Sinc函数

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这个sinc函数是一个整个函数定义为sinc（0）=0和${\displaystyle\operatorname{sinc}（x）=\sin（x）/x}$对于非零x个。函数在x个自起=0${\displaystyle\scriptstyle\lim_{x\到0}{\frac{\sinx}{x}}=1}$.

术语“sinc”(投资促进机构-en:s）是函数拉丁全名的缩写基数窦（基数正弦）。菲利普·伍德沃德于1953年首次提出。

归一化正弦函数

在数字信号处理和信息论，的归一化正弦函数 $｛\displaystyle\ operatorname｛sinc｝_｛\pi｝（x）=\ operatorname｛sinc｝（\pi x）｝$是常见的。

sinc和归一化sinc函数之间的唯一区别是自变量（该x轴)乘以π。它被称为归一化的因为积分${\显示样式\脚本样式x\，}$为1。所有0归一化sinc函数的非零整数值为x个. The傅里叶变换归一化sinc函数的矩形函数没有缩放。此功能在以下概念中是基本的重建均匀间隔的原始连续带限信号样品这个信号。

倒数Gamma函数

域可以扩展到复平面通过倒数伽马函数 ${\显示样式\脚本样式f（z）\，：=\，{\frac{1}{\Gamma（z）}}\，}$

${\displaystyle\operatorname{sinc}（z）=f（1+{\tfrac{z}{\pi}}）\，f（1-{\tfrac{z}}{\pi}}，），\quad z\in\mathbb{C}.\，}$

${\displaystyle\operatorname{sinc}_{\pi}（z）=f（1+z）\，f（1-z），\quad z\in\mathbb{C}.\，}$

属性

sinc函数在非零倍数处过零π; 归一化sinc的零交叉发生在非零整数值处。

这个局部极大值和最小值sinc的值对应于它与余弦函数也就是说，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{\sin（\xi）}{\xi}}=\cos（\si）}$对于所有点$｛\displaystyle\scriptstyle\xi｝$其中的导数${\displaystyle\scriptstyle{\frac{\sin（x）}{x}}}$为零（因此局部极值已到达。）

麦克劳林系列

${\显示样式{\frac{\sin\pix}{\pix{}=\sum_{n=0}^{\infty}{\ frac{（-1）^{n}\，\pi^{2n}x^{2n}}{（2n+1）！}}=1-{\frac{\pi^{2} x个^{2} }{6}}+{\frac{\pi^{4} x个^{4} }{120}}-{\frac{\pi^{6} x个^{6} }{5040}}+{\压裂{\pi^{8} x个^{8} }{362880}}-{\frac{\pi^{10} x个^{10} }{39916800}}+{\压裂{\pi^{12} x个^{12} }{6227020800}}-{\压裂{\pi^{14} x个^{14} }{1307674368000}}+{\压裂{\pi^{16} x个^{16} }{355687428096000}}-\cdots\，}{2n}x^{2n}}{（2n+1）！}}=1-{\frac{\pi^{2} x个^{2} }{6}}+{\frac{\pi^{4} x个^{4} }{120}}-{\frac{\pi^{6} x个^{6} }{5040}}+{\压裂{\pi^{8} x个^{8} }{362880}}-{\frac{\pi^{10} x个^{10} }{39916800}}+{\压裂{\pi^{12} x个^{12} }{6227020800}}-{\压裂{\pi^{14} x个^{14} }{1307674368000}}+{\压裂{\pi^{16} x个^{16} }{355687428096000}}-\cdots\，}$

$｛\displaystyle｛\frac｛\sin x｝｛x｝｝＝\sum_｛n=0｝^｛infty｝｛\frac｛（-1）^｛n｝，x^｛2n｝｝｛（2n+1）！｝＝1-｛\frac｛x^｛2｝｝｛6｝+｛\frac｛x^｛4｝｝｛120｝｝-｛\frac｛x^｛6｝｝｝｛5040｝+｛\frac｛x^｛8｝｝｛362880｝-｛\frac x^｛10｝｝｛399916800｝｝+｛\frac｛x^｛12｝｝｛6227020800｝｝-｛\frac｛x^｛14｝｝｛1307674368000｝+｛\frac｛x^｛16｝｝｛355687428096000｝-｛cdots\，｝$

其中分子${\显示样式\脚本样式（-1）^{n}，\，n\，\geq\，0，\，}$给出序列（参见。A033999号)

{1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...}

和分母${\显示样式\脚本样式（2n+1）！，\，n\，\geq\，0，\，}$给出顺序（参见。A009445号)

{1, 6, 120, 5040, 362880, 39916800, 6227020800, 1307674368000, 355687428096000, 121645100408832000, 51090942171709440000, 25852016738884976640000, ...}

产品表示

归一化sinc函数有一个简单的表示形式，如无限乘积

${\显示样式{\frac{\sin\pix}{\pix{}=\prod_{n=1}^{\infty}\左（1-{\ frac{x^{2}}{n^{2{}}\右）\，}$

与伽马函数 ${\显示样式\脚本样式\Gamma（x）\，}$通过欧拉反射公式

${\显示样式{\ frac{\ sin\pix}{\ pix}}={\ frac{1}{\伽马（1+x）\Gamma（1-x）}}.\，}$

欧拉发现

${\显示样式{\frac{\sinx}{x}}=\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left（{\frac{x}{2^{n}}\right）.\，}$

积分表示法

这个连续傅里叶变换归一化sinc（到循环频率）的值是矩形函数 ${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{rect}（f）\，}$

${\显示样式\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi-ft}\，\mathrm{sinc}{\pi}\，t\，dt=\mathrm{rect}（f），\，}$

其中矩形函数之间的参数为1${\displaystyle\scriptstyle-{\frac{1}{2}}\，}$和$｛\displaystyle\scriptstyle｛\frac｛1｝｛2｝｝\，｝$，否则为零。这与以下事实相对应：正弦滤波器是理想的吗(砖墙，表示矩形频率响应）低通滤波器.

这个傅里叶积分，包括特殊情况

${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}_{\pi}\，x\，dx=\mathrm{rect}（0）=1，\，}$

是一个反常积分而不是收敛的勒贝格积分，作为

${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathrm{sinc}_{\pi}\，x\right|\，dx=+\ infty.\，}$

归一化sinc函数具有以下特性：插值属于取样 有频带限制的函数

• 它是一个插值函数，即。${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinc}{\pi}（0）\，=\，1\，}$、和${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinc}{\pi}（k）\，=\，0\，}$对于非零整数 ${\显示样式\脚本样式k\，}$.

• 功能${\显示样式\脚本样式x_{k}（t）\，=\，\mathrm{sinc}_{pi}（t-k），\，k\，\in\，\mathbb{Z}，\，}$形成一个正交基对于频带有限的中的函数功能空间 ${\显示样式\脚本样式L_{2}（\mathbb{R}）\，}$，具有最高角频率${\displaystyle\scriptstyle\omega_{H}\，=\，\pi\，}$（即最高循环频率${\显示样式\脚本样式f_{H}\，=\，{\frac{1}{2}}\，}$.)

两个sinc函数的其他性质

正弦函数的导数

${\显示样式{\frac{d\，\mathrm{sinc}\，x}{dx}}={\frac{1}{x}}\，（\cos x-\mathrm{sinc{2\，x）\，}$

${\显示样式{\frac{d\，\mathrm{sinc}{\pi}\，x}{dx}}={\frac{1}{x}}\，（\cos\pi\，x-\mathrm{sinc{\，\pi\，x）\，}$

非正规正弦为零 第个有序球面第一类贝塞尔函数,${\显示样式\脚本样式j{0}（x）\，}$。归一化sinc为${\显示样式\脚本样式j{0}（\pi x）\，}$.

两个正弦函数的积分

两个sinc函数的不定积分

${\displaystyle\int_{0}^{x}{\frac{\sint}{t}}\，dt=\mathrm{Si}（x），\，}$

${\displaystyle\int_{0}^{x}{\frac{\sin\pit}}\，dt={\frac{\mathrm{Si}（\pix）}{\pi}}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式Si（x）\，}$是正弦积分.

两个sinc函数的不当积分

${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}_{\pi}^{1}\，x\，dx=1，\quad\int_}-\inffy}^}\frac{\sin^{1} x个}{x^{1}}\，dx=\pi.\，}{1} x个}{x^{1}}\，dx=\pi.\，}$

${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}_{\pi}^{2}\，x\，dx=1，\quad\int__{-\ infty{\frac{\sin^{2} x个}{x^{2}}\，dx=\pi.\，}{2} x个}{x^{2}}\，dx=\pi.\，}$

${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}_{\pi}^{3}\，x\，dx={\frac{3}{4}}，\quad\int{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin^{3} x个}{x^{3}}\，dx={\压裂{3\pi}{4}}.\，}{3} x个}{x^{3}}\，dx={\压裂{3\pi}{4}}.\，}$

${\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}_{\pi}^{4}\，x\，dx={\frac{2}{3}}，\quad\int{-\infty}^{\infty}{\frac{\sin^{4} x个}{x^{4}}\，dx={\压裂{2\pi}{3}}.\，}{4} x个}{x^{4}}\，dx={\压裂{2\pi}{3}}.\，}$

sinc函数的常微分方程

${\displaystyle\scriptstyle\lambda\，\mathrm{sinc}\，\lambda \，x\，}$（非标准化同步函数）是线性方程的两个线性无关解之一常微分方程

${\显示样式x{\frac{d^{2} 年}{dx^{2}}}+2{\frac{dy}{dx}}+{\lambda}^{2} xy公司=0.\,}{2} 年}{dx^{2}}}+2{\frac{dy}{dx}}+{\lambda}^{2} xy公司=0.\,}$

另一个是${\displaystyle\scriptstyle\lambda\，{\frac{\cos\lambda/，x}{\lambda，x}}={\frac{\cos\lambd\，x}{x}}\，}$，不在${\显示样式\脚本样式x\，=\，0\，}$不同于它的sinc函数对应项。

与狄拉克德尔塔分布的关系

归一化正弦函数可用作“初生”函数狄拉克δ函数，这意味着弱极限持有

${\displaystyle\lim_{a\rightarrow0}{\frac{1}{a}}\，\mathrm{sinc}{\pi}\left（{\frac{x}{a{}}\right）=\delta（x）.\，}$

这不是一个普通的极限，因为左侧不收敛。相反，它意味着

$｛\displaystyle\lim _｛a\rightarrow 0｝\int _｛-\infty｝^｛\infty｝｛\frac｛1｝｛a｝｝｝\，\mathrm｛sinc｝_｛\pi｝\left（｛\frac｛x｝｛a｝｝\right）\，\varphi（x）\，dx=\varphi（0），\，｝$

对于任何平滑函数${\displaystyle\scriptstyle\varphi（x）\，}$具有紧凑型支架.

在上面的表达式中，作为${\显示样式\脚本样式a\，}$接近零时，sinc函数单位长度的振荡次数接近无穷大。然而，表达式总是在${\displaystyle\scriptstyle{\frac{\pm1}{\pi-ax}}\，}$，并且对于的任何非零值接近零${\显示样式\脚本样式x\，}$这使非正式的${\显示样式\脚本样式\增量（x）\，}$为零${\显示样式\脚本样式x\，}$除此之外${\显示样式\脚本样式x\，=\，0\，}$并说明了将delta函数视为函数而不是分布的问题。类似的情况出现在吉布斯现象.

广义正弦函数

由于sinc函数与傅里叶变换对于均匀分布在有限区间（即一维球体）上的量，可以通过考虑均匀分布在${\显示样式\脚本样式n\，}$-维度球体。

Tanc函数

通过与sinc函数类比tanc函数定义为

${\displaystyle\mathrm{tanc}（x）：={\begin{案例}1&{\text{if}}x=0，\\{\frac{\tanx}{x}}&{\text}otheral}}，\end{cases}}\，}{案例}1&{\text{if}}x=0，\\{\frac{\tanx}{x}}&{\text}otheral}}，\end{cases}}\，}$

我们在这里有连续性可消除奇点在${\显示样式\脚本样式x\，=\，0\，}$，自${\displaystyle\scriptstyle\lim_{x\到0}{\frac{\tanx}{x}}\，=\，1\，}$.

另请参阅

• 1-（（sin-pix）/（pix））^2
• 1-（（sin x）/x）^2
• 1-正弦^2 x

• {{新几内亚}}（数学函数模板）

工具书类

模板：参考列表

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,Sinc函数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。