal的三角形mod 2）行转换为十进制。(

n个≥0

)

{1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, ...}

另请参见

• 帕斯卡三角形

外部链接

• 安蒂·卡图恩,斐波那契表示中的帕斯卡三角模2,斐波纳契季刊，第42卷第1期，2004年2月。