错位的数量

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数量（完整）错乱，或无符排列数,属于

n个

不同的对象（即排列属于

n个

没有固定点的不同对象）由次级因子

!n个

属于

n个

. The错位数由子因子数.

公式

!n个 := n个!1 − 1 1! + 1 2! − 1 三！ +⋯+ (−1) n个 1 n个!  = n个!   n个 ∑   k个  = 0    (−1) k个 k个 ! .

子阶乘数

A000166号 次级阶乘(rencontres数字),或错乱：排列数

n个

没有固定点的元素。

{1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, ...}

最后一位（基数10)第页，共页

!n个,n个  ≥   0,

似乎遵循（长度的）模式10)

{1, 0, 1, 2, 9, 4, 5, 4, 3, 6}

例子

你有6球进入6不同的颜色，每个球都有一个相同颜色的盒子。多少？错乱如果相同颜色的盒子里没有球，你有吗？

!6=6!·1 − 1 1! + 1 2! − 1 三！ + 1 4! − 1 5! + 1 6! =265

错位、排列和排列数的比较

错位、排列和排列数的比较

n个 错位的数量 d日n个=n个!   n个 ∑   k个  = 0    (负极1） k个 k个 ! d日n个  ≈   n个! 电子 d日n个= n个! 电子 = n个! 电子 + 1 2 ,n个  ≥   1 排列的数量 n个! n个!   ≈   2√  d日n个 一n个 安排的数量 一n个=n个!   n个 ∑   k个  = 0    1 k个！ 一n个  ≈  电子 n个! 一n个= 电子 n个! ,n个  ≥   1 A000166号 A000142号 A000522号 0 1 1 1 1 0 1 2 2 1 2 5 三 2 6 16 4 9 24 65 5 44 120 326 6 265 720 1957 7 1854 5040 13700 8 14833 40320 109601 9 133496 362880 986410 10 1334961 3628800 9864101 11 14684570 39916800 108505112 12 176214841 479001600 1302061345 13 2290792932 6227020800 16926797486 14 32071101049 87178291200 236975164805 15 481066515734 1307674368000 3554627472076 16 7697064251745 20922789888000 56874039553217 17 130850092279664 355687428096000 966858672404690 18 2355301661033953 6402373705728000 17403456103284421 19 44750731559645106 121645100408832000 330665665962404000 20 895014631192902121 2432902008176640000 6613313319248080001

n个 (n个! ) 2 (n个! ) 2  ∼  d日n个 一n个 d日n个 一n个 (n个! ) 2负极d日n个 一n个 A001044号 A？？？？？？  （添加到OEIS？）  A？？？？？？  （添加到OEIS？）  0 1 1 0 1 1 0 1 2 4 5 − 1 三 36 32 4 4 576 585 − 9 5 14400 14344 56 6 518400 518605 − 205 7 25401600 25399800 1800 8 1625702400 9 131681894400 10 13168189440000 11 1593350922240000 12 229442532802560000 13 38775788043632640000 14 7600054456551997440000 15 1710012252724199424000000 16 437763136697395052544000000 17 126513546505547170185216000000 18 40990389067797283140009984000000 19 14797530453474819213543604224000000 20 5919012181389927685417441689600000000

定期

!n个 =  !(n个−1）·n个+ (−1) n个, n个≥ 1.

!n个=(n个−1）·[!(n个− 1) + !(n个− 2)], n个≥ 2.

请注意阶乘的有类似的复发

n个! =(n个−1）·[(n个− 1)! + (n个− 2)!], n个≥ 2.

所以，对于

n个  ≥   2,

!n个 !(n个− 1) + !(n个− 2)  = n个− 1  =  n个! (n个− 1)! + (n个− 2)! .

其他公式

!n个 =  Γ (n个+ 1, −1) 电子 ,

哪里

电子

（参见。A001113号)是欧拉数和

Γ (z（z）,一)

是不完全伽马函数.

很好的近似值如下所示

!n个 ≈  n个! 电子 .

如果四舍五入，你会得到一个完美的公式

n个  ≥   1

!n个 =  n个! 电子  =  n个! 电子 + 1 2 , n个≥ 1.

如果在除法之前将阶乘加1，则可以截断而不是四舍五入，从而得到一个完美的公式

n个  ≥   1

!n个 =  n个! + 1 电子 , n个≥ 1,

与近似值的比较

n个	!n个	n个! 电子	n个! 电子	n个! + 1 电子	n个! + 1 电子
0	1	0.3679	0	0.7358	0
1	0	0.3679	0	0.7358	0
2	1	0.7358	1	1.1036	1
三	2	2.2073	2	2.5752	2
4	9	8.8291	9	9.1970	9
5	44	44.1455	44	44.5134	44
6	265	264.8732	265	265.2411	265
7	1854	1854.1124	1854	1854.4803	1854
8	14833	14832.8991	14833	14833.2669	14833
9	133496	133496.0916	133496	133496.4595	133496

哪里

[n个]

是圆功能和

⌊  n个⌋

是地板功能。有一个序列（参见。A000255号)

一n个= !(n个+ 1) + !n个= !(n个+ 2) n个+1个

与成员一起

一 0= 1,一1= 1,

以及递归规则：

一n个 = n个·一n个  − 1+ (n个−1）·一n个  − 2。

使用此序列，您可以计算子因子

!n个=(n个−1）·一n个  − 2。

!n个	1	0	1	2	9	44	265	1854	14833	133496	1334961
n个	0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10
一n个	1	1	三	11	53	309	2119	16687	148329	1468457	16019531

正在生成函数

普通生成函数

G公司{!n个}(x个) ≡   ∞ ∑   n个  = 0     !n个 x个 n个 =  1 x个 · 工程安装 (1 + 1 / x个) 电子 (1 + 1 / x个) ,

哪里

工程安装 (x个)

是指数积分.

指数生成函数

E类{!n个}(x个) ≡   ∞ ∑   n个  = 0     !n个 x个 n个 n个!  =  电子  − x个 1 −x个 .

渐进行为

商的极限

n个

阶乘和

n个

子因子收敛到

电子

（参见。A001113号和欧拉数)

n个 → ∞林n个 → ∞  n个! !n个  = 电子。

证明：

电子  x个 =    ∞ ∑   k个  = 0    x个 k个 k个！ , 电子 = 电子 1 =    ∞ ∑   k个  = 0    1 k个！ ,  1 电子  = 电子  − 1 =    ∞ ∑   k个  = 0    (−1) k个 k个 ! ,

n个 → ∞林n个 → ∞  n个! !n个  = n个 → ∞林n个 → ∞  n个! n个! ∑ n个 k个  = 0 (−1) k个 k个 !  =  1 林 n个 → ∞  ∑ n个 k个  = 0 (−1) k个 k个 ! 。

商的极限安排的数量

一n个

的任何子集

n个

上的不同对象错位数

d日n个

属于

n个

不同的对象聚合到

电子 2

（参见。A072334号)

n个 → ∞林n个 → ∞  一n个 d日n个  = 电子 2.

这个几何平均值的安排的数量和错位数是渐近于排列数

n个 → ∞林n个 → ∞  2√  一n个  d日n个  = n个!

至少有一个固定点的排列

排列的数量

（f）n个

至少有一个固定点，因此非（完全）错位由下式给出

（f）n个 = n个！− !n个 = n个！−n个!   n个 ∑   k个  = 0    (−1) k个 k个！  = n个!   n个 ∑   k个  = 1    (−1) k个 k个 ! ,

其中第二个求和得到空总和（定义为加性恒等式，即。0)的

n个= 0

.

序列

A000166号 子阶乘数（或rencontres数字，或错乱：排列数

n个

没有固定点的元素）

!n个,n个  ≥   0

{1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, ...}

A000255号

一 (n个) = !(n个+ 1) + !n个= !(n个+ 2) n个+1个 =n个 一 (n个 −  1) + (n个 −  1）一 (n个 −  2),一 (0) = 1,一 (1) = 1.

{1, 1, 3, 11, 53, 309, 2119, 16687, 148329, 1468457, 16019531, 190899411, 2467007773, 34361893981, 513137616783, 8178130767479, 138547156531409, 2486151753313617, ...}

A002467号编号

n个! 负极 !n个

的排列

n个,n个  ≥   0,

有固定的点。

{0, 1, 1, 4, 15, 76, 455, 3186, 25487, 229384, 2293839, 25232230, 302786759, 3936227868, 55107190151, 826607852266, 13225725636255, 224837335816336, 4047072044694047, ...}

另请参见

• 错位的数量(完全错位数)（由次级因子，认可术语）
• 安排的数量（由超因子的，建议的术语，因为超因子的指另一个概念）

• Rencontres数字(部分错位数)
• 广义错位数

• 阶乘

工具书类

• 迈赫迪·哈萨尼，偏差和应用《整数序列杂志》，6（1），第03.1.22003条。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,解除量程，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。，截至2010年12月19日。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,次级阶乘，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。，截至2010年12月19日。