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[谈话]

4月19日的顺序

A092287号:

∏ n个  j个  = 1 ∏ n个 k个  = 1 gcd公司 (  j个,k个 ),n个  ≥   0

.

{ 1, 1, 2, 6, 96, 480, 414720, 2903040, ... }

彼得·巴拉推测素数在中素因子分解属于

一 (n个)

由公式给出

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{\operatorname{ord}{p}\a（n）=\sum_{k=1}^{\lfloor\log_{p}（n）\rfloor}\left\lfloor{\frac{n}{p^{k}}\right\rfloor{2}=\left\floor{\frac{n}}{p{}\rift\floor ^{2}+left\ffloor c{n}{p^{2}}\right\rfloor^{2{+left\lfloor{frac{n{p^}3}}\right\rffloor^{2]+\cdots.}\结束{数组}}\结束{数组}}$查尔斯·格里特豪斯四世最近证实了巴拉的猜想。

将此与de Polignac–勒让德公式对于的素因式分解

n个!

，即。

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{\operatorname{ord}{p}\n=\和{k=1}^{lfloor\log{p}（n）\rfloor}\left\lfloor{frac{n}{p^{k}}}\right\rfloor=left\floor{frac{n}{p}}\ right\floor+left\loor{frac{n}}{p{2}}\reght\floor+left\ lfloor}rfloor+\cdot，}\end{数组}}\和{k=1}^{lfloor\log{p}（n）\rfloor}\left\lfloor{frac{n}{p^{k}}}\right\rfloor=left\floor{frac{n}{p}}\ right\floor+left\loor{frac{n}}{p{2}}\reght\floor+left\ lfloor}rfloor+\cdot，}\end{数组}}$

这表明

一 (n个)

可以被视为“阶乘" * （支架之间的产品明显1如果

n个

是非存款)

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displastyle{{\frac{a（n）}{n！}}=\left（\，\prod_{k=1}^{n-1}\gcd（n，k）\right）^{2}{\frac{a（n-1）}{（n-1$

重复周期：

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{a（0）：=1；\a（n）：=n\left（\，\prod_{k=1}^{n-1}\gcd（n，k）\right）^{2} 一个（n-1），\quadn\geq1.}\end{array}}}{2} 一个（n-1），\quadn\geq1.}\end{array}}}$

公式：

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{a（n）=n！\left（\，\prod_{j=1}^{n}\prod_{k=1}^{j-1}\gcd（j，k）\right）^{2}，\quadn\geq0.}\end{array-}}}$

A？？？？？？

(   ∏ n个  j个  = 1 ∏  j个  − 1 k个  = 1 gcd公司 (  j个,k个 )) 2,n个  ≥   0

.

{1, 1, 1, 1, 4, 4, 576, 576, 147456, 11943936, 76441190400, 76441190400,...}

A224479号

∏ n个  j个  = 1 ∏  j个  − 1 k个  = 1 gcd公司 (  j个,k个 ),n个  ≥   0

.

{1, 1, 1, 1, 2, 2, 24, 24, 384, 3456, 276480, 276480, 955514880, 955514880, ...}

​-------------------------

*请参见阶乘的GCD矩阵推广.