有理数的置换

此文章页面是树桩，请帮助展开它。

---

A类有理数的置换是一个双射(一对一及以上映射）从已订购（英寸升序)一套，共套有理数 ${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}\，}$以不同的方式（如果不是身份置换)订购（或秩序井然，因此订购自从可数的，或者不是有序的）有理数集。

这个身份置换有理数的一个有序集是秩序不好（因此OEIS中不允许)自

• 有理数没有前导项；
• 有理数没有后继数；
• 没有第一个有理数。

为了在OEIS中被接受，有理数的排列必须具有一对一及以上与正整数集的对应（可数）。通过发现正有理数的这种排序，康托证明了可数性正有理数的概率，以及理性数的概率。

从正有理数的康托排序（参见。A020652号（n）/A020653号（n） ，n≥1）

{1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1, 1/7, 3/5, 5/3, 7/1, ...}

可以获得以下内容有理数的排序

{0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/1, -2/1, 1/3, -1/3, 3/1, -3/1, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4/1, -4/1, 1/5, -1/5, 5/1, -5/1, 1/6, -1/6, 2/5, -2/5, 3/4, -3/4, 4/3, -4/3, 5/2, -5/2, 6/1, -6/1, 1/7, -1/7, 3/5, -3/5, 5/3, -5/3, 7/1, -7/1, ...}

给出分子序列（Cf.A？？？？？？（0）=0，A？？？？？？（n） =（-1）^（n+1）*A020652号（楼层（n+1）/2），n≥1）

{0, 1, -1, 1, -1, 2, -2, 1, -1, 3, -3, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 1, -1, 5, -5, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 1, -1, 3, -3, 5, -5, 7, -7, ...}

和分母（Cf.A？？？？（0）=1，A？？？？？？（n）=A020653号（楼层（n+1）/2），n≥1）

{1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 7, 7, 5, 5, 3, 3, 1, 1, ...}

像这样的序列是已知的排列（此外，它们是订购自从可数的)因为它们是如此定义的。某些序列出现在其他问题中，并被证明是置换（如果可数，则为序）。在找到重复项之前，其他项被推测为排列(反例)然而，只有证据才能排除术语不出现的可能性。

然而，任何定义明确的有理数双射（即置换）都可以在OEIS中记录为有理数双射的签名置换基于任何一对一以及理性和自然数之间的映射，例如正有理数的康托排序上面提到过，或者更优雅高效（计算方面），通过Stern-Brocot树或其任何变体。

有理数的置换

请参见有理数的排序对于可数的有理数的排列。

非负有理数的置换

请参见非负有理数的排序对于可数的非负有理数的置换。

示例

这些示例必须是可数的（排序），否则它们将不在OEIS中！

A002487号斯特恩双原子级数（或斯特恩-布罗科特序列）：a（0）=0，a（1）=1；当n>0时：a（2*n）=a（n），a（2xn+1）=a（n）+a（n+1）。

{0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, ...}

a（n）/a（n+1）只运行一次所有约化非负有理数[Stern；Calkin and Wilf]

正有理数的置换

请参见正有理数的排序对于可数的正有理数的排列。

有理数的保序排列

有理数置换的一个重要子群是有理数的保序排列.它由这些排列组成${\显示样式\脚本样式p\，}$尊重任意两个有理数的原始顺序的有理数${\displaystyle\scriptstyler，\，s\，\in\，\mathbb{Q}\，}$也就是说，${\显示样式\脚本样式r\、\leq\、s\、\iff\、p（r）\、\leq \，p（s）\、}$。它是寡形置换群.

与整数集相反${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}\，}$，其中唯一的订单预留排列是转换（带有常量整数项），即。

${\显示样式p（z）\，：\，z\，\rightarrow\，z+b，\quad b\，\in\，\mathbb{z}，\，}$

有理数，因为${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}\，}$是一个稠密集，允许许多其他类型的顺序保护（即严格递增（离散拐点处的一阶导数为正或为零）一对一和代数映射${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}\，\to\，\mathbb{Q}\，}$例如，线性地图${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}\，\to\，\mathbb{Q}\，}$(${\显示样式\脚本样式a\，=\，1\，}$给出前一个案例）

${\显示样式p（q）\，：\，q\，\rightarrow\，aq+b，\quad a\，\in\，\mathbb{q}_{+}，\，b\，\in$

是有理数的保序排列，更一般地说，也是

${\显示样式p（q）\，：\，q\，\rightarrow\，\left（\sum_{i=1}^{n} 一个_{2i-1}\，q^{2i-1}\右）+a_{0}，\quad a_{i}\ in \mathbb{q}_{+}\，\cup\，\{0\}{text{for}i\geq1，\，\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \neq 0，\，a_{0}\ in \mathbb{Q}，\，n\in \mathbb{Z}_{+}.\，}{n} 一个_{2i-1}\，q^{2i-1}\右）+a_{0}，\quad a_{i}\ in \mathbb{q}_{+}\，\cup\，\{0\}{text{for}i\geq1，\，\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \neq 0，\，a_{0}\ in \mathbb{Q}，\，n\in \mathbb{Z}_{+}.\，}$

此外，分段函数如

${\显示样式f（x）={\begin{cases}{\frac{x}{（1-x）}}&{\mbox{if}}x<{\frac{1}{2}}\，，\\3-{\ frac{1}}{x}}&}\mbox}if}}{\frac{1{2}{leq x<1\，，\\x+1&{\mpox{if{}}x\geq1\}$

当二叉树旋转应用于Stern-Brocot树（或者只是积极的一面，如果扩展Stern-Brocot树覆盖整个${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Q}\，}$已使用，请参阅A057114号).

有理数的置换（猜想）

(...)

有理数的置换（开放问题）

(...)

另请参见

• 代数数的置换
  • 代数数的排序
• 有理数的置换
  • 有理数的排序
• 非负有理数的置换
  • 非负有理数的排序
• 正有理数的置换
  • 正有理数的排序
• 整数的置换
  • 整数的排序
• 非负整数的置换
  • 非负整数的排序
• 正整数的置换
  • 正整数的排序