顺序变换

定义

这个序数变换序列的$显示样式a=（a_{0}，a_{1}，a_{2}，…）}$是顺序${\显示样式{\rm{ORD}}（a）=（c_{0}，c_{1}，c_{2}，…）}$具有

$在D_{a}\mid-k\leqn\land a_{k}=a_{n}\中的{显示样式c_{n{=\#\{\，k\，在D_}a}=\{\，0,1,2，…\，\}\，}$

即，值的次数${\显示样式a{n}}$出现在中$显示样式（a_{0}，…，a_{n}）}$.

在上面，${\显示样式D_{a}}$是序列的域一即指数集：如果我们考虑一个序列$显示样式a=（a{1}，a{2}，a{3}，…）}$相反，那么${\显示样式D_{a}=\{\，1,2,3，…\，\}}$.

示例

A004736号=（1,2,1,3,2,1,4,3,2,1，…）是A002260号= (1, 1,2, 1,2,3, 1,2,3,4, ...)

A001511号=（1,2,1,3,1,2,1,2,1,4，…），标尺函数（2n的2-adic赋值），是A003602号=（1，1，2，1，3，2，4，1，5，…）：如果n=（2k-1）*2^m，则a（n）=k，或T（1）的极限不动点，其中T（a，b，c，…）=（1、a，2，b，3，c，4…）。

程序

通过为每个值增加一个特定的计数器，可以在线性时间内进行转换。

枫树

（枫树）ORDINAL:=进程（a）本地计数，x；count:=表格（稀疏）；#默认情况下，未定义的条目为零[seq（++count[x]，a中的x）]；#++var是一个表达式，而不是像var+=1这样的语句结束；

（枫叶）#来自N.J.A.Sloane，2020年4月9日：ORDINAL:=进程（a）局部b，t1，tlist，clist，n，t，nt；如果是whattype（a）<>列表，则返回（[]）；图1：t1:=nops（a）；t列表：=[]；clist：=数组（1..t1,0）；b： =[]；nt:=0；对于从1到t1的n，t：=a[n]；如果成员（t，tlist，'p'），则clist[p]：=clist[p]+1；b： =[op（b），clist[p]]；否则nt：=nt+1；tlist:=[op（tlist），t]；clist[nt]：=1；b： =[操作（b），1]；fi；日期：b；结束；

PARI/GP公司

（PARI）ORDINAL（a，c=Map（））=[mapput（c，x，a=ifrer（mapget（c，x），a，）+1）+a|x<-a]}

评论：

• 映射输出（）返回一个空结果，结果为0，新计算和存储的值a=c[x]添加，以便仅使用一个表达式。（或者，可以使用[a=…，映射（c，x，a）][1].)
• 而不是ifrer（…）当出现错误时返回0x个还没有出现在字典里c（c），也可以使用if（mapisdefined（c，x，&a），a），但除了有点长之外，它似乎也稍微慢一些。
• 一旦提供的价值一个=[一₁, ..., 一_n个]已用作运行变量的域x个，相同的变量名一在“循环”中用于临时存储更新的值c（c）[x个]。这只是为了避免引入另一个变量。

蟒蛇

（Python）定义ORDINAL（a）：c={}；return[c.setdefault（x，c.pop（x，0）+1）表示a中的x

丢弃字典条目c[x]并在随后重新创建，而不是仅仅增加其值，这看起来效率很低。然而，递增变量是一个语句，不能用作结果列表值的表达式。避免这种情况的唯一方法是在辅助函数中增加字典条目，例如：

（Python）定义增量（c，x）：t=c.get（x，0）+1；c[x]=t；return t#使用t可以避免访问c[x]3次：大约快1.25倍定义ORDINAL（a）：c={}；返回[inc（c，x）for x in a]

如我们所见，这还需要访问字典的条目c[x]至少两次。除非删除条目c[x]会产生很多开销，否则第二种解决方案并不比第一种更有效。例如，对于序列一长度为1000时，第一个解决方案大约占75%，第二个解决方案占使用的解决方案的CPU时间的80%定义增量（c，x）：c[x]=c.get（x，0）+1；返回c[x]（或等效地使用函数c.更新（x=…）哪个返回无).

引用为

M.F.Hasler，顺序变换.— 摘自整数序列在线百科全书®Wiki（OEIS®Wiki）。[https://oeis.org/wiki/Ordinal_transform网站]. 初始版本创建于2020年4月9日。