分区

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A类隔板的整数

n个

是一个多组（或袋)第页，共页正整数其元素总和为

n个

。这是的累加表示

n个

分区中的一部分有时也称为被加数。的分区集

n个

表示为

P（P） (n个)

. The配分函数

第页 (n个)

给出的分区数为

n个

，这是

第页 (n个)

是基数属于

P（P） (n个)

.

的分区集0是包含空袋子的集合（其总和为空总和 0)

P（P） (0) = {∅} = {｛｝}, 第页 (0) = 1.

的分区集负整数是空集合，因为负整数不是正整数的和

P（P） (n个) = ∅ = { }, 第页 (n个) = 0, n个< 0,

其中配分函数属于负整数在某些配分函数的递归公式中很有用（例如中间配分函数公式）。

定义

一个普通隔板（或线路分区)第页，共页

n个

是一个一维排列正整数

n个0, n个1, n个2, n个三, ⋯

无增加（弱减少）

n个我 +1≤ n个我 ,

总计为

n个

n个 =

我

∑

我

n个我。

相关概念是作文（有时也称为整数合成,有序分区或有序整数分区)第页，共页

n个

.

分区函数

这个配分函数

第页 (n个)

给出的分区数为

n个

.

整数分区的图形表示

费勒图和共轭分划

费雷尔斯图（和Ferrers板）是整数分区其中，隔墙的部分是一排排的点（如果是Ferrers板，则是正方形）。通过交换分区的Ferrers图的行和列，我们得到了它的共轭分区这相当于表示费勒图的点矩阵的转置。例如{4, 4, 2, 1, 1}是{5, 3, 2, 2}.

费雷尔斯图
属于
{4, 4, 2, 1, 1}

●	●	●	●
●	●	●	●
●	●
●
●

费雷尔斯图
属于
{5, 3, 2, 2}

●	●	●	●	●
●	●	●
●	●
●	●

分区树

整数分区可以以自然的方式生成二叉树.^[1] ^[2]

分区的顺序

文章主页：分区的顺序

分级反向词典顺序的分区表

该表符合分级反向词典学分区的排序，也称为分区的“规范”排序。的分区

n个

派生自的分区

n个 − 1

通过添加单个1部分为灰色字体（而非黑色字体）。

分区的“规范”排序[分级反向词典排序]

分区

正整数
表示
(

∏

第页我

, 哪里
零件尺寸

我

⇔

我

第个首要的)
A129129号

总和
共个部件

n个

总和
共^2部分

编号
共个部件

最大的
部分

最小的
部分

｛｝

(空产品) 1

0

{1}

2

1

{2}

三

2

4

1

2

{1,1}

4

2

1

{3}

5

三

9

1

三

{2,1}

6

三

5

2

1

{1,1,1}

8

三

1

{4}

7

4

16

1

4

{3,1}

10

4

10

2

三

1

{2,2}

9

4

8

2

{2,1,1}

12

4

6

三

2

1

{1,1,1,1}

16

4

1

{5}

11

5

25

1

5

{4,1}

14

5

17

2

4

1

{3,2}

15

5

13

2

三

2

{3,1,1}

20

5

11

三

1

{2,2,1}

18

5

9

三

2

1

{2,1,1,1}

24

5

7

4

2

1

{1,1,1,1,1}

32

5

1

{6}

13

6

36

1

6

{5,1}

22

6

26

2

5

1

{4,2}

21

6

20

2

4

2

{4,1,1}

28

6

18

三

4

1

{3,3}

25

6

18

2

三

{3,2,1}

30

6

14

三

1

{3,1,1,1}

40

6

12

4

三

1

{2,2,2}

27

6

12

三

2

{2,2,1,1}

36

6

10

4

2

1

{2,1,1,1,1}

48

6

8

5

2

1

{1,1,1,1,1,1}

64

6

1

{7}

17

7

49

1

7

{6,1}

26

7

37

2

6

1

{5,2}

33

7

29

2

5

2

{5,1,1}

44

7

27

三

5

1

{4,3}

35

7

25

2

4

三

{4,2,1}

42

7

21

三

4

1

{4,1,1,1}

56

7

19

4

1

{3,3,1}

50

7

19

三

1

｛3,2,2｝

45

7

17

三

2

{3,2,1,1}

60

7

15

4

三

1

{3,1,1,1,1}

80

7

13

5

三

1

｛2，2，1｝

54

7

13

4

2

1

{2,2,1,1,1}

72

7

11

5

2

1

{2,1,1,1,1,1}

96

7

9

6

2

1

{1,1,1,1,1,1,1}

128

7

1

{8}

19

8

64

1

8

{7,1}

34

8

50

2

7

1

{6,2}

39

8

40

2

6

2

{6,1,1}

52

8

38

三

6

1

{5,3}

55

8

34

2

5

三

{5,2,1}

66

8

30

三

5

1

{5,1,1,1}

88

8

28

4

5

1

{4,4}

49

8

32

2

4

{4,3,1}

70

8

26

三

4

1

{4,2,2}

63

8

24

三

4

2

{4,2,1,1}

84

8

22

4

1

{4,1,1,1,1}

112

8

20

5

4

1

{3,3,2}

75

8

22

三

2

{3,3,1,1}

100

8

20

4

三

1

{3,2,2,1}

90

8

18

4

三

1

{3,2,1,1,1}

120

8

16

5

三

1

{3,1,1,1,1,1}

160

8

14

6

三

1

{2,2,2,2}

81

8

16

4

2

{2,2,2,1,1}

108

8

14

5

2

1

{2,2,1,1,1,1}

144

8

12

6

2

1

{2,1,1,1,1,1,1}

192

8

10

7

2

1

{1,1,1,1,1,1,1,1}

256

8

1

分区的正整数表示

分区的“规范”排序[分级反向词典排序]
正整数表示(

∏

第页我

, 其中零件尺寸

我

⇔

我

第个首要的)

n个

的分区

n个

（正整数表示）*
的分区

n个

具有偶数整数表示的是斜体字**
A129129号（连接的行）

的分区

n个

具有奇数表示

第页 (n个)

A000041号

0

1

2

1

2

三，4

三

2

三

5,6,8

5

三

4

7,10, 9,12,16

第7页，第9页

5

11,14, 15,20,18,24,32

11, 15

7

6

13,22, 21,28, 25,30,40, 27,36,48,64

13, 21, 25, 27

11

7

17,26, 33,44, 35,42,56,50, 45,60,80,54,72,96,128

17, 33, 35, 45

15

8

19,34, 39,52, 55,66,88, 49,70, 63,84,112, 75,100,90,120,160, 81,108,144,192,256

19, 39, 55, 49, 63, 75, 81

22

_______________

*行

n个

：第一个术语是

n个

第个非存款(A008578美元)，上学期是

2 n个

(A000079号).
**的所有分区

n个

对于偶数整数表示，通过将

n个 − 1

（相当于添加一部分尺寸1到以下每个分区

n个 − 1

，自

第页1=2

). 的所有分区

n个

对于奇数整数表示，不能通过添加任何非零数量的大小部分来获得1到以下任何分区

k个<n个

.

受限分区

请参见受限分区.

序列

A000041号分区数

第页 (n个)

属于

n个,n个 ≥ 0

.

｛1、1、2、3、5、7、11、15、22、30、42、56、77、101、135、176、231、297、385、490、627、792、1002、1255、1575、1958、2436、3010、3718、4565、5604、6842、8349、10143、12310、14883、17977、21637、26015…｝

A002865号分区数

第页 (2,n个)

属于

n个,n个 ≥ 0

，不包含1作为一部分（并且对应于

第页 (n个)负极第页 (n个 − 1),n个 ≥ 0

).

{1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 34, 41, 55, 66, 88, 105, 137, 165, 210, 253, 320, 383, 478, 574, 708, 847, 1039, 1238, 1507, 1794, 2167, 2573, 3094, 3660, 4378, 5170, 6153, 7245, 8591, ...}

A000070型这个求和函数的配分函数:

∑

n个

k个 = 0

第页 (k个)

，其中

第页 (k个) =

分区数

k个

(A000041号).

{1, 2, 4, 7, 12, 19, 30, 45, 67, 97, 139, 195, 272, 373, 508, 684, 915, 1212, 1597, 2087, 2714, 3506, 4508, 5763, 7338, 9296, 11732, 14742, 18460, 23025, 28629, 35471, 43820, 53963, 66273, 81156, ...}

A080577号按行读取的三角形

n个

列出的所有分区的所有部分

n个

，在“规范”排序[即分级反向词典排序]中。

{1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 5, 1, 4, 2, 4, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 6, 1, 5, 2, 5, 1, 1, 4, 3, 4, 2, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 2, ...}

A129129号由行读取的自然数组成的不规则三角形数组，具有形状序列A000041号

(n个)

与序列相关A060850型.（将一对一映射到正整数的分区的“规范”排序[分级反向字典排序]。）

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 10, 9, 12, 16, 11, 14, 15, 20, 18, 24, 32, 13, 22, 21, 28, 25, 30, 40, 27, 36, 48, 64, 17, 26, 33, 44, 35, 42, 56, 50, 45, 60, 80, 54, 72, 96, 128, 19, 34, 39, 52, 55, 66, 88, 49, 70, 63, 84, 112, 75, 100, 90, 120, 160, 81, 108, 144, 192, 256, ...}

A063008号这个正则分区顺序（请参见A080577号)由编码素因子分解.（分区

[P（P）1+P（P）2+P（P）三+⋯]

具有

P（P）1 ≥ P（P）2 ≥ P（P）三 ≥ ⋯

编码为

2 P（P）1·三 P（P）2·5 P（P）三·⋯

)

{1, 2, 4, 6, 8, 12, 30, 16, 24, 36, 60, 210, 32, 48, 72, 120, 180, 420, 2310, 64, 96, 144, 240, 216, 360, 840, 900, 1260, 4620, 30030, 128, 192, 288, 480, 432, 720, 1680, 1080, 1800, 2520, 9240, 6300, ...}

A036036号按行读取的三角形

n个

列出的所有分区的所有部分

n个

Abramowitz-Stegun顺序[即分级反射色谱顺序]。

{1, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 5, 2, 4, 3, 3, 1, 1, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 6, 2, 5, 3, 4, 1, 1, 5, 1, 2, 4, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 1, ...}

A185974号Abramowitz-Stegun顺序中的分区[即分级反射色谱顺序]A036036号将一对一映射为正整数。

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 10, 9, 12, 16, 11, 14, 15, 20, 18, 24, 32, 13, 22, 21, 25, 28, 30, 27, 40, 36, 48, 64, 17, 26, 33, 35, 44, 42, 50, 45, 56, 60, 54, 80, 72, 96, 128, 19, 34, 39, 55, 49, 52, 66, 70, 63, 75, 88, 84, 100, 90, 81, 112, 120, 108, 160, 144, 192, 256, 23, 38, 51, 65, 77, 68, 78, ...}

A185975号的素数因子分解

n个,n个 ≥ 2,

映射到

一 (n个)

-Abramowitz-Stegun排序中的第th个分区[即分级反映的colexicographic排序]。

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 9, 8, 12, 10, 19, 13, 14, 11, 30, 16, 45, 15, 21, 20, 67, 17, 22, 31, 25, 23, 97, 24, 139, 18, 32, 46, 33, 27, 195, 68, 47, 26, 272, 35, 373, 34, 37, 98, 508, 28, 49, 36, 69, 50, 684, 40, 48, 38, 99, 140, 915, 39, 1212, 196, 53, 29, 70, 51, 1597, 72, 141, 52, 2087, 42, ...}

A116084号的分区数1分成不同的分数

我

j个

具有

1 ≤ 我<j个 ≤ n个

,

我

和

j个

互质，用于

n个 ≥ 1

.

{0, 0, 1, 2, 4, 6, 10, 15, 23, 36, 47, 70, 87, 132, 283, 434, 471, 772, 825, 1834, 4368, 5545, 5648, 9923, 16464, 19943, 32323, 75912, 76167, 140801, 141140, 238513, 537696, 598295, 2556064, 4674084, ...}

另请参见

无序分区
- 分区和受限分区
- 分区函数和限制配分函数
- 分区标识
- 分区的顺序
- 多维分区
  - 平面隔墙（二维分区）
  - 实心隔板（三维分区）

有序分区

主要签名（可以视为给定隔板属于
Ω (n个)
，的质因子数（带重复）属于
n个
)

有序素数签名（可以视为给定作文属于
Ω (n个)
，的质因子数（带重复）属于
n个
)

集合
- 设置分区
- 设置组成

多组

笔记

↑ 分区树（共6个）,分区树，共7个,8的分区树,分区树，共9个，其中看似一元的分支二叉树实际上是左分支或右分支，而另一个分支是空分支。（来自Peter Luschny，分区计数, 2009-02-20.)
↑ 另请参见用户：Peter Luschny/Integer PartitionTrees.

外部链接

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Jan Hendrik Bruinier和Ken Ono，配分函数的代数公式.
Amanda Folsom、Zachary A.Kent和Ken Ono，第页-配分函数的adic性质.
杰罗姆·凯莱赫和巴里·奥沙利文，生成所有分区：两种编码的比较, 2009.
彼得·卢什尼，分区计数, 2009-02-20.
奥马尔·波尔，显示1到9分区的3D图像.
史蒂文·芬奇，整数分区，2004年。

[1] 分区树（共6个）,分区树，共7个,8的分区树,分区树，共9个，其中看似一元的分支二叉树实际上是左分支或右分支，而另一个分支是空分支。（来自Peter Luschny，分区计数, 2009-02-20.)

[2] 另请参见用户：Peter Luschny/Integer PartitionTrees.

[1]

分区

目录

定义

分区函数

整数分区的图形表示

费勒图和共轭分划

分区树

分区的顺序

分级反向词典顺序的分区表

分区的正整数表示

受限分区

序列

另请参见

笔记

外部链接

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