有理数

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有理数是可以表示为二的比率的数字整数.如果 

一

和 

b条,b条  ≠   0,

都是整数，那么它们的比率，表示为 

一  ⁄  b条

或 

一 b条

，是一个有理数。例如，分数 

−   125 37

和整数 

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都是有理数。 

π

另一方面，它不是一个有理数。

有理数，是代数数阶数为1的整数系数非恒定线性方程的根

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{a_{1} x个+a{0}=0，}\结束{数组}}{1} x个+a{0}=0，}\结束{数组}}$

哪里 

一1,一0∈ ℤ,一1≥1

有理数，由指定 

ℚ

，是可以表示的数字，单位为简化形式，作为比率共两个互质整数，或者更具体地说是分开的整数称为分子由正整数称为分母。给定一个分数，作为 

分子 分母

比率，我们可以使用欧几里德算法以获得GCD公司找出这两个数字是否互质，否则使它们互质。

有理整数

有理整数(代数整数1度）是一元论的具有整数系数的线性多项式

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{x+a{0}{\！\，\！}，}\end{arrays}}}$

哪里 

一0∈ ℤ

.他们是普通人整数（即 

ℤ

 ).

底座b条有理数的展开式

底座 

b条

例如，有理数的扩张最终是周期性的（参见 

π

近似值）

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displaysyle{{\frac{22}{7}}=3+{\frac{1}{7{}}=3+3+{\frac{142857}{999999}}=3+{\frac:142857{{1000000}}左（{\frac-{1}{1-{\frac/1}{1000000{}}}右）=3+142857\sum_{n=1}^{不完全}1000000^{-n}=3.14285714285714285714287142857142857\ldot，}\end{array}}}$

我们在那里使用几何级数求和公式

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{{\frac{1}{1-r}}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}，\quad\vertr\vert<1.}\end{arrays}}}$

长除法给出了上述十进制展开式，但没有明确强调十进制展开中涉及的几何级数。

相反，任何数字 

n个=a.bcccccc…

具有最终周期表示，其中 

a.b公司

是周期前前缀 

c（c）

是周期模式，是有理的。例如，以10为基数（相同的原理适用于任何固定基数 

b条

):

$显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{90n=100n-10n={mbox{abc.ccccc…}}}-{mbox{ab.ccccc…}}={mbax{abc}}-}，}\end{array}}}$

因此 

n个

是以下有理数

$｛\displaystyle｛\begin｛array｝｛l｝\displaystyle｛n＝｛\frac｛\box｛abc｝-｛\box｛ab｝｝｛90｝｝。｝\结束{数组}}\结束{数组}}$

双重表示和标准形式

任何有理数分母与固定基数不互质 

b条

用于表示有两种表示，因为 

1 = 1.00000000…= 0.9999999999…

以10为基数（或同等基数 

b条

). 考虑到 

n个= 0.9999999…

暗示

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{9n=10n-n=9.99999999\ldots-0.9999999\ldots=9，}\end{arrays}}}$

因此

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displastyle{n=1.}\end{arrays}}}$

这个标准格式基础 

b条

有理数的展开需要只保留重复的零表示（并放弃重复的九表示）。

底座b条无理数的展开式

无理数的展开在任何基中都不是周期性的。 

π

，大约 

3.1415926535897932384626433832795…

，不是有理数，因此是不合理的但有过多的有理[[pi近似| 

π

近似值]]，以及唯一的最优值 

π

近似，[[pi收敛| 

π

收敛]]（部分[[pi的连分式| 

π

]]).

有理数的连分式

所有的有理数的连分式是有限的（参见类别：有理数的连分数).

有理数的分级排序

有理数（in简化形式) 

一 b条 ,一∈ ℤ，b条∈ ℤ+ ,

可以使用分级排序，其中我们首先通过增加总和进行排序 

| 一 | + | b条 |

属于绝对值属于分子和分母对于所有简化形式的有理数，即 

gcd（分子、分母）=1

（排序的第一个分级），然后通过增加分子 

| 一 |

对应于该等级。这是有理数的康托排序，给出一对一和到映射来自自然数有理数，从而表明有理数可数无限.

辛泽尔猜想

假设Schinzel-Sierpinski猜想，每个正有理数都可以用无数种方式表示为

$显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{{\frac{a}{b}}={\frac{p+1}{q+1}}}\end{array}}}$

和

$显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{{\frac{a}{b}}={\frac{p-1}{q-1}}，}\end{array}}}$

具有 

第页

和 

q个

首要的.

代数数中的有理数

1. 有理数：一阶代数数（有理数整数：一阶代数整数）
2. 二次方数字：二次代数数(二次整数：二阶代数整数）
3. 立方数字：三次代数数(三次整数：三阶代数整数）
4. 四次方数：四次代数数(四次整数：四阶代数整数）
5. 五次数：五次代数数(五次整数：五次代数整数）
6. ...

另请参见

• 无理数

• 代数数
  • 有理数
  • 二次方数字
  • 立方数字
• 超越数

• OEIS分数索引

• 订单