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黎曼ζ函数

来自OeisWiki
(重定向自Riemann-zeta函数)
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伯恩哈德·黎曼,在他1859年的著名论文中,[1][2]继续分析欧拉zeta函数总的来说复平面(单极命令除外1
s=1
,对应于发散调和级数). 因此被称为Riemann-zeta函数
ζ (s)
,其中
s= ℜ(s) +ℑ(s) =σ+t
(这个符号是在他的论文中介绍的)。

解析延拓

临界带右边的解析延拓

以下无穷级数收敛于所有复数
s
具有实部大于1,并定义
ζ  (s)
在右边的复杂平面上临界带,即
σ>1
,
ζ  (s):=
n
  
1
n  s
 = 
p
p首要的
p
p首要的
  
p  s
p  s−1个
 = 
p
p首要的
p
p首要的
  
1
1−
1
p  s
, ℜ(s)>1,
在哪里,在哪欧拉积(对于Riemann-zeta函数),乘积被接管素数
p
.

临界带内的解析延拓

在临界带内,即
0<σ<1个
,我们可以使用[3]
ζ  (s)  = 
2s  - 1
2s  - 1−1个
η (s)  = 
1
1−2个s
η (s)  = 
1
1−2个s
n
  
(−1)n +1
n  s
, 0<ℜ(s)<1,
哪里
η (s)
迪里克莱特η功能(欧拉交替zeta函数)(会聚为
ℜ (s)>0
)
η (s):=
n
  
(−1)n +1
n  s
,  ℜ(s)>0。

临界带左边的解析延拓

在临界带的左边,即
σ<0
,我们可以使用函数方程
ζ  (s)  = 2sπ  s  - 1
π  s
2
  Γ(1−s)
ζ  (1−)s),  ℜ(s)<0,
它揭示了平凡零点对于负偶数整数,因为
罪( 
π  s
2
)=0
平分
s
.

积分公式

所有复数的Riemann-zeta函数
s
用真实的部分
σ>1
,由积分给出
ζ  (s)  = 
1
Γ(s)
0
t  s  - 1
et−1个
dt,  ℜ(s)>1,
哪里
Γ(n)
伽马函数.

Riemann-zeta函数的Laurent展开

关于Riemann-zeta函数的Laurent展开
s=1
ζ  (s)  = 
1
s−1个
+
n   = 0
  
(−1)n
n!
γn(s−1个)n = 
1
s−1个
+γ+
n
  
(−1)n
n!
γn(s−1个)n,
其中 
γ=γ0
欧拉-马斯切罗尼常数
γn
Stieltjes常数,有时称为广义欧拉常数.

因为

ζ  (s) −
1
s−1个
 = γ,
这意味着 
γ0=γ
.

非负整数的Riemann-zeta函数

负偶数整数的非齐次函数

负的Riemann-zeta函数偶数整数0(这些是平凡零点里曼-泽塔函数)。

负rienona函数偶数整数由(注意
ζ  (0)= - 
1
2
是唯一的有理数对于非负偶数整数)
ζ(二)n) = (−1)n +1
22 n − 1 B2 nπ 2 n
(二)n)!
, n≥0,
哪里
Bn
伯努利数. 的值
ζ(二)n),n大于或等于,
超越数(一)有理数时代
π 2n
).
偶整数的Riemann-zeta函数
2 n
ζ(2)n)

n≥0
十进制展开
(十进制数字序列)
A-编号
0
 −  
1
2
 − 0.5
{5}
 
2
π 2
6
1.644934066848264436472415166646。。。
{1,6,4,4,9,3,4,0,6,6,8,4,8,2,2,6,4,3,6,4,7,2,4,1,5,1,5,6,6,6,2,5,1,8,9,2,4,9,9,0,1,2,0,6,7,9,8,4,3,7,5,5,…}
A013661号
4
π 4
90
1.082323233711138191516003696541。。。
{1,0,8,2,3,2,3,2,3,7,1,1,1,3,8,1,9,1,5,1,6,0,0,3,6,9,6,4,1,1,6,7,9,0,2,7,7,4,7,5,0,9,5,1,9,1,8,7,2,6,9,0,7,6,8,2,9,7,…}
A013662号
6
π 6
945
1.0173430619844491397145179297909。。。
{1,0,1,7,3,4,3,0,6,1,9,8,4,4,4,9,1,3,9,0,9,2,0,5,2,7,9,9,9,9,9,2,0,5,2,7,9,0,1,8,1,7,4,9,0,3,2,8,5,3,5,6,1,8,4,4,0,…}
A013664号
8
π
9450
1.004077356197944339378685238508。。。
9,6,6,0,9,0,9,0,9,0,6,6,0,6,0,9,0,6,6,0,6,0,6,6,0,6,0,6,0,6,6,0,6,0,8,0,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,0,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,6,0,6,0,6,6,0,6,6,0,6,0,6
A013666号
10
π 10
93555
1.0009945751278180853371459589003。。。
{1,0,0,0,9,9,4,5,7,5,1,2,7,8,1,8,0,8,5,3,7,1,4,5,9,5,8,9,0,3,1,9,0,1,7,0,0,6,0,1,9,5,3,1,5,6,4,7,7,7,5,1,7,2,5,7,8,…}
A013668号
12
π 12
638512875
1.0002468065533080482986379980477。。。
{1,0,0,0,2,4,6,0,8,6,5,5,3,3,0,8,0,4,8,2,9,8,6,3,6,7,9,8,8,7,3,9,6,7,0,9,6,0,4,1,6,0,8,4,4,5,8,4,5,8,0,0,3,4,4,…}
A013670型
14
π 14
18243225
1.00006124813505870482925854510513。。。
{1,0,0,0,0,6,1,2,4,8,1,3,5,0,5,7,0,4,8,2,9,2,5,8,5,5,1,1,0,5,1,3,5,3,3,3,7,4,7,8,1,6,9,6,1,6,9,1,5,4,5,4,4,4,8,2,7,5,…}
A013672号
16
π 16
325641566250
1.0000152822594086518717325714876367。。。
1,7,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,1,2,0,8,0,8,0,1,2,0,8,0,8,0,8,0,0,1,0,2,0,8,0,1
A013674号
18
π 18
38979295480125
100000 38172932424989838564616446219。。。
9,6,6,6,6,6,6,6,0,9,0,9,4,6,6,0,9,4,6,0,9,4,6,6,4,6,6,4,6,0,9,4,0,9,4,6,0,9,4,6,6,6,4,6,0,9,4,6,0,9,4,0,9,4,6,4,6,6,6,4,6,6,6,0,6,6,4,6,6,6,0,6,6,6,4,6,6,6,0,6,6,6,4,6,6,6,6,0,6
A013676号
20
π二十
1531329465290625
1.000000953962033872796131520386834。。。
{1,0,0,0,0,0,9,5,3,9,6,2,0,3,3,8,7,2,7,6,1,1,3,5,2,0,3,8,6,8,3,4,4,9,3,4,5,9,4,3,7,9,4,3,7,4,1,0,5,9,9,3,7,5,0,5,…}
A013678号

非负偶数整数Riemann-zeta函数的母函数

偶数zeta常数,
ζ(二)n),n≥0
,拥有生成函数
G{ζ(二)n)}():=
n   = 0
  
ζ(二)n) 2 n =  −
π  
2
cot (π  )  =  −
1
2
+
π 2
6
 2+
π 4
90
 4+
π 6
945
 6+,
哪里
cot (π ))
余切功能。
ζ(二)n)
π 2 n
,n≥0,
拥有生成函数
G{
ζ(二)n)
π 2 n
}
():=
n   = 0
  
ζ(二)n)
π 2 n
 2 n =  −
2
童床= −
1
2
+
1
6
 2+
1
90
 4+
1
945
 6+,
哪里
童床
余切函数。

非负奇整数的Riemann-zeta函数

的Riemann-zeta函数奇整数没有已知的闭式公式。不知道这些值是否不合理的(除了阿佩里常数
ζ(三)
,证明不合理收到了)更不用说了超验的.

非负奇整数的Riemann-zeta函数(除了1,在那里我们有秩序1)由积分给出

ζ(二)n+(一)=
1
(二)n)!
0
t  2 n
e  t−1个
dt, n≥1。
奇整数的Riemann-zeta函数
2 n+1
ζ(2)n+(一)

n≥0
十进制展开
(十进制数字序列)
A-编号
1
(第1级)

(这是Riemann-zeta函数的1阶唯一极点)(
ζ(一)
给予调和级数)
 
1
2个!
0
t 2
e  t − 1
dt
1.202056903159594853997381615114。。。
{1,2,0,2,0,5,6,9,0,3,1,5,9,5,2,8,5,3,9,9,7,3,8,1,6,1,5,1,1,4,9,9,9,0,7,6,4,9,8,6,4,9,2,3,4,0,4,9,9,8,1,7,9,2,2,7,…}
A002117型
5
1
4个!
0
t 4
e  t − 1
dt
1.036927755143369926331365486457。。。
{1,0,3,6,9,2,7,7,5,5,1,4,3,3,6,9,2,6,3,3,1,3,6,5,4,8,6,4,5,7,0,3,4,1,6,8,0,5,7,0,8,0,9,5,0,1,9,1,1,2,8,1,1,9,7,4,1,9,…}
A013663号
7
1
6个!
0
t 6
e  t − 1
dt
1.00834927738192282683977549849。。。
{1,0,0,8,3,4,9,2,7,7,3,8,1,9,2,2,8,2,6,8,3,9,7,7,7,5,4,9,9,7,9,6,7,5,9,5,9,8,6,3,5,6,0,5,6,5,5,5,2,3,8,7,0,6,4,1,7,2,2,…}
A013665号
9
1
8个!
0
t
e  t − 1
dt
1.00200839282608221447852769232。。。
{1,0,0,2,0,0,8,3,9,2,8,2,6,0,8,2,2,1,4,4,1,7,8,5,2,7,6,9,2,3,2,4,1,2,0,6,0,8,5,6,0,5,8,5,1,3,9,4,8,8,8,7,5,6,5,4,8,5,9,…}
A013667号
11
1
10个!
0
t 10
e  t − 1
dt
1.000494188604119464558702282526。。。
{1,0,0,0,4,9,4,1,8,8,6,0,4,1,1,9,4,6,4,5,8,7,0,2,2,8,2,5,2,6,4,6,9,3,6,4,6,6,6,0,6,4,3,5,7,5,8,2,0,8,6,1,7,1,9,1,4,…}
A013669号
13
1
12个!
0
t 12
e  t − 1
dt
1.000122713347578489146751836526。。。
{1,0,0,0,1,2,2,7,1,3,3,4,7,5,7,8,4,8,9,1,4,6,7,5,1,8,3,5,2,6,3,5,7,3,9,5,7,1,4,2,7,5,1,1,0,5,8,9,5,5,0,9,8,4,5,1,3,6,7,0,…}
A013671型
15
1
14号!
0
t 14
e  t − 1
dt
1.000030588236307020493551728510。。。
{1,0,0,0,0,3,0,5,8,8,2,3,6,3,0,7,0,2,0,4,9,3,5,5,1,2,8,5,1,0,6,4,5,0,6,2,5,8,7,6,2,7,9,4,8,7,0,6,8,5,8,1,7,5,0,0,6,5,6,…}
A013673号
17
1
16号!
0
t 16
e  t − 1
dt
100000 7637197637899762273600293。。。
{1,0,0,0,0,7,6,3,7,1,9,7,6,3,7,8,9,9,7,6,2,2,7,3,6,0,0,2,9,3,5,6,3,0,2,9,2,1,3,0,8,2,4,9,0,9,0,6,2,6,6,6,6,6,6,7,9,9,9,5,3,7,…}
A013675号
19
1
18岁!
0
t 18
e  t − 1
dt
100000 1908212716553938925695779。。。
{1,0,0,0,0,1,9,0,8,2,1,2,7,1,6,5,5,3,9,9,2,5,6,5,5,7,7,9,5,1,0,1,5,5,5,5,5,5,7,1,4,4,8,3,8,8,8,8,6,3,0,2,3,5,9,3,…}
A013677号

零点

平凡零

Riemann-zeta函数的平凡零点是复数具有实部对应于负偶数整数:

{-2,–4,–6,–8,–10,–12,–14,–16,–18,–20,–22,–24,–26,–28,–30,–32,–34,–36,–38,–40,–42,–44,–46,–48,–50,–52,–54,–56,–58,–60,–62,–64,–66,–68,–70,–72,–74,–76,–78,–80

非平凡零

除了平凡的零(甚至是负整数),Riemann-zeta函数在临界带 0<σ<1个由线条分隔σ=0σ=1(零也不能“太靠近”这些线)。此外,非平凡零点是关于实轴对称的临界线 σ=1/2根据黎曼假设,他们都在排队σ=1/2.
这个非平凡零关于Riemann-zeta函数[2]出现在临界带
0<σ<1个
s = σ+t, 0<σ<1,
如果零出现在
ϵ  ≠ 0
)通过临界线反射(对应于实部
1
2
)
s =  ( 
1
2
±ϵ ) +t, 0≤ϵ<
1
2
,

以及它们的共轭物

 =  ( 
1
2
±ϵ ) −t, 0≤ϵ<
1
2
.
所有已知的Riemann-zeta函数的非平凡零点实部
1
2
. Riemann-zeta函数可以用非平凡零点表示为(注意阶的极点1
s=1
)
ζ  (s) =
π  s / 2
s (s−1)Γ( 
s
2
)
 
ρ
ρ
  
 1−
s
ρ
   =
π  s / 2
s (s−1)Γ( 
s
2
)
 
ρ: ℑ( ρ)  > 0
ρ: ℑ( ρ)  > 0
  
 
| ρ |
 2−2 s ℜ( ρ) +s 2
| ρ |
 2
  ,
哪里
Γ(s)
伽马函数,和
ρ
是一个非平凡零(注意,对于每个非平凡零
ρ
在复平面的上半部分,我们有一个对应的零
̅ρ
,其复共轭,在复杂平面的下半部分。

黎曼假设

在他1859年的著名论文中,[1]Bernhard Riemann提出了这个猜想(作为一个假设条件证明在数论中)

假设(Riemann假说,1859年)。 (黎曼)

所有的非平凡零点都有实部
1
2
,即。
s =  ( 
1
2
±ϵ ) + t, ϵ=0。
由于许多“条件证明”假设了猜想的真实性,因此被称为黎曼假设. 非平凡的零揭示了素数分布:非平凡零的实部越接近
1
2
,质数分布越规则。

非平凡零表

Riemann-zeta函数的前100个(非平凡的)零,精确到小数点后1000位以上.[4]

非平凡零表[5]
n
虚部(基10)的
n
非平凡零(实数轴上方)
OEIS
1 14.134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149。。。 A058303号
2 21.022039638771554992628479593896902777334340524902781754629520403587。。。 A065434号
25.01085758014568876632137909256282188659549672557996672496542006745。。。 A065452型
4 30.424876125859513210311897530584091320181560023715440180962146036993。。。 A065453号
5 32.935061587739189690662368964074903488812715603517039009280003440784。。。 邮编:A192492
6 37.5861781588256712572177634807053328140559735083079321833300113622。。。
7 40.918719012147495187398126914633254395726165962777279536161303667253。。。
8 43.327073280914999519496122165406805782645668371836871446878893685521。。。
9 48.0051508811671597279424727494275160416868440114425117775312519814。。。
10 49.773832477672218191678467856372405772317829967662100781955750433。。。
11 52.9703241477714460644147296608880990063825017888821224779900748140317。。。
12 56.4462476970633948043677759476706127552782264471716631845450969843958。。。
13 59.34704400260235307965364674992219031098772806466669698122451754746。。。
14 60.831778524609809844259901824524003802910090451219178257101348824808。。。
15 65.11254404808160666087505425318370529348149295166722405966501086675。。。
16 16758554167848954299574875169957。。。
17 69.546401711173979268575265547384430124742096025101573245353999663。。。
18 72.06715767448190758252210796982616839048090621456697086683306151488。。。
19 75.704690699083933168326916762030345922811903530697400301647775301574。。。
20 77.14484006887480537268266485630463701579603244923461041765231453151。。。
21 79.3373750202493679227635928711628190613246743122003087438738720497101。。。
22 82.91038085408603018316483749477060949750880593782149146571306283235。。。
23 84.7354929805170501057353112068277417106627934240818702735529689045。。。
24 87.425274613125229406531667850919213252171886401269028186455557938439。。。
25 88.809111207634465423682348079509378395444893409818675042199871618814。。。
26 92.49189927055842962597252418106848872179407306646175096750489181。。。
27 94.651344040519886966597925815208153937728015654852209592474274513。。。
28 95.8706342282453097587741029219246781695256461224987998420529281651651。。。
29 98.831194218193692233324420138622327820658039063428196102819321727565。。。
30 101.31785100573139122878544794029230890633286638430089479992831871523。。。
31 103.725538040478339416398840810869528083448117306949576451988516579403。。。
32 105.4466230523260944936708241411180899728275392853513848056944714118。。。
33 107.1686111842764075151233519630861912134767088140476527926471042155。。。
34 111.02953554316967454564030994435041534596839007305684619079476550。。。
35 111.87465917699263708561207871677059496031174987338381661941961969。。。
36 114.320220915452712765890937276191079809917657723889228772843104130。。。
37 116.2266803208575543821608043120647551273298512323832202838626423124147。。。
38 118.7907828659762173297913970269982434730621059280938278419371651419。。。
39 121.37012500242064591894553297049992272230131063172874230257513263573。。。
40 122.94682929355258820081746033077001649621438987386351721195003491528。。。
41 124.256818554345767184732007966129924441573538774693561140355507691395。。。
42 127.51668387959649512427932776690607626808830988155498248279977930068。。。
43 129.57870419995605098576803906179973608640953264659493103047083999886。。。
44 131.08768853093265672356637246150134905920354750297504538313992440777。。。
45 133.4977372029975864501304920426406766497417494390467501510225885516。。。
46 134.756509753337387133132606415716973617839606861364716441697609317354。。。
47 138.1160420545334432001915551902824478583527462414623568534482856865。。。
48 邮编:9000136255451393,邮编:33085258395。。。
49 141.1237074040211237619403538184753550900660879747676203210466509596。。。
50 143.11184580762063273940512386891392996623310243035463254859852295728。。。

与非平凡零相关的序列

A002410 最接近的整数想象的部分
n
-Riemann-zeta函数的零点。
{14,21,25,30,33,38,41,43,48,50,53,56,59,61,65,67,70,72,76,77,79,83,85,87,89,92,95,96,99,101,104,105,107,111,112,114,116,119,121,123,124,128,130,131,133,135,138,…}

A013629号 地板关于Riemann-zeta函数零点的虚部。

{14、21、25、30、32、37、40、43、48、49、52、56、59、60、65、67、69、72、75、77、79、82、84、87、88、92、94、95、98、101、103、105、107、111、111、114、116、118、121、122、124、127、129、131、133、134、138,…}

A092783号 天花板关于Riemann-zeta函数零点的虚部。

{15、22、26、31、33、38、41、44、49、50、53、57、60、61、66、68、70、73、76、78、80、83、85、88、89、93、95、96、99、102、104、106、108、112、112、115、117、119、122、123、125、128、130、132、134、135、139,}
A135297号上的Riemann-zeta函数零点数临界线,小于
n
.
{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,8,9,10,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,14,14,14,14,15,16,…]
邮编:A161914Riemann-zeta函数的非平凡零点之间的间隙,四舍五入到最接近的整数,使用
 (1)=14
.
{14、7、7、4、5、3、5、3、5、3、2、5、2、2、2、3、3、3、3、3、1、1、4、2、2、3、4、1、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、4、1、1、2、2、2、1、3、2、2、1、3、2、2、1、3、3、2、1、3、3、3、2、2、3、2、2、1、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2 3,1,2,…}

邮编:A124288Riemann-zeta函数不稳定零点的指数。

{1、3、6、9、13、17、21、26、30、33、40、44、50、54、61、67、70、78、79、90、93、101、109、112、117、124、134、139、147、149、153、165、167、175、186、189、197、201、214、218、219、234、235、240、253、255,…}

邮编:A124289不稳定双胞胎:连续数对邮编:A124288(Riemann-zeta函数不稳定零点的指数)。

{78,79,218,219,234,235,299,300,370,371,500,501,}
A100060号考虑临界线上Riemann-zeta函数的非平凡零点,
1
2
+t
.
 (n)
表示虚部的第二个差是正的(用1)用(或表示0).
{1、0、0、1、0、1、0、0、0、1、0、1、0、1、1、0、0、0、0、1、1、1、1、1、0、1、1、1、0、1、1、1、0、0、0、0、1、1、1、0、1、1、0、1、1、1、1、1、1、1、1、0、0、1、1、0、0、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、0、1、1、0、1、0、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、1、0、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1 0,1,0,…}
A117537号这些是Riemann-zeta函数连续零点的中点位置临界线连续的、连续的、间隔越来越大的零的等价物Z功能. 如果
t
s
的连续零
Z
函数,我们将它们的规范化间距定义为
s − t
2 π对数
s+t
4 π
. 从上面的顺序可以找到
r=
日志2
2 π
 ⋅  
s+t
2
四舍五入到最接近的整数。这些价值观
r
具有接近整数值的明显趋势,并且上述序列的所有项实际上都包含在区间中
日志2
2 π
 ⋅  [s,t]
.
{2,3,5,7,12,19,31,46,53,72,270,311,954,1178,1308,1395,1578,3395,4190,}

Riemann-zeta函数的绝对值

Riemann-zeta函数绝对值沿临界线的峰值

A117536号这些是Riemann-zeta函数绝对值越来越大的峰值的位置临界线. 相当于,绝对值的峰值越来越大的位置
Z
实数递增函数
t
. 如果
Z(s)=0
是的导数的正零
Z
,那么
| Z (s) |
是峰值。我们重新规范化
s
通过
r=s ⋅  
日志2
2 π
四舍五入到最接近的整数得到序列项。这些值的小数部分不是随机分布的;
r
显示出接近整数的强烈趋势。
{0,1,2,3,4,5,7,10,12,19,22,27,31,41,53,72,99,118,130,152,171,217,224,270,342,422,441,494,742,764,935,954,1012,1106,1178,1236,1395,1448,1578,2460,2684,3395,5585,}
A117538年Riemann-zeta函数绝对值积分在临界线上连续零点之间的增加峰值的位置。这也可以定义为
Z
功能;如果
s
t
是重整化的连续零
Z
功能,
z () =
2 π
日志2
 ⋅  Z ()
,然后取
s
t
属于
| Z (s) |
. 对于该积分的每一个连续较高的值,整数序列的相应项为
r=
s+t
2
四舍五入到最接近的整数。
第十七、第一百七十三、第一百七十三、第一百七十三、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十八、第一百七十

另请参见



笔记

  1. 1 1.1 本尼塞尔蒙纳泽尔,阿桑蒂尔。克尼格尔。普雷乌斯。阿卡德。威斯。柏林,671-680,1859年11月。
  2. 2 2.1 里曼1859年的手稿,克莱数学学院2010。
  3. 因为
    ζ  (s) −η (s)  = 
    n
      
    1
    n  s
    +
    n
      
    (−1)n
    n  s
     = 
    2 
    k
      
    1
    (二)k )s
     = 2s
    n
      
    1
    n  s
     = 2s ζ  (s),
    因此
    ζ  (s)  = 
    1
    1−2个s
    n
      
    (−1)n +1
    n  s
    , ℜ(s)>0。
    请注意解析延拓总是独一无二的。
  4. 安德鲁M.奥德莱兹科,Riemann-zeta函数的前100个零,精确到小数点后1000位以上,由计算得出安德鲁M.奥德莱兹科他曾在美国电话电报公司实验室研究所工作。
  5. 经许可从上述文件中提取的数据安德鲁M.奥德莱兹科.

工具书类

  • 伯恩哈德·里曼,关于小于给定量的素数,柏林圣母院,1859年11月。

外部链接