算术函数

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安算术函数也称为整数函数或数论函数，是一个函数

一 (n个)

为所有人定义正整数

n个

，通常被认为是复杂的-价值（Jones和Jones，1998年，第143页）。一些作者（Atanassov 1985；Trott 2004，p.28）以非标准的意义使用这个术语来描述函数

ψ (n个)

科学技术。

ψ (米+n个)  = ψ (ψ (米) +ψ (n个))

和

ψ (米 n个)  = ψ (ψ (米)ψ (n个)).

本页剩余部分不使用这个定义。

乘法和加法函数

一个算术函数

一 (n个)

是

• 完全可加性如果

  一 (米+n个) =一 (米) +一 (n个)

  对于所有正整数

  米

  和

  n个

  ；

• 完全乘法的如果

  一 (米 n个) =一 (米)一 (n个)

  对于所有正整数

  米

  和

  n个

  .

两个正整数

米

和

n个

被称为互质如果他们最大公约数是1; 即，如果没有质数这将他们两人分开。然后是一个算术函数

一 (n个)

是

• 添加剂如果

  一 (米+n个) =一 (米) +一 (n个)

  对于所有互质正整数

  米

  和

  n个

  ；

• 乘法的如果

  一 (米 n个) =一 (米)一 (n个)

  对于所有互质正整数

  米

  和

  n个

  .

求和函数

给定一个算术函数

一 (n个)

，其求和函数

A类 (x个)

由定义

A类 (x个)  :=    ⌊  x个⌋ ∑   n个  = 1   一 (n个) .

A类 (x个)

可以看作是实变量的函数

x个

.给定一个正整数

米

,

A类 (x个)

沿开放间隔为常数

米<x个<米+ 1

，并具有跳跃不连续性对于其中的每个整数

一 (米)   ≠   0

.

由于此类功能通常由系列和积分，为了实现逐点收敛，通常将不连续处的值定义为左右值的平均值

A类0(米)  :=  1  2     n个  <  米 ∑   n个  <  米    一 (n个) +   n个  ≤  米 ∑   n个  ≤  米    一 (n个) = A类 (米) −   1  2 一 (米).

算术函数的单个值可能会剧烈波动，就像上面的大多数例子一样。求和函数“平滑”这些波动。在某些情况下，可能会发现渐近行为对于大的求和函数

x个

.

工具书类

• 阿塔纳索夫，K。，一个算术函数及其一些应用。牛市。Number Th.相关主题9，18-271985。
• Jones，G.A.和Jones，J.M。，算术函数。初等数论第8章。柏林：Springer-Verlag，第143-162页，1998年。