Rencontres数字

这个rencontres数字(部分无序数)是部分错位数，或具有r个相对数的置换数属于${\显示样式\脚本样式n\，}$不同的对象（即排列属于${\显示样式\脚本样式n\，}$不同对象${\显示样式\脚本样式r\，}$固定点）。

对于${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，0\，}$和${\显示样式\脚本样式0\，\leq\，r\，\leq \，n，\，}$rencontres数字${\显示样式\脚本样式D_{n，r}\，}$是的排列数${\显示样式\脚本样式[n]\，=\，{\{1，\，2，\，3，\，\点，\，n\}}\，}$确切地说${\显示样式\脚本样式r\，}$固定点。

这个具有0个伦次的排列数 ${\显示样式\脚本样式D_{n，0}\，}$(完全错位数)是错位数 ${\显示样式\脚本样式D_{n}\，}$.

伦康特斯数字三角形

条款${\显示样式\脚本样式D_{n，n-j}\，}$的${\显示样式\脚本样式j\，}$^第个微不足道，即。${\显示样式\脚本样式j\，\ in \，\{0，\，1\}\，}$，从右侧下降的对角线（从0开始索引，），其中$｛\displaystyle\scriptstyler\，=\，n-j\，｝$，是

• 这个n的n元置换数 ${\显示样式\脚本样式D_{n，n}\，}$（即。${\显示样式\脚本样式j\，=\，0\，}$)显然是1，因为这是身份置换。

• 这个n与n-1元的置换数 ${\显示样式\脚本样式D_{n，n-1}\，}$（即。${\显示样式\脚本样式j\，=\，1\，}$)显然是0，因为一旦你到达${\显示样式\脚本样式n-1\，}$rencontres，你一定有${\显示样式\脚本样式n\，}$伦康特斯。

三角形表示前两列具有以下关系

$显示样式D_{n，1}=n~D_{n-1,0}\，}$（显然，因为${\显示样式\脚本样式n\，}$选择固定点的方法）

${\显示样式D_{n，0}=D_{n，1}+（-1）^{n}\，}$（自${\显示样式\脚本样式！n=！（n-1）\cdot n+（-1）^{n}，\，n\，\geq\，1，\，}$看见紊乱次数（复发）)

给

$｛\displaystyle D_｛n，0｝=n~（n-1）~D_｛n-2,0｝+（-1）^｛n-1｝]+（-1）^｛n｝=n~（n-1）~D_｛n-2,0｝+（-1）^｛n-1｝~（n-1）=（n-1）[n~D_｛n-2,0｝+（-1）^｛n-1｝]\，｝$

Rencontres数字 ${\显示样式\脚本样式D_{n，r}\，}$

${\显示样式\脚本样式n\，}$= 0	1
1	0	1
2	1	0	1
三	2	三	0	1
4	9	8	6	0	1
5	44	45	20	10	0	1
6	265	264	135	40	15	0	1
7	1854	1855	924	315	70	21	0	1
8	14833	14832	7420	2464	630	112	28	0	1
9	133496	133497	66744	22260	5544	1134	168	36	0	1
10	1334961	1334960	667485	222480	55650	11088	1890	240	45	0	1
11	14684570	14684571	7342280	2447445	611820	122430	20328	2970	330	55	0	1
12	176214841	176214840	88107426	29369120	7342335	1468368	244860	34848	4455	440	66	0	1
	${\显示样式\脚本样式r\，}$= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

三角形${\显示样式\脚本样式T（n，r）\，}$关于rencontres数给出了有限序列的无限序列

{{1}, {0, 1}, {1, 0, 1}, {2, 3, 0, 1}, {9, 8, 6, 0, 1}, {44, 45, 20, 10, 0, 1}, {265, 264, 135, 40, 15, 0, 1}, {1854, 1855, 924, 315, 70, 21, 0, 1}, {14833, 14832, 7420, 2464, 630, 112, 28, 0, 1}, {133496, 133497, 66744, 22260, 5544, 1134, 168, 36, 0, 1}, ...}

三角形${\显示样式\脚本样式T（n，r）\，}$伦康特斯数（排列数${\显示样式\脚本样式n\，}$具有的元素${\显示样式\脚本样式r\，}$固定点）。（参见。A008290号)

{1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 9, 8, 6, 0, 1, 44, 45, 20, 10, 0, 1, 265, 264, 135, 40, 15, 0, 1, 1854, 1855, 924, 315, 70, 21, 0, 1, 14833, 14832, 7420, 2464, 630, 112, 28, 0, 1, 133496, 133497, 66744, 22260, 5544, 1134, 168, 36, 0, 1, ...}

D_｛n，r｝/D_｛n−r，0｝的三角形

下面的三角形显示了术语${\显示样式\脚本样式D_{n，n-j}\，}$的${\显示样式\脚本样式j\，}$^第个非平凡，即。${\显示样式\脚本样式j\geq 2\，}$，从右侧对角线下降（从0开始索引），其中$｛\displaystyle\scriptstyler\，=\，n-j\，｝$，可被最左边的项整除${\显示样式\脚本样式D_{j，0}\，}$下降的对角线。

此外，子三角形不包括最右边的两条（平凡的）下降对角线（即${\显示样式\脚本样式n-r \，=\，j\，\geq\，2\，}$)现在是帕斯卡三角形，因此我们有

${\显示样式D_{n，r}={\binom{n}{r}}~D_{n-r，0}，\quad n-r=j\geq 2.\，}$

这是显而易见的，因为${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{r}}\，}$选择${\显示样式\脚本样式r\，}$固定对象和其余对象${\显示样式\脚本样式n-r，}$对象必须完全错位。

${\显示样式{\ frac{D{n，r}}{D{n-r，0}}\，}$

${\显示样式\脚本样式n\，}$= 0	1
1	0	1
2	1	0	1
三	1	三	0	1
4	1	4	6	0	1
5	1	5	10	10	0	1
6	1	6	15	20	15	0	1
7	1	7	21	35	35	21	0	1
8	1	8	28	56	70	56	28	0	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	0	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	0	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	0	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	0	1
	${\显示样式\脚本样式r\，}$= 0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

公式

非空集的错位数可以从阶乘属于${\显示样式\脚本样式n\，}$和欧拉数

${\显示样式D_{n，0}=\left[{n！\over e}\right]，\quad n\geq 1，\，}$

其中比率向上取整为偶数${\显示样式\脚本样式n\，}$并四舍五入为奇数${\显示样式\脚本样式n\，}$.

这个具有r个相对数的置换数(具有n-r错位的置换数)由提供

$｛\displaystyle D_｛n，r｝=｛n\choose r｝\cdot D_｛n-r，0｝.\，｝$

知道如何枚举错位之后，证明就很容易了：选择${\显示样式\脚本样式r\，}$中的固定点${\显示样式\脚本样式n\，}$; 然后选择另一个的错位$｛\displaystyle\scriptstylen-r，｝$点。

的显式公式${\显示样式\脚本样式D_{n，r}\，}$可以推导如下

${\显示样式D（n，r）={\frac{n！}{r！}}[z^{n-r}]{\ frac{e^{-z}}{1-z}}={\ frac{n！{r！{}}\sum_{k=0}^{n-r}{\ frac-{（-1）^{k}}{k！}}}.}$

这立即意味着

${\显示样式D_{n，r}={n\choose r}D_{n-r，0}\；{\mbox{和}}\；\；{\frac{D_{n，r}}{n！}}\近似{\frac{e^{-1}}{r！}}}{\mbox{和}}\；\；{\frac{D_{n，r}}{n！}}\近似{\frac{e^{-1}}{r！}}}$

对于${\显示样式\脚本样式n\，}$大型，${\显示样式\脚本样式r\，}$固定的。

定期

中的数字${\显示样式\脚本样式r\，=\，0\，}$列是错位数(具有0个伦次的排列数或具有n个错位的n的置换数.）因此

${\显示样式D_{0,0}=1，\，}$

${\显示样式D_{1,0}=0，\，}$

$｛\displaystyle D_｛n，0｝=（n-1）（D_｛n-1,0｝+D_｛n-2,0｝），\ quad n\geq 2.\，｝$

其他公式

${\显示样式\sum_{r=0}^{n} D类_{n，r}=n！\，}{n} D类_{n，r}=n！\，}$

正在生成函数

普通生成函数

O.g.f.公司。对于列${\显示样式\脚本样式r\，}$是[待验证]

$显示样式G{{D_{n，r}}（x）等于和！{\frac{x^{n}}{（1+x）^{n+1}}，\quadr\geq0.\，}{\frac{x^{n}}{（1+x）^{n+1}}，\quadr\geq0.\，}$

O.g.f.公司。对于行${\显示样式\脚本样式n\，}$是

$显示样式G_{{D_{n，r}\}}（x）\equiv\sum_{r=0}^{n} D类_{n，r}~x^{r}=n！\和{r=0}^{n}{\frac{1}{r！}}（-1）^{r}（1-x）^{r}，\quadn\geq0.\，}{n} D类_{n，r}~x^{r}=n！\和{r=0}^{n}{\frac{1}{r！}}（-1）^{r}（1-x）^{r}，\quadn\geq0.\，}$

指数生成函数

[待验证]

例如：。对于伦康特斯数三角形是

$显示样式E_{{D_{n，r}\}}（x，y）等于和^{n} 年^{r} =\exp{\Bigg（}{\frac{x（y-1）}{1-x}}{\Big）}.\，}{n} 年^{r} =\exp{\Bigg（}{\frac{x（y-1）}{1-x}}{\Big）}.\，}$

另请参见

• 解除量程编号(完全错位数)
• Rencontres数字(部分错位数)
• 广义错位数