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帕斯卡三角形

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Pascal三角是递归产生的一个几何排列,它产生二项式系数.〔1〕它是以法国数学家的名字命名的。布莱斯·巴斯卡(谁研究了17)世纪)在许多西方世界中,尽管其他数学家在他之前在意大利、印度、波斯和中国研究了几个世纪。因此,三角形由其他名称已知,例如塔尔塔利亚三角形在意大利和更早(公元前500年)Yanghui三角在中国。

Pascal三角形的矩形
(数字三角形)
〔2〕
= 0
十五 二十 十五
二十一 三十五 三十五 二十一
二十八 五十六 七十 五十六 二十八
三十六 八十四 一百二十六 一百二十六 八十四 三十六
四十五 一百二十 二百一十 二百五十二 二百一十 一百二十 四十五
十一 十一 五十五 一百六十五 三百三十 四百六十二 四百六十二 三百三十 一百六十五 五十五 十一
十二 十二 六十六 二百二十 四百九十五 七百九十二 九百二十四 七百九十二 四百九十五 二百二十 六十六 十二
= 0 十一 十二

Pascal三角形等边本我们从一个单元(行0)开始,在交错的空(0)单元数组中初始化为1。然后,我们递归地评估细胞作为上述两个交错的总和。三角形因此成长为等边三角形。

Pascal三角形的矩形我们从一个单元(行0)开始,在空的(0)单元的规则数组中初始化为1。然后,我们递归地评估细胞作为左上方的一个和上面的一个的总和。三角形因此成长为一个矩形三角形。

因此,每个行上的最外非零单元被设置为1。所有内部单元必须大于或等于2,并且从行0到等于1的是(Cf.A000 5408)和从行0到大于或等于2的是, the 三角数.

递归规则

Pascal三角递归法则是

或等价地,使用二项式系数表示法。〔1〕

Pascal三角形与二项式系数

Pascal三角形是一张桌子。二项式系数,即展开二项式的系数。

〔3〕〔1〕

哪个是生成函数对于Pascal三角形的行(有限序列)。

Pascal三角列

= 0
十五 二十 十五
二十一 三十五 三十五 二十一
二十八 五十六 七十 五十六 二十八
三十六 八十四 一百二十六 一百二十六 八十四 三十六
四十五 一百二十 二百一十 二百五十二 二百一十 一百二十 四十五
十一 十一 五十五 一百六十五 三百三十 四百六十二 四百六十二 三百三十 一百六十五 五十五 十一
十二 十二 六十六 二百二十 四百九十五 七百九十二 九百二十四 七百九十二 四百九十五 二百二十 六十六 十二
= 0 十一 十二


Pascal三角列给出无穷序列的有限序列

{{ 1 },{ 1, 1 },{ 1, 2, 1 },{ 1, 3, 3,1 },{ 1, 4, 6,4, 1 },{1, 5, 10,10, 5, 1 },{1, 6, 15,20, 15, 6,1 },{ 1,γ,}},{*,γ,}},{*,γ,γ,},…}

生成函数的成员,子序列是

无穷序列的有限序列的拼接给出无限序列(参见)。A000 7318

{ 1, 1, 1,1, 2, 1,1, 3, 3,1, 1, 4,6, 4, 1,1, 5, 10,10, 5, 1,1, 6, 15,20, 15, 6,1, 1, 7,21, 35, 35,21, 7, 1,21, 7, 1,γ,γ,γ,γ,γ,…}

生成函数成员是

Pascal三角列和

相应的有限序列的和给出无穷序列(CF)。A000 0 79

{ 1, 2, 4、8, 16, 32、64, 128, 256、512, 1024, 2048、4096, 8192, 16384、32768, 65536, 131072、262144, 524288, 1048576、2097152, 4194304, 8388608、16777216、…}

和的总和行给出2的权力

对应于评价

这个生成函数

行的部分和Pascal三角,即部分和二项式系数伯努利三角.

Pascal三角列交替符号和

相应的有限序列的交替符号和给出无穷序列(CF.)。A000 0 07

{ 1, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,y,y,y,y,y,y,y,y,…}

交替符号和行给出0的权力(等于1)0为

对应于评价.

生成函数是

Pascal三角列与SL LF FLIN1)多维多面体公式

施勒弗里维数为0的凸多面体的多面体公式是一个推广。笛卡儿-欧拉多面体公式(用于凸多面体属0)大于3的尺寸。〔4〕

行的交替求和内部数等于Euler-PooCaré特征凸的0属的多维多面体,例如

这是0偶数和2奇数

如果我们考虑(选择空顶点集的一种方法)(选择全顶点集的一种方法,即多面体本身),然后我们得到

从而表明这仅仅是不计算选择空顶点集的一种方式和选择全顶点集的一种方式。

Pascal三角形的行列式和数D-(1)维元素N- 1)维单纯形

-维度元素一维单纯形

在0维元素是点的情况下,一维元素是边,二维元素是面,…

Pascal的三角行和素数(和素数幂)?

是最好的GCD在所有的内部细胞中行是.

事实上,似乎是一个素数幂 IFF的所有内部细胞的GCD行是否则是1。(这需要确认……)

GCD的所有内部细胞行为2到12

{ 2, 3, 2,5, 1, 7,2, 3, 1,11, 1,…}(Cf.)A014963

Pascal(矩形)三角形列(或对称对角对角线)和单纯多面体数

(共面多面体)形数三角形 〔2〕
= 0
十五 二十 十五
二十一 三十五 三十五 二十一
二十八 五十六 七十 五十六 二十八
三十六 八十四 一百二十六 一百二十六 八十四 三十六
四十五 一百二十 二百一十 二百五十二 二百一十 一百二十 四十五
十一 十一 五十五 一百六十五 三百三十 四百六十二 四百六十二 三百三十 一百六十五 五十五 十一
十二 十二 六十六 二百二十 四百九十五 七百九十二 九百二十四 七百九十二 四百九十五 二百二十 六十六 十二
= 0 十一 十二

的部分和列,建立的条目列,从而初始化维数的单纯多面体数量纲的

的部分和从右边掉到对角线上,建立的条目下降对角线,从而开始维数的单纯多面体数量纲的

这个列给出-维的从右边掉对角线-维)单纯多面体数形成单纯形多面体〔5〕例如

γD=0,F=0 零维单纯数 点数 (1(- 1)-细胞小面) (0单纯形)
γD=1,F=1 一维单纯数 三角GnONIC数 (2个0细胞小面) (1-单纯形)
γD=2,F=2 二维单纯数 三角数 (3个1-细胞小面) (2-单纯形)
γD=3,F=3 三维单纯数 四面体数 (4个2-细胞小面) (3-单纯形)
γD=4,F=4 四维单纯数 五边形数 (5个3细胞小面) (4-单纯形)
γD=5,F=5 5维单纯数 Hexateron数 (6个4细胞小面) (5单纯形)
γD=6,F=6 六维单纯数 七叶皂甙元数 (7个5细胞小面) (六单纯形)
γD=7,F=7 7-维单纯数 八己酮数 (8个6细胞小面) (7单纯形)
γD=8,F=8 8维单纯数 非庚数 (9个7细胞小面) (8单纯形)

其中(- 1)-细胞对应于空集,0个细胞是顶点,1个细胞是边缘,2个细胞是面,等等…

Pascal(矩形)三角形第三列(D=2)或从右(F=2)和平方数下降对角线

在3研发立柱(柱))2个堆叠单元的和给出平方数。

同样,在3研发从右边掉到对角线上()2个堆叠单元的和给出平方数。

Pascal(矩形)三角形上升对角线和斐波那契数

= 0
十五 二十 十五
二十一 三十五 三十五 二十一
二十八 五十六 七十 五十六 二十八
三十六 八十四 一百二十六 一百二十六 八十四 三十六
四十五 一百二十 二百一十 二百五十二 二百一十 一百二十 四十五
十一 十一 五十五 一百六十五 三百三十 四百六十二 四百六十二 三百三十 一百六十五 五十五 十一
十二 十二 六十六 二百二十 四百九十五 七百九十二 九百二十四 七百九十二 四百九十五 二百二十 六十六 十二
= 0 十一 十二


上升对角线(从0开始)对角线)给出无穷序列的有限序列

{{ 1 },{ 1 },{ 1, 1 },{ 1, 2 },{ 1, 3, 1 },{ 1, 4, 3 },{1, 5, 6,1 },{1, 6, 10,4 },{1, 7, 15,10, 1 },{ 10, 1,}},…}

它们各自的总和

{ 1, 1, 2,3, 5, 8,13, 21, 34,55, 89, 144,233, 377, 610,987, 1597, 2584,4181,…}。

哪些是 斐波那契数(Cf.A000 00 45

有限序列的级联无穷序列给出无穷序列(CF.)。A011973

{ 1, 1, 1、1, 1, 2、1, 3, 1、1, 4, 3、1, 5, 6、1, 1, 6、10, 4, 1、7, 15, 10、1, 1, 8、21, 20, 5、1, 9, 28、35, 15, 1、35, 15, 1、γ、…}

Pascal三角形中心单元

中央(或几乎)/准中心奇数元素给出序列(参见)。A000 1405

{ 1, 1, 2、3, 6, 10、20, 35, 70、126, 252, 462、924, 1716, 3432、6435, 12870, 24310、48620, 92378, 184756、352716, 705432, 1352078、2704156, 5200300, 10400600、20058300, 40116600、…}

由公式给出

在哪里?

加泰罗尼亚数(也称为塞格纳数(参见)A000 0108

{ 1, 1, 2、5, 14, 42、132, 429, 1430、4862, 16796, 58786、208012, 742900, 2674440、9694845, 35357670, 129644790、477638700, 1767263190, 6564120420、…}

生成函数是

在哪里?生成函数加泰罗尼亚数

概括

Pascal三角高维推广. 三维版本被称为Pascal锥体Pascal四面体虽然一般版本被称为Pascal的单纯形.

也见

  • A000 7188Pascal三角形的乘法编码:乘积p(i+1)^ c(n,i)。
  • A000 3590列为单个基10个数(序列匹配的前五个项)11的权力一般来说,我们可以说第一。2行写为一个单数给出的权力基地1号.
  • A000 6046第一次奇数条目总数NPascal三角形的行。
  • A000 3015在帕斯卡三角形中出现五次或更多次的数字(在这一点上,不知道任何术语是否恰好出现五次)。



笔记

  1. γ 一点一 一点二 Eric W. Weisstein二项式系数,来自MathWorld。
  2. γ 二点一 Eric W. Weisstein虚数三角形,来自MathWorld。
  3. γ www. vxasftWaRe.com牛顿二项式定理与Pascal Tartaglia三角形.
  4. γ Eric W. Weisstein多面体公式,来自MathWorld。
  5. γ Eric W. Weisstein单纯形,来自MathWorld。

外部链接